Cardenal supercompacto

En la teoría de conjuntos , un cardinal supercompacto es un tipo de cardinal grande introducido independientemente por Solovay y Reinhardt. ^[1] Muestran una variedad de propiedades de reflexión.

Definición formal

Si es cualquier ordinal , es -supercompacto significa que existe una incrustación elemental del universo en un modelo interno transitivo con punto crítico , y ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

Es decir, contiene todas sus secuencias . Entonces es supercompacto significa que es supercompacto para todos los ordinales . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Alternativamente, un cardinal incontable es supercompacto si para cada tal que existe una medida normal sobre , en el siguiente sentido. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$

${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$Se define de la siguiente manera:

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$.

Un ultrafiltro sobre está bien si es -completo y , para cada . Una medida normal sobre es un ultrafiltro fino sobre con la propiedad adicional de que toda función tal que es constante en un conjunto en . Aquí "constante en un conjunto en " significa que existe tal que . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$

Propiedades

Los cardinales supercompactos tienen propiedades de reflexión. Si un cardinal con alguna propiedad (por ejemplo, un cardinal enorme de 3 ) que es presenciado por una estructura de rango limitado existe por encima de un cardinal supercompacto , entonces existe un cardinal con esa propiedad debajo de . Por ejemplo, si es supercompacto y la hipótesis del continuo generalizado (GCH) se cumple debajo , entonces se cumple en todas partes porque una biyección entre el conjunto potencia de y un cardinal al menos sería un testigo de rango limitado para el fracaso de GCH en , por lo que también tendría que existir debajo de . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu ^{++}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Encontrar un modelo interno canónico para cardinales supercompactos es uno de los principales problemas de la teoría de modelos internos .

El cardinal menos supercompacto es el menor tal que para cada estructura con cardinalidad del dominio , y para cada oración tal que , existe una subestructura con dominio más pequeño (es decir ) que satisface . ^[2] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}$ ${\displaystyle \vert M\vert \geq \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi }$ ${\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}$ ${\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }$ ${\displaystyle \phi }$

La supercompacidad tiene una caracterización combinatoria similar a la propiedad de ser inefable . Sea el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los cuales tienen cardinalidad . Un cardinal es supercompacto si y solo si para cada conjunto (equivalentemente cada cardinal ), para cada función , si para todos , entonces hay alguno que sea estacionario. ^[3] ${\displaystyle P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle f(X)\subseteq X}$ ${\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}$

Magidor obtuvo una variante de la propiedad del árbol que se cumple para un cardinal inaccesible solo si es supercompacto. ^[4]

Véase también

• Indestructibilidad
• Cardenal fuertemente compacto
• Lista de grandes propiedades cardinales

Referencias

• Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.

Citas

1. A. Kanamori, "Kunen y la teoría de conjuntos", pp.2450--2451. Topología y sus aplicaciones, vol. 158 (2011).
2. Magidor, M. (1971). "Sobre el papel de los cardinales supercompactos y extensibles en la lógica". Revista israelí de matemáticas . 10 (2): 147–157. doi :10.1007/BF02771565.
3. M. Magidor, Caracterización combinatoria de los cardinales supercompactos, págs. 281-282. Actas de la American Mathematical Society, vol. 42, núm. 1, 1974.
4. S. Hachtman, S. Sinapova, "La propiedad del superárbol en el sucesor de un singular". Israel Journal of Mathematics, vol 236, núm. 1 (2020), pp.473--500.