Cardenal débilmente compacto

Tipo de cardinal grande en la teoría de conjuntos

En matemáticas , un cardinal débilmente compacto es un cierto tipo de número cardinal introducido por Erdős y Tarski (1961); los cardinales débilmente compactos son cardinales grandes , lo que significa que su existencia no puede probarse a partir de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos . (Tarski originalmente los llamó cardinales "no fuertemente incompactos").

Formalmente, un cardinal κ se define como débilmente compacto si es incontable y para cada función f : [κ] ² → {0, 1} hay un conjunto de cardinalidad κ que es homogéneo para f . En este contexto, [κ] ² significa el conjunto de subconjuntos de 2 elementos de κ, y un subconjunto S de κ es homogéneo para f si y solo si o bien todo [ S ] ² se asigna a 0 o bien todo se asigna a 1.

El nombre "débilmente compacto" se refiere al hecho de que si un cardinal es débilmente compacto entonces un cierto lenguaje infinitario relacionado satisface una versión del teorema de compacidad ; ver más abajo.

Formulaciones equivalentes

Los siguientes son equivalentes para cualquier cardinal incontable κ:

1. κ es débilmente compacto.
2. Para cada λ<κ, número natural n ≥ 2 y función f: [κ] ⁿ → λ, existe un conjunto de cardinalidad κ que es homogéneo para f. (Drake 1974, capítulo 7, teorema 3.5)
3. κ es inaccesible y tiene la propiedad de árbol , es decir, cada árbol de altura κ tiene un nivel de tamaño κ o una rama de tamaño κ.
4. Cada orden lineal de cardinalidad κ tiene una secuencia ascendente o descendente de tipo de orden κ. (WW Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters , p. 185)
5. κ es - indescriptible . ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$
6. κ tiene la propiedad de extensión. En otras palabras, para todo U ⊂ V _κ existe un conjunto transitivo X con κ ∈ X , y un subconjunto S ⊂ X , tal que ( V _κ , ∈, U ) es una subestructura elemental de ( X , ∈, S ). Aquí, U y S se consideran predicados unarios .
7. Para cada conjunto S de cardinalidad κ de subconjuntos de κ, hay un filtro κ-completo no trivial que decide S.
8. κ es κ- desplegable .
9. κ es inaccesible y el lenguaje infinitario L _κ,κ satisface el teorema de compacidad débil.
10. κ es inaccesible y el lenguaje infinitario L _κ,ω satisface el teorema de compacidad débil.
11. κ es inaccesible y para cada conjunto transitivo de cardinalidad κ con κ , , y que satisface un fragmento suficientemente grande de ZFC , existe una incrustación elemental de a un conjunto transitivo de cardinalidad κ tal que , con punto crítico κ. (Hauser 1991, Teorema 1.3) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \in M}$ ${\displaystyle {}^{<\kappa }M\subset M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ^{<\kappa }N\subset N}$ ${\displaystyle crit(j)=}$
12. κ es un cardinal ramificable fuertemente inaccesible. (WW Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters , p. 185)
13. ${\displaystyle \kappa =\kappa ^{<\kappa }}$( definido como ) y cada filtro -completo de un campo -completo de conjuntos de cardinalidad está contenido en un ultrafiltro -completo. (WW Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters , p. 185) ${\displaystyle \kappa ^{<\kappa }}$ ${\displaystyle \sum {\lambda <\kappa }\kappa ^{\lambda }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \leq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
14. ${\displaystyle \kappa }$tiene la propiedad de Alexander, es decir, para cualquier espacio con una -subbase con cardinalidad , y cada cubierta de por elementos de tiene una subcubierta de cardinalidad , entonces es -compacto. (WW Comfort, S. Negrepontis, The Theory of Ultrafilters , p.182--185) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \leq \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$
15. ${\displaystyle (2^{\kappa })_{\kappa }}$es -compacto. (WW Comfort, S. Negrepontis, La teoría de los ultrafiltros , p. 185) ${\displaystyle \kappa }$

Se dice que un lenguaje L _κ,κ satisface el teorema de compacidad débil si, siempre que Σ sea un conjunto de oraciones de cardinalidad como máximo κ y cada subconjunto con menos de κ elementos tenga un modelo, entonces Σ tiene un modelo. Los cardinales fuertemente compactos se definen de manera similar sin la restricción de la cardinalidad del conjunto de oraciones.

Propiedades

Todo cardinal débilmente compacto es un cardinal reflector y también es un límite de cardinales reflectores. Esto significa también que los cardinales débilmente compactos son cardinales de Mahlo y que el conjunto de cardinales de Mahlo menores que un cardinal débilmente compacto dado es estacionario .

Si es débilmente compacto, entonces existen cadenas de extensiones finales elementales bien fundadas de longitud arbitraria . ^{[1] p.6} ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$ ${\displaystyle <\kappa ^{+}}$

Los cardinales débilmente compactos siguen siendo débilmente compactos en . ^[2] Suponiendo que V = L, un cardenal es débilmente compacto si y solo si es 2-estacionario. ^[3] ${\displaystyle L}$

Véase también

• Lista de grandes propiedades cardinales

Referencias

• Drake, FR (1974), Teoría de conjuntos: una introducción a los grandes cardinales , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, vol. 76, Elsevier Science Ltd, ISBN 0-444-10535-2
• Erdős, Paul ; Tarski, Alfred (1961), "Sobre algunos problemas que involucran cardinales inaccesibles", Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas , Jerusalén: Magnes Press, Universidad Hebrea, págs. 50–82, MR  0167422
• Hauser, Kai (1991), "Cardenales indescriptibles e incrustaciones elementales", Journal of Symbolic Logic , 56 (2), Association for Symbolic Logic: 439–457, doi :10.2307/2274692, JSTOR  2274692, S2CID  288779
• Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2.ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3

Citas

1. Villaveces, Andres (1996). "Cadenas de extensiones elementales finales de modelos de teoría de conjuntos". arXiv : math/9611209 .
2. T. Jech, 'Teoría de conjuntos: La edición del tercer milenio' (2003)
3. Bagaria, Magidor, Mancilla. Sobre la fuerza de consistencia de la hiperestacionariedad, p. 3. (2019)