En matemáticas , un grupo policíclico es un grupo resoluble que satisface la condición máxima de subgrupos (es decir, cada subgrupo se genera de forma finita ). Los grupos policíclicos se presentan de forma finita , lo que los hace interesantes desde un punto de vista computacional.
De manera equivalente, un grupo G es policíclico si y sólo si admite una serie subnormal con factores cíclicos, es decir un conjunto finito de subgrupos, digamos G 0 , ..., G n tales que
Un grupo metacíclico es un grupo policíclico con n ≤ 2, o en otras palabras, una extensión de un grupo cíclico por un grupo cíclico.
Entre los ejemplos de grupos policíclicos se incluyen los grupos abelianos finitamente generados, los grupos nilpotentes finitamente generados y los grupos resolubles finitos. Anatoly Maltsev demostró que los subgrupos resolubles del grupo lineal general entero son policíclicos; y más tarde Louis Auslander (1967) y Swan demostraron lo contrario, que cualquier grupo policíclico es, hasta el isomorfismo, un grupo de matrices enteras. [1] El holomorfo de un grupo policíclico es también un grupo de matrices enteras de este tipo. [2]
Se dice que un grupo policíclico G es fuertemente policíclico si cada cociente G i +1 / G i es infinito. Cualquier subgrupo de un grupo fuertemente policíclico es fuertemente policíclico.
Un grupo virtualmente policíclico es un grupo que tiene un subgrupo policíclico de índice finito , un ejemplo de una propiedad virtual . Un grupo de este tipo necesariamente tiene un subgrupo policíclico normal de índice finito y, por lo tanto, a dichos grupos también se les llama grupos policíclicos por finitos . Aunque los grupos policíclicos por finitos no necesitan ser resolubles, aún tienen muchas de las propiedades de finitud de los grupos policíclicos; por ejemplo, satisfacen la condición máxima y están finitamente presentados y residualmente finitos .
En el libro de texto (Scott 1964, Cap. 7.1) y algunos artículos, un grupo M se refiere a lo que ahora se llama un grupo policíclico por finito , que por el teorema de Hirsch también puede expresarse como un grupo que tiene una serie subnormal de longitud finita con cada factor un grupo finito o un grupo cíclico infinito .
Estos grupos son particularmente interesantes porque son los únicos ejemplos conocidos de anillos de grupo noetherianos (Ivanov 1989), o anillos de grupo de dimensión inyectiva finita. [ cita requerida ]
La longitud de Hirsch o número de Hirsch de un grupo policíclico G es el número de factores infinitos en su serie subnormal.
Si G es un grupo policíclico por finito, entonces la longitud de Hirsch de G es la longitud de Hirsch de un subgrupo normal policíclico H de G , donde H tiene un índice finito en G . Esto es independiente de la elección del subgrupo, ya que todos esos subgrupos tendrán la misma longitud de Hirsch.