Prácticamente

Concepto matemático

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que estudia los grupos infinitos , el adverbio virtualmente se utiliza para modificar una propiedad de modo que sólo sea válida para un subgrupo de índice finito . Dada una propiedad P, se dice que el grupo G es virtualmente P si existe un subgrupo de índice finito tal que H tiene la propiedad P. ${\displaystyle H\leq G}$

Los usos comunes para esto serían cuando P es abeliano , nilpotente , resoluble o libre . Por ejemplo, los grupos virtualmente resolubles son una de las dos alternativas en la alternativa de Tits , mientras que el teorema de Gromov establece que los grupos finitamente generados con crecimiento polinomial son precisamente los grupos virtualmente nilpotentes finitamente generados.

Esta terminología también se utiliza cuando P es simplemente otro grupo. Es decir, si G y H son grupos, entonces G es virtualmente H si G tiene un subgrupo K de índice finito en G tal que K es isomorfo a H.

En particular, un grupo es virtualmente trivial si y solo si es finito. Dos grupos son virtualmente iguales si y solo si son conmensurables .

Ejemplos

Virtualmente abeliano

Los siguientes grupos son prácticamente abelianos.

• Cualquier grupo abeliano.
• Cualquier producto semidirecto donde N es abeliano y H es finito. (Por ejemplo, cualquier grupo diedro generalizado ). ${\displaystyle N\rtimes H}$
• Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es abeliano. ${\displaystyle N\rtimes H}$
• Cualquier grupo finito (ya que el subgrupo trivial es abeliano).

Prácticamente nilpotente

• Cualquier grupo que sea virtualmente abeliano.
• Cualquier grupo nilpotente.
• Cualquier producto semidirecto donde N es nilpotente y H es finito. ${\displaystyle N\rtimes H}$
• Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es nilpotente. ${\displaystyle N\rtimes H}$

El teorema de Gromov dice que un grupo finitamente generado es virtualmente nilpotente si y sólo si tiene crecimiento polinomial.

Virtualmente policíclico

Virtualmente gratis

• Cualquier grupo libre .
• Cualquier grupo finito (ya que el subgrupo trivial es el grupo libre en el conjunto vacío de generadores).
• Cualquier grupo virtualmente cíclico . (O bien es finito en cuyo caso cae en el caso anterior, o bien es infinito y contiene como subgrupo.) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Cualquier producto semidirecto donde N es libre y H es finito. ${\displaystyle N\rtimes H}$
• Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es libre. ${\displaystyle N\rtimes H}$
• Cualquier producto libre , donde H y K son ambos finitos. (Por ejemplo, el grupo modular ). ${\displaystyle H*K}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

Del teorema de Stalling se deduce que cualquier grupo virtualmente libre y sin torsión es libre.

Otros

El grupo libre en 2 generadores es virtualmente para cualquiera como consecuencia del teorema de Nielsen-Schreier y la fórmula del índice de Schreier . ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

El grupo está virtualmente conectado ya que tiene el índice 2. ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Referencias

• Schneebeli, Hans Rudolf (1978). "Sobre propiedades virtuales y extensiones de grupos". Mathematische Zeitschrift . 159 : 159-167. doi :10.1007/bf01214488. Zbl  0358.20048.