Logaritmo complejo

Logaritmo de un número complejo

Una sola rama del logaritmo complejo. El tono del color se utiliza para mostrar el argumento del logaritmo complejo. El brillo del color se utiliza para mostrar el módulo del logaritmo complejo.

La parte real de log(z) es el logaritmo natural de | z | . Su gráfico se obtiene rotando el gráfico de ln( x ) alrededor del eje z .

En matemáticas , un logaritmo complejo es una generalización del logaritmo natural a números complejos distintos de cero . El término se refiere a uno de los siguientes, que están estrechamente relacionados:

• Un logaritmo complejo de un número complejo distinto de cero , definido como cualquier número complejo para el cual . ^{[1] [2]} Tal número se denota por . ^[1] Si se da en forma polar como , donde y son números reales con , entonces es un logaritmo de , y todos los logaritmos complejos de son exactamente los números de la forma para números enteros . ^{[1] [2]} Estos logaritmos están espaciados de manera uniforme a lo largo de una línea vertical en el plano complejo. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ln r+i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$ ${\displaystyle k}$
• Una función de valor complejo , definida en algún subconjunto del conjunto de números complejos distintos de cero, que satisface para todos en . Tales funciones logarítmicas complejas son análogas a la función logarítmica real , que es la inversa de la función exponencial real y, por lo tanto, satisface e ^{ln x} = x para todos los números reales positivos x . Las funciones logarítmicas complejas se pueden construir mediante fórmulas explícitas que involucran funciones de valor real, mediante la integración de , o mediante el proceso de continuación analítica . ${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle e^{\log z}=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1/z}$

No existe una función logarítmica compleja continua definida en todos los . Las formas de abordar esto incluyen las ramas , la superficie de Riemann asociada y las inversas parciales de la función exponencial compleja . El valor principal define una función logarítmica compleja particular que es continua excepto a lo largo del eje real negativo; en el plano complejo con los números reales negativos y 0 eliminado, es la continuación analítica del logaritmo natural (real). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$

Problemas con la inversión de la función exponencial compleja

Un gráfico de la parte imaginaria de múltiples valores de la función logaritmo complejo, que muestra las ramas. A medida que un número complejo z gira alrededor del origen, la parte imaginaria del logaritmo sube o baja. Esto hace que el origen sea un punto de ramificación de la función.

Para que una función tenga una inversa, debe asignar valores distintos a valores distintos ; es decir, debe ser inyectiva . Pero la función exponencial compleja no es inyectiva, porque para cualquier número complejo y entero , dado que la suma de tiene el efecto de rotar radianes en sentido antihorario . Por lo tanto, los puntos ${\displaystyle e^{w+2\pi ik}=e^{w}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{w}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,}$

espaciados de manera uniforme a lo largo de una línea vertical, todos se asignan al mismo número mediante la función exponencial. Esto significa que la función exponencial no tiene una función inversa en el sentido estándar. ^{[3] [4]} Hay dos soluciones a este problema.

Una de ellas es restringir el dominio de la función exponencial a una región que no contenga dos números que difieran en un múltiplo entero de : esto conduce naturalmente a la definición de ramas de , que son ciertas funciones que seleccionan un logaritmo de cada número en sus dominios. Esto es análogo a la definición de en como la inversa de la restricción de al intervalo : hay infinitos números reales con , pero uno elige arbitrariamente el que está en . ${\displaystyle 2{\mathit {\pi i}}}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \arcsin x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =x}$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Otra forma de resolver la indeterminación es ver el logaritmo como una función cuyo dominio no es una región en el plano complejo , sino una superficie de Riemann que cubre el plano complejo perforado de manera infinita a 1.

Las ramas tienen la ventaja de que se pueden evaluar en números complejos. Por otra parte, la función en la superficie de Riemann es elegante porque reúne todas las ramas del logaritmo y no requiere una elección arbitraria como parte de su definición.

Valor principal

Definición

Para cada número complejo distinto de cero , el valor principal es el logaritmo cuya parte imaginaria se encuentra en el intervalo . ^[2] La expresión se deja sin definir ya que no hay ningún número complejo que satisfaga . ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} 0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=0}$

Cuando la notación aparece sin que se haya especificado ningún logaritmo en particular, generalmente es mejor suponer que se pretende el valor principal. En particular, esto da un valor consistente con el valor real de cuando es un número real positivo. La capitalización en la notación es utilizada por algunos autores ^[2] para distinguir el valor principal de otros logaritmos de ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \ln z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle z.}$

Calcular el valor principal

La forma polar de un número complejo distinto de cero es , donde es el valor absoluto de , y es su argumento . El valor absoluto es real y positivo. El argumento se define hasta la suma de un múltiplo entero de 2 π . Su valor principal es el valor que pertenece al intervalo , que se expresa como . ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$

Esto nos lleva a la siguiente fórmula para el valor principal del logaritmo complejo:

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

Por ejemplo, , y . ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3)=\ln 3+\pi i}$

El valor principal como función inversa

Otra forma de describir es como la inversa de una restricción de la función exponencial compleja, como en la sección anterior. La franja horizontal que consta de números complejos tales que es un ejemplo de una región que no contiene dos números que difieran en un múltiplo entero de , por lo que la restricción de la función exponencial a tiene una inversa. De hecho, la función exponencial se mapea biyectivamente al plano complejo perforado , y la inversa de esta restricción es . La sección de mapeo conforme a continuación explica las propiedades geométricas de este mapa con más detalle. ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w=x+yi}$ ${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S}$

El valor principal como continuación analítica

En la región formada por números complejos que no son números reales negativos ni 0, la función es la continuación analítica del logaritmo natural. Los valores de la recta real negativa se pueden obtener como límites de valores en números complejos cercanos con partes imaginarias positivas. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Propiedades

No todas las identidades que se satisfacen con se extienden a los números complejos. Es cierto que para todos (esto es lo que significa que para sea un logaritmo de ), pero la identidad falla para fuera de la franja . Por esta razón, no siempre se puede aplicar a ambos lados de una identidad para deducir . Además, la identidad puede fallar: los dos lados pueden diferir en un múltiplo entero de ; ^[1] por ejemplo, ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} z}=z}$ ${\displaystyle z\not =0}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (e^{z})=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle e^{z}=e^{w}}$ ${\displaystyle z=w}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Log} z_{1}+\operatorname {Log} z_{2}}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

pero

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

La función es discontinua en cada número real negativo, pero continua en cualquier otro lugar en . Para explicar la discontinuidad, considere lo que sucede con cuando se acerca a un número real negativo . Si se acerca desde arriba, entonces se acerca que también es el valor de sí mismo. Pero si se acerca desde abajo, entonces se acerca Por lo tanto, "salta" por cuando cruza el eje real negativo, y de manera similar salta por ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \arg a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle -\pi .}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

Ramas del logaritmo complejo

¿Hay una forma diferente de elegir un logaritmo de cada número complejo distinto de cero para hacer una función que sea continua en todos los ? La respuesta es no. Para ver por qué, imaginemos que hacemos un seguimiento de dicha función logarítmica a lo largo del círculo unitario , evaluando a medida que aumenta de a . Si es continua, entonces también lo es , pero esta última es una diferencia de dos logaritmos de por lo que toma valores en el conjunto discreto, por lo que es constante. En particular, , lo que contradice a . ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)-i\theta }$ ${\displaystyle e^{i\theta },}$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi i=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi =\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$

Para obtener un logaritmo continuo definido en números complejos, es necesario restringir el dominio a un subconjunto más pequeño del plano complejo. Como uno de los objetivos es poder derivar la función, es razonable suponer que la función está definida en un entorno de cada punto de su dominio; en otras palabras, debe ser un conjunto abierto . También es razonable suponer que es conexo , ya que de lo contrario los valores de la función en diferentes componentes de podrían no estar relacionados entre sí. Todo esto motiva la siguiente definición: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Una rama de es una función continua definida en un subconjunto abierto conexo del plano complejo tal que es un logaritmo de para cada uno en . ^[2] ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Por ejemplo, el valor principal define una rama en el conjunto abierto donde es continuo, que es el conjunto que se obtiene al eliminar 0 y todos los números reales negativos del plano complejo. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$

Otro ejemplo: La serie Mercator

${\displaystyle \ln(1+u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}u^{n}=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\cdots }$

converge localmente de manera uniforme para , por lo que el ajuste define una rama de en el disco abierto de radio 1 centrado en 1. (En realidad, esto es solo una restricción de , como se puede demostrar diferenciando la diferencia y comparando valores en 1). ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle z=1+u}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Una vez que se ha determinado una rama, se puede denotar si no se puede generar confusión. Sin embargo, las diferentes ramas pueden dar valores diferentes para el logaritmo de un número complejo en particular, por lo que una rama debe determinarse de antemano (o bien debe entenderse la rama principal) para que " " tenga un significado preciso e inequívoco. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log z}$

Cortes de ramas

El argumento anterior que involucra al círculo unitario se generaliza para mostrar que no existe ninguna rama de en un conjunto abierto que contenga una curva cerrada que se enrolle alrededor de 0. Se dice que " " tiene un punto de ramificación en 0". Para evitar que contenga curvas cerradas que se enrollen alrededor de 0, se elige típicamente como el complemento de un rayo o curva en el plano complejo que va desde 0 (inclusive) hasta el infinito en alguna dirección. En este caso, la curva se conoce como corte de rama . Por ejemplo, la rama principal tiene un corte de rama a lo largo del eje real negativo. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$

Si la función se extiende para definirse en un punto del corte de la rama, necesariamente será discontinua allí; en el mejor de los casos, será continua "en un lado", como en un número real negativo. ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

La derivada del logaritmo complejo

Cada rama de en un conjunto abierto es la inversa de una restricción de la función exponencial, es decir, la restricción a la imagen . Dado que la función exponencial es holomorfa (es decir, compleja diferenciable) con derivada no nula, se aplica el análogo complejo del teorema de la función inversa . Muestra que es holomorfa en , y para cada en . ^[2] Otra forma de demostrar esto es comprobar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Construcción de ramas mediante integración

La función para lo real se puede construir con la fórmula Si el rango de integración comenzara en un número positivo distinto de 1, la fórmula tendría que ser en su lugar. ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x>0}$ $${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$$

En el desarrollo del análogo para el logaritmo complejo , hay una complicación adicional: la definición de la integral compleja requiere una elección de camino. Afortunadamente, si el integrando es holomorfo, entonces el valor de la integral no cambia al deformar el camino (mientras se mantienen fijos los puntos finales), y en una región simplemente conexa (una región "sin agujeros"), cualquier camino desde el interior puede deformarse continuamente hacia el interior en cualquier otro. Todo esto lleva a lo siguiente: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Si es un subconjunto abierto simplemente conexo de que no contiene 0, entonces se puede construir una rama de definida en eligiendo un punto de inicio en , eligiendo un logaritmo de y definiendo para cada uno en . ^[5] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

El logaritmo complejo como mapa conforme

Los círculos Re(Log z ) = constante y los rayos Im(Log  z ) = constante en el plano complejo z .

El mapeo de registros complejos asigna radios a líneas horizontales y círculos a líneas verticales

Cualquier función holomorfa que satisfaga a todos es una función conforme , lo que significa que si dos curvas que pasan por un punto de forman un ángulo (en el sentido de que las líneas tangentes a las curvas en forman un ángulo ), entonces las imágenes de las dos curvas forman el mismo ángulo en . Como una rama de es holomorfa, y como su derivada nunca es 0, define una función conforme. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ ${\displaystyle z\in U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle 1/z}$

Por ejemplo, la rama principal , vista como una aplicación de a la franja horizontal definida por , tiene las siguientes propiedades, que son consecuencias directas de la fórmula en términos de forma polar: ${\displaystyle w=\operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} z\right|<\pi }$

• Los círculos ^[6] en el plano z centrados en 0 se asignan a segmentos verticales en el plano w que conectan a , donde es el logaritmo real del radio del círculo. ${\displaystyle a-\pi i}$ ${\displaystyle a+\pi i}$ ${\displaystyle a}$
• Los rayos que emanan desde 0 en el plano z se asignan a líneas horizontales en el plano w .

Cada círculo y rayo en el plano z , como se muestra arriba, se encuentran en un ángulo recto. Sus imágenes bajo Log son un segmento vertical y una línea horizontal (respectivamente) en el plano w , y estos también se encuentran en un ángulo recto. Esto es una ilustración de la propiedad conforme de Log.

La superficie de Riemann asociada

Visualización de la superficie de Riemann de log  z . La superficie parece girar en espiral alrededor de una línea vertical que corresponde al origen del plano complejo. La superficie real se extiende arbitrariamente tanto horizontal como verticalmente, pero está cortada en esta imagen.

Construcción

Las diversas ramas de no se pueden pegar para dar una única función continua porque dos ramas pueden dar valores diferentes en un punto donde ambas están definidas. Compare, por ejemplo, la rama principal en con parte imaginaria en y la rama en cuya parte imaginaria se encuentra en . Estas coinciden en el semiplano superior , pero no en el semiplano inferior. Por lo tanto, tiene sentido pegar los dominios de estas ramas solo a lo largo de las copias del semiplano superior . El dominio pegado resultante está conectado, pero tiene dos copias del semiplano inferior. Esas dos copias se pueden visualizar como dos niveles de un estacionamiento, y uno puede llegar desde el nivel del semiplano inferior hasta el nivel del semiplano inferior yendo radianes en sentido antihorario alrededor de 0 , primero cruzando el eje real positivo (del nivel) en la copia compartida del semiplano superior y luego cruzando el eje real negativo (del nivel) en el nivel del semiplano inferior. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (0,2\pi )}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$

Se puede continuar pegando ramas con una parte imaginaria en , en , y así sucesivamente, y en la otra dirección, ramas con una parte imaginaria en , en , y así sucesivamente. El resultado final es una superficie conectada que puede verse como un estacionamiento en espiral con infinitos niveles que se extienden tanto hacia arriba como hacia abajo. Esta es la superficie de Riemann asociada a . ^[7] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\pi ,3\pi )}$ ${\displaystyle (2\pi ,4\pi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-2\pi ,0)}$ ${\displaystyle (-3\pi ,-\pi )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log z}$

Un punto en puede considerarse como un par donde es un valor posible del argumento de . De esta manera, R puede estar incluido en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$

La función logaritmo en la superficie de Riemann

Debido a que los dominios de las ramas se pegaron solo a lo largo de conjuntos abiertos donde sus valores coincidían, las ramas se pegan para dar una única función bien definida . ^[8] Mapea cada punto en . Este proceso de extensión de la rama original mediante el pegado de funciones holomorfas compatibles se conoce como continuación analítica . ${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ln |z|+i\theta }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$

Hay un "mapa de proyección" desde abajo hasta que "aplana" la espiral, enviando a . Para cualquier , si se toman todos los puntos de que se encuentran "directamente encima" y se evalúa en todos estos puntos, se obtienen todos los logaritmos de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$

Pegando todas las ramas del tronco z

En lugar de pegar sólo las ramas elegidas anteriormente, se puede empezar con todas las ramas de , y pegar simultáneamente cada par de ramas y a lo largo del subconjunto abierto más grande de en el que y coinciden. Esto produce la misma superficie y función de Riemann que antes. Este enfoque, aunque un poco más difícil de visualizar, es más natural ya que no requiere seleccionar ninguna rama en particular. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log _{R}}$

Si es un subconjunto abierto de que se proyecta biyectivamente a su imagen en , entonces la restricción de a corresponde a una rama de definida en . Toda rama de surge de esta manera. ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$

La superficie de Riemann como recubrimiento universal

El mapa de proyección se realiza como un espacio de recubrimiento de . De hecho, es un recubrimiento de Galois con grupo de transformación de cubierta isomorfo a , generado por el homeomorfismo que envía a . ${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle (z,\theta +2\pi )}$

Como variedad compleja , es biholomorfa con vía . (La función inversa envía a .) Esto muestra que es simplemente conexo, por lo que también lo es la cubierta universal de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Aplicaciones

• El logaritmo complejo es necesario para definir la exponenciación en la que la base es un número complejo. Es decir, si y son números complejos con , se puede utilizar el valor principal para definir . También se puede reemplazar por otros logaritmos de para obtener otros valores de , que difieren en factores de la forma . ^{[1] [9]} La expresión tiene un único valor si y solo si es un número entero. ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\not =0}$ ${\displaystyle a^{b}=e^{b\operatorname {Log} a}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle e^{2\pi inb}}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle b}$
• Debido a que las funciones trigonométricas se pueden expresar como funciones racionales de , las funciones trigonométricas inversas se pueden expresar en términos de logaritmos complejos. ${\displaystyle e^{iz}}$
• En ingeniería eléctrica, la constante de propagación implica un logaritmo complejo.

Generalizaciones

Logaritmos en otras bases

Al igual que para los números reales, se puede definir para los números complejos y ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

con la única salvedad de que su valor depende de la elección de una rama del logaritmo definida en y (con ). Por ejemplo, si se utiliza el valor principal se obtiene ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log b\not =0}$

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

Logaritmos de funciones holomorfas

Si f es una función holomorfa en un subconjunto abierto conexo de , entonces una rama de en es una función continua en tal que para todo en . Una función de este tipo es necesariamente holomorfa con para todo en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Si es un subconjunto abierto simplemente conexo de , y es una función holomorfa que no desaparece en ninguna parte en , entonces se puede construir una rama de definida en eligiendo un punto de inicio a en , eligiendo un logaritmo de , y definiendo ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

para cada uno en . ^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Notas

1. Ahlfors, sección 3.4.
2. Sarason, Sección IV.9.
3. Conway, pág. 39.
4. Otra interpretación de esto es que la "inversa" de la función exponencial compleja es una función multivalor que lleva cada número complejo distinto de cero z al conjunto de todos los logaritmos de z .
5. Lang, pág. 121.
6. Estrictamente hablando, el punto de cada círculo en el eje real negativo debe descartarse, o debe usarse allí el valor principal.
7. Ahlfors, Sección 4.3.
8. Las notaciones R y log _R no se utilizan universalmente.
9. Kreyszig, pág. 640.

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1966). Análisis complejo (2.ª ed.). McGraw-Hill.
• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja (2.ª ed.). Springer. ISBN 9780387903286.
• Kreyszig, Erwin (2011). Matemáticas avanzadas para ingeniería (10.ª ed.). Berlín: Wiley . ISBN 9780470458365.
• Lang, Serge (1993). Análisis complejo (3ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 9783642592737.
• Moretti, Gino (1964). Funciones de variable compleja. Prentice-Hall.
• Sarason, Donald (2007). Teoría de funciones complejas (2.ª ed.). American Mathematical Society. ISBN 9780821886229.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (cuarta edición). Cambridge University Press.