Isometría

Transformación matemática que preserva la distancia

Una composición de dos isometrías opuestas es una isometría directa. Una reflexión en una línea es una isometría opuesta, como R ₁ o R ₂ en la imagen. La traslación T es una isometría directa: un movimiento rígido . ^[1]

En matemáticas, una isometría (o congruencia , o transformación congruente ) es una transformación que preserva la distancia entre espacios métricos , generalmente asumida como biyectiva . ^[a] La palabra isometría se deriva del griego antiguo : ἴσος isos que significa "igual", y μέτρον metron que significa "medida". Si la transformación es de un espacio métrico a sí mismo, es un tipo de transformación geométrica conocida como movimiento .

Introducción

Dado un espacio métrico (en términos generales, un conjunto y un esquema para asignar distancias entre elementos del conjunto), una isometría es una transformación que asigna elementos al mismo espacio métrico o a otro espacio métrico de modo que la distancia entre los elementos de la imagen en el nuevo espacio métrico sea igual a la distancia entre los elementos en el espacio métrico original. En un espacio euclidiano bidimensional o tridimensional , dos figuras geométricas son congruentes si están relacionadas por una isometría; ^[b] la isometría que las relaciona es un movimiento rígido (traslación o rotación), o una composición de un movimiento rígido y una reflexión .

Las isometrías se utilizan a menudo en construcciones en las que un espacio está incrustado en otro espacio. Por ejemplo, la completitud de un espacio métrico implica una isometría de en un conjunto cociente del espacio de sucesiones de Cauchy en El espacio original es, por tanto, isométricamente isomorfo a un subespacio de un espacio métrico completo y suele identificarse con este subespacio. Otras construcciones de incrustación muestran que todo espacio métrico es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio vectorial normado y que todo espacio métrico completo es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio de Banach . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M',}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$

Un operador lineal sobreyectivo isométrico en un espacio de Hilbert se denomina operador unitario .

Definición

Sean y espacios métricos con métricas (por ejemplo, distancias) y Un mapa se llama isometría o mapa que preserva la distancia si para cualquier , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle d_{X}}$ ${\textstyle d_{Y}.}$ ${\textstyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle a,b\in X}$

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[4] [c]}

Una isometría es automáticamente inyectiva ; ^[a] de lo contrario, dos puntos distintos, a y b , podrían mapearse al mismo punto, contradiciendo así el axioma de coincidencia de la métrica d , es decir, si y solo si . Esta prueba es similar a la prueba de que una incrustación de orden entre conjuntos parcialmente ordenados es inyectiva. Claramente, cada isometría entre espacios métricos es una incrustación topológica . ${\displaystyle d(a,b)=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Una isometría global , isomorfismo isométrico o aplicación de congruencia es una isometría biyectiva . Como cualquier otra biyección, una isometría global tiene una función inversa . La inversa de una isometría global también es una isometría global.

Dos espacios métricos X e Y se denominan isométricos si existe una isometría biyectiva de X a Y. El conjunto de isometrías biyectivas de un espacio métrico a sí mismo forma un grupo respecto de la composición de funciones , llamado grupo de isometrías .

También existe la noción más débil de isometría de trayectoria o isometría de arco :

Una isometría de trayectoria o isometría en arco es una función que preserva las longitudes de las curvas ; una función de este tipo no es necesariamente una isometría en el sentido de preservar la distancia, y no necesariamente tiene que ser biyectiva, o incluso inyectiva. Este término se suele abreviar simplemente como isometría , por lo que se debe tener cuidado de determinar a partir del contexto qué tipo se pretende.

Ejemplos

• Toda reflexión , traslación y rotación es una isometría global en espacios euclidianos . Véase también Grupo euclidiano y Espacio euclidiano § Isometrías .
• El mapa en es una isometría de trayectoria pero no una isometría (general). Nótese que a diferencia de una isometría, esta isometría de trayectoria no necesita ser inyectiva. ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Isometrías entre espacios normados

El siguiente teorema se debe a Mazur y Ulam.

Definición : ^[5] El punto medio de dos elementos x e y en un espacio vectorial es el vector ⁠1/2⁠ ( x + y ) .

Teorema ^{[5] [6]}  —  Sea A  : X → Y una isometría sobreyectiva entre espacios normados que mapea 0 a 0 ( Stefan Banach llamó a tales mapas rotaciones ) donde nótese que no se supone que A sea una isometría lineal . Entonces A mapea puntos medios a puntos medios y es lineal como un mapa sobre los números reales . Si X e Y son espacios vectoriales complejos, entonces A puede no ser lineal como un mapa sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Isometría lineal

Dados dos espacios vectoriales normados y una isometría lineal, existe una función lineal que preserva las normas: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle A:V\to W}$

${\displaystyle \|Av\|_{W}=\|v\|_{V}}$

para todos ^[7] Las isometrías lineales son funciones que preservan la distancia en el sentido anterior. Son isometrías globales si y solo si son sobreyectivas . ${\displaystyle v\in V.}$

En un espacio de producto interno , la definición anterior se reduce a

${\displaystyle \langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}}$

para todo lo cual es equivalente a decir que Esto también implica que las isometrías preservan los productos internos, como ${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}.}$

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle _{W}=\langle u,A^{\dagger }Av\rangle _{V}=\langle u,v\rangle _{V}}$.

Sin embargo , las isometrías lineales no siempre son operadores unitarios , ya que requieren además que y (es decir, el dominio y el codominio coinciden y definen una coisometría ). ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {Id} _{V}}$ ${\displaystyle A}$

Por el teorema de Mazur-Ulam , cualquier isometría de espacios vectoriales normados sobre es afín . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una isometría lineal también preserva necesariamente los ángulos, por lo tanto, una transformación de isometría lineal es una transformación lineal conforme .

Ejemplos

• Una función lineal de a sí misma es una isometría (para el producto escalar ) si y sólo si su matriz es unitaria . ^{[8] [9] [10] [11]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Colector

Una isometría de una variedad es cualquier aplicación (suave) de esa variedad en sí misma, o en otra variedad que preserva la noción de distancia entre puntos. La definición de una isometría requiere la noción de una métrica en la variedad; una variedad con una métrica (positiva-definida) es una variedad de Riemann , una con una métrica indefinida es una variedad pseudo-riemanniana . Por lo tanto, las isometrías se estudian en la geometría de Riemann .

Una isometría local de una variedad ( pseudo ) de Riemann a otra es una función que lleva el tensor métrico de la segunda variedad al tensor métrico de la primera. Cuando una función de este tipo es también un difeomorfismo , se denomina isometría (o isomorfismo isométrico ) y proporciona una noción de isomorfismo ("igualdad") en la categoría Rm de las variedades de Riemann.

Definición

Sean y dos variedades (pseudo)riemannianas y sea un difeomorfismo. Entonces se llama isometría (o isomorfismo isométrico ) si ${\displaystyle R=(M,g)}$ ${\displaystyle R'=(M',g')}$ ${\displaystyle f:R\to R'}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g=f^{*}g',}$

donde denota el retroceso del tensor métrico de rango (0, 2) por . De manera equivalente, en términos del avance tenemos que para cualesquiera dos campos vectoriales en (es decir, secciones del fibrado tangente ), ${\displaystyle f^{*}g'}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*},}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} M}$

${\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).}$

Si es un difeomorfismo local tal que entonces se llama isometría local . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{*}g',}$ ${\displaystyle f}$

Propiedades

Una colección de isometrías forma típicamente un grupo, el grupo de isometrías . Cuando el grupo es un grupo continuo , los generadores infinitesimales del grupo son los campos vectoriales de Killing .

El teorema de Myers-Steenrod establece que toda isometría entre dos variedades de Riemann conexas es suave (diferenciable). Una segunda forma de este teorema establece que el grupo de isometría de una variedad de Riemann es un grupo de Lie .

Las variedades de Riemann que tienen isometrías definidas en cada punto se denominan espacios simétricos .

Generalizaciones

• Dado un número real positivo ε, una ε-isometría o casi isometría (también llamada aproximación de Hausdorff ) es una función entre espacios métricos tal que ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
  1. porque uno tiene y ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,}$
  2. Para cualquier punto existe un punto con ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }$

Es decir, una ε -isometría conserva distancias dentro de ε y no deja ningún elemento del codominio más allá de ε de la imagen de un elemento del dominio. Nótese que no se supone que las ε -isometrías sean continuas .

• La propiedad de isometría restringida caracteriza matrices casi isométricas para vectores dispersos.
• La cuasi-isometría es otra generalización útil.
• También se puede definir un elemento en un C*-álgebra unital abstracta como una isometría:

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$es una isometría si y sólo si ${\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}$

Nótese que como se mencionó en la introducción este no es necesariamente un elemento unitario porque en general no se tiene que la inversa izquierda es una inversa derecha.

• En un espacio pseudoeuclidiano , el término isometría significa una biyección lineal que preserva la magnitud. Véase también Espacios cuadráticos .

Véase también

• Teorema de Beckman-Quarles
• Mapa conforme  – Función matemática que conserva los ángulos
• El segundo dual de un espacio de Banach como isomorfismo isométrico
• Isometría del plano euclidiano
• Plano (geometría)
• Grupo de homeomorfismo
• Involución
• Grupo de isometría
• Movimiento (geometría)
• Teorema de Myers-Steenrod
• Isometrías 3D que dejan el origen fijo
• Isometría parcial
• Escala (geometría)
• Incrustación semidefinida
• Grupo espacial
• Simetría en matemáticas

Notas al pie

1. "Encontraremos conveniente utilizar la palabra transformación en el sentido especial de una correspondencia biunívoca entre todos los puntos en el plano (o en el espacio), es decir, una regla para asociar pares de puntos, con el entendimiento de que cada par tiene un primer miembro P y un segundo miembro P' y que cada punto aparece como el primer miembro de un solo par y también como el segundo miembro de un solo par... ${\displaystyle P\to P'}$
   En particular, una isometría (o "transformación congruente" o "congruencia") es una transformación que preserva la longitud..." — Coxeter (1969) p. 29 ^[2]

2. 3.11 Dos triángulos congruentes están relacionados por una isometría única. — Coxeter (1969) p. 39 ^[3]

3. Sea T una transformación (posiblemente polivalente) de ( ) en sí misma. Sea la distancia entre los puntos p y q de , y sean Tp , Tq imágenes cualesquiera de p y q , respectivamente. Si existe una longitud a > 0 tal que siempre que , entonces T es una transformación euclidiana de sobre sí misma. ^[4]
   ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\infty }$
   ${\displaystyle d(p,q)}$ ${\displaystyle E^{n}}$
   ${\displaystyle d(Tp,Tq)=a}$ ${\displaystyle d(p,q)=a}$ ${\displaystyle E^{n}}$

Referencias

1. Coxeter 1969, pág. 46

   3.51 Toda isometría directa es una traslación o una rotación. Toda isometría opuesta es una reflexión o una reflexión por deslizamiento.

2. Coxeter 1969, pág. 29
3. Coxeter 1969, pág. 39
4. Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953). "Sobre isometrías de espacios euclidianos" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 4 (5): 810–815. doi : 10.2307/2032415 . JSTOR  2032415. MR  0058193.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 275–339.
6. Wilansky 2013, págs. 21-26.
7. Thomsen, Jesper Funch (2017). Álgebra lineal [ Álgebra lineal ]. Departamento de Matemáticas (en danés). Århus: Universidad de Aarhus. pag. 125.
8. Roweis, ST; Saul, LK (2000). "Reducción de dimensionalidad no lineal mediante incrustación lineal local". Science . 290 (5500): 2323–2326. Bibcode :2000Sci...290.2323R. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . doi :10.1126/science.290.5500.2323. PMID  11125150. 
9. Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (junio de 2003). "Piensa globalmente, ajusta localmente: aprendizaje no supervisado de variedades no lineales". Journal of Machine Learning Research . 4 (junio): 119–155. Optimización cuadrática de (página 135) tal que ${\displaystyle \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)}$ ${\displaystyle \mathbf {M} \equiv YY^{\top }}$
10. Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Variedades principales y reducción de dimensión no lineal mediante alineación del espacio tangente local". Revista SIAM de Computación Científica . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . doi :10.1137/s1064827502419154. 
11. Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Incorporación lineal local modificada utilizando múltiples pesos". En Schölkopf, B.; Platt, J.; Hoffman, T. (eds.). Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal . NIPS 2006. Actas de NeurIPS. Vol. 19. págs. 1593–1600. ISBN 9781622760381Puede recuperar la incrustación ideal si se aplica MLLE en puntos de datos muestreados de una variedad isométrica .

Bibliografía

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• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .
• Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría, segunda edición . Wiley . ISBN. 9780471504580.
• Lee, Jeffrey M. (2009). Variedades y geometría diferencial. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.