Función localmente constante

Tipo de función matemática

La función signum restringida al dominio es localmente constante. ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

En matemáticas , una función localmente constante es una función de un espacio topológico en un conjunto con la propiedad de que alrededor de cada punto de su dominio existe alguna vecindad de ese punto en la que se restringe a una función constante .

Definición

Sea una función de un espacio topológico a un conjunto Si entonces se dice que es localmente constante en si existe una vecindad de tal que es constante en lo que por definición significa que para todos La función se llama localmente constante si es localmente constante en cada punto de su dominio. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(u)=f(v)}$ ${\displaystyle u,v\in U.}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle x\in X}$

Ejemplos

Toda función constante es localmente constante. Lo contrario se cumplirá si su dominio es un espacio conexo .

Toda función localmente constante desde los números reales hasta es constante, por la conexión de Pero la función desde los racionales hasta definida por y es localmente constante (esto utiliza el hecho de que es irracional y que, por lo tanto, los dos conjuntos y son abiertos en ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(x)=0{\text{ for }}x<\pi ,}$ ${\displaystyle f(x)=1{\text{ for }}x>\pi ,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es localmente constante, entonces es constante en cualquier componente conexo de . Lo contrario es cierto para los espacios localmente conexos , que son espacios cuyos componentes conexos son subconjuntos abiertos. ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A.}$

Otros ejemplos incluyen los siguientes:

• Dado un mapa de cobertura , a cada punto podemos asignarle la cardinalidad de la fibra ; esta asignación es localmente constante. ${\displaystyle p:C\to X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$
• Un mapa de un espacio topológico a un espacio discreto es continuo si y sólo si es localmente constante. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Conexión con la teoría de la gavilla

Hay haces de funciones localmente constantes on. Para ser más definidos, las funciones localmente constantes con valores enteros on forman un haz en el sentido de que para cada conjunto abierto de podemos formar funciones de este tipo; y luego verificar que los axiomas de la gavilla se cumplan para esta construcción, lo que nos da una gavilla de grupos abelianos (incluso anillos conmutativos ). ^[1] Esta gavilla podría escribirse ; descrito mediante tallos , tenemos una copia de at para cada uno. Esto puede denominarse una gavilla constante , es decir, exactamente una gavilla de funciones localmente constantes que toman sus valores en el (mismo) grupo. Por supuesto, la gavilla típica no es constante en este sentido; pero la construcción es útil para vincular la cohomología de haces con la teoría de la homología y en aplicaciones lógicas de haces. La idea del sistema de coeficientes locales es que podemos tener una teoría de haces que localmente se parecen a gavillas "inofensivas" (cerca de cualquier ), pero que desde un punto de vista global exhiben cierta "torsión". ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z_{X}}$ ${\displaystyle Z_{x},}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x}$

Ver también

• Teorema de Liouville (análisis complejo)  – Teorema en análisis complejo
• Gavilla localmente constante

Referencias

1. Hartshorne, Robin (1977). Geometría Algebraica . Saltador. pag. 62.