En topología y otras ramas de las matemáticas , un espacio topológico X es localmente conexo si cada punto admite una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos conexos .
Como noción más sólida, el espacio X está localmente conexo por caminos si cada punto admite una base de vecindad que consta de conjuntos conexos por caminos abiertos .
A lo largo de la historia de la topología, la conectividad y la compacidad han sido dos de las propiedades topológicas más estudiadas. De hecho, el estudio de estas propiedades incluso entre subconjuntos del espacio euclidiano y el reconocimiento de su independencia de la forma particular de la métrica euclidiana jugaron un papel importante en la clarificación de la noción de propiedad topológica y, por tanto, de espacio topológico. Sin embargo, mientras que la estructura de los subconjuntos compactos del espacio euclidiano se entendió bastante pronto mediante el teorema de Heine-Borel , los subconjuntos conectados de (para n > 1) resultaron ser mucho más complicados. De hecho, si bien cualquier espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto , un espacio conexo (e incluso un subconjunto conexo del plano euclidiano) no necesita estar conexo localmente (ver más abajo).
Esto dio lugar a una rica corriente de investigación en la primera mitad del siglo XX, en la que los topólogos estudiaron las implicaciones entre variaciones cada vez más sutiles y complejas de la noción de un espacio localmente conectado. Como ejemplo, más adelante en este artículo se considerará la noción de conectividad local im kleinen en un punto y su relación con la conectividad local.
En la última parte del siglo XX, las tendencias de investigación cambiaron hacia un estudio más intenso de espacios como las variedades , que son localmente bien comprendidos (siendo localmente homeomórficos con respecto al espacio euclidiano) pero que tienen un comportamiento global complicado. Con esto se quiere decir que aunque la topología básica de conjuntos de puntos de las variedades es relativamente simple (ya que las variedades son esencialmente metrizables según la mayoría de las definiciones del concepto), su topología algebraica es mucho más compleja. Desde esta perspectiva moderna, la propiedad más fuerte de la conectividad de caminos locales resulta ser más importante: por ejemplo, para que un espacio admita una cobertura universal debe estar conectado y estar conectado localmente.
Un espacio está localmente conectado si y sólo si para cada conjunto abierto U , los componentes conectados de U (en la topología del subespacio ) están abiertos. De ello se deduce, por ejemplo, que una función continua desde un espacio localmente conectado hasta un espacio totalmente desconectado debe ser localmente constante. De hecho, la apertura de los componentes es tan natural que hay que tener presente que no es cierto en general: por ejemplo, el espacio de Cantor está totalmente desconectado pero no es discreto .
Sea un espacio topológico y sea un punto de
Un espacio se llama localmente conectado en [1] si cada vecindad de contiene una vecindad abierta conectada de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos conexos. Un espacio localmente conexo [2] [1] es un espacio que está localmente conectado en cada uno de sus puntos.
La conexión local no implica conexión (considere dos intervalos abiertos disjuntos en, por ejemplo); y la conectividad no implica conectividad local (ver la curva sinusoidal del topólogo ).
Un espacio se llama camino localmente conectado en [1] si cada vecindad de contiene una vecindad abierta conectada de camino de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos conectados por caminos. Un espacio conectado por camino local [3] [1] es un espacio que está conectado por camino local en cada uno de sus puntos.
Los espacios conectados por rutas locales están conectados localmente. Lo contrario no se cumple (consulte la topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario ).
Un espacio se llama conexo im kleinen en [4] [5] o débilmente conexo localmente en [6] si cada vecindad de contiene una vecindad conexa de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos conexos. Un espacio se dice débilmente conexo localmente si está débilmente conexo localmente en cada uno de sus puntos; Como se indica a continuación, este concepto es, de hecho, el mismo que estar conectado localmente.
Un espacio que está localmente conexo en está conexo im kleinen en Lo contrario no se cumple, como lo muestra, por ejemplo, una cierta unión infinita de espacios de escoba decrecientes , que está conexo im kleinen en un punto particular, pero no localmente conexo en ese punto. [7] [8] [9] Sin embargo, si un espacio está conexo im kleinen en cada uno de sus puntos, está conexo localmente. [10]
Se dice que un espacio es conexo por caminos im kleinen en [5] si cada vecindad de contiene una vecindad conexa por caminos de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consta de conjuntos conexos por caminos.
Un espacio que está localmente conectado por camino en es camino conectado im kleinen en Lo contrario no se cumple, como lo muestra la misma unión infinita de espacios de escoba decrecientes como arriba. Sin embargo, si un espacio está conexo por caminos im kleinen en cada uno de sus puntos, está conexo por caminos localmente. [11]
Un primer espacio de Hausdorff contable está conectado localmente por caminos si y solo si es igual a la topología final inducida por el conjunto de todos los caminos continuos.
Teorema : un espacio está conectado localmente si y solo si está débilmente conectado localmente. [10]
El siguiente resultado se desprende casi inmediatamente de las definiciones, pero será bastante útil:
Lema: Sea X un espacio y una familia de subconjuntos de X. Supongamos que no está vacío. Entonces, si cada uno está conectado (respectivamente, camino conectado), entonces la unión está conectada (respectivamente, camino conectado). [dieciséis]
Consideremos ahora dos relaciones en un espacio topológico X : para escribir:
Evidentemente ambas relaciones son reflexivas y simétricas. Además, si x e y están contenidos en un subconjunto A conectado (respectivamente, conectado por camino) e y y z están conectados en un subconjunto B conectado (respectivamente, conectado por camino) , entonces el lema implica que es un subconjunto conexo (respectivamente, conectado por camino) ) subconjunto que contiene x , y y z . Así, cada relación es una relación de equivalencia y define una partición de X en clases de equivalencia . Consideramos estas dos particiones por turno.
Para x en X , el conjunto de todos los puntos y tales que se llama componente conexo de x . [17] El Lema implica que es el único subconjunto conectado máximo de X que contiene x . [18] Dado que el cierre de también es un subconjunto conexo que contiene x , [19] se deduce que está cerrado. [20]
Si X tiene sólo un número finito de componentes conexos, entonces cada componente es el complemento de una unión finita de conjuntos cerrados y, por tanto, abiertos. En general, los componentes conectados no necesitan ser abiertos, ya que, por ejemplo, existen espacios totalmente desconectados (es decir, para todos los puntos x ) que no son discretos, como el espacio de Cantor. Sin embargo, los componentes conectados de un espacio conectado localmente también son abiertos y, por tanto, son conjuntos cerrados . [21] De ello se deduce que un espacio X localmente conectado es una unión topológica disjunta de sus distintos componentes conectados. Por el contrario, si para cada subconjunto abierto U de X , los componentes conexos de U son abiertos, entonces X admite una base de conjuntos conexos y, por tanto, es localmente conexo. [22]
De manera similar x en X , el conjunto de todos los puntos y tales que se llama componente de ruta de x . [23] Como se indicó anteriormente, también es la unión de todos los subconjuntos de X conectados por caminos que contienen x , por lo que, según el Lema, el camino en sí es conexo. Debido a que los conjuntos conexos de caminos son conexos, tenemos para todos
Sin embargo, el cierre de un conjunto conexo por caminos no necesita ser conexo por caminos: por ejemplo, la curva sinusoidal del topólogo es el cierre del subconjunto abierto U que consta de todos los puntos (x,sin(x)) con x > 0 y U , siendo homeomorfo a un intervalo en la recta real, ciertamente es un camino conexo. Además, las componentes de la trayectoria de la curva seno C del topólogo son U , que está abierta pero no cerrada, y que está cerrada pero no abierta.
Un espacio está localmente conectado por camino si y solo si para todos los subconjuntos abiertos U , los componentes del camino de U están abiertos. [23] Por lo tanto, los componentes de ruta de un espacio conectado de ruta localmente dan una partición de X en conjuntos abiertos disjuntos por pares. De ello se deduce que un subespacio abierto y conectado de un espacio conectado por caminos localmente está necesariamente conectado por caminos. [24] Además, si un espacio está conectado por una ruta local, entonces también está conectado localmente, por lo que todo está conectado y abierto, por lo tanto, una ruta conectada, es decir , para un espacio conectado por una ruta local los componentes y los componentes de la ruta coinciden .
Sea X un espacio topológico. Definimos una tercera relación en X : si no hay separación de X en conjuntos abiertos A y B tales que x es un elemento de A y y es un elemento de B. Esta es una relación de equivalencia en X y la clase de equivalencia que contiene x se llama cuasicomponente de x . [18]
También se puede caracterizar como la intersección de todos los subconjuntos abiertos de X que contienen x . [18] En consecuencia , queda cerrado; en general no es necesario que esté abierto.
Evidentemente para todos [18] En general tenemos las siguientes contenciones entre componentes de ruta, componentes y cuasicomponentes en x :
Si X es localmente conexo, entonces, como arriba, es un conjunto abierto que contiene x , así y así. Dado que la conexidad por caminos locales implica conectividad local, se deduce que en todos los puntos x de un espacio conexo por caminos localmente tenemos
Otra clase de espacios en los que los cuasicomponentes concuerdan con los componentes es la clase de espacios compactos de Hausdorff. [25]