Lista de límites

Esta es una lista de límites para funciones comunes como las funciones elementales . En este artículo, los términos a , b y c son constantes con respecto a x .

Límites para funciones generales

Definiciones de límites y conceptos relacionados

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ si y sólo si . Esta es la (ε, δ)-definición de límite . ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon }$

El límite superior y el límite inferior de una secuencia se definen como y . ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$

Se dice que una función, , es continua en un punto, c , si ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$

Operaciones sobre un único límite conocido

Si entonces: ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,af(x)=aL}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}}$^[4] si L no es igual a 0.
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}}$ si n es un entero positivo ^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}}$Si n es un entero positivo y si n es par, entonces L > 0. ^{[1] [3]}

En general, si g ( x ) es continua en L y entonces ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)}$^{[1] [2]}

Operaciones sobre dos límites conocidos

Si y entonces: ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0}$^{[1] [2] [3]}

Límites que involucran derivadas o cambios infinitesimales

En estos límites, el cambio infinitesimal se denota a menudo como . Si es diferenciable en , ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \delta x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$Esta es la definición de la derivada . Todas las reglas de diferenciación también pueden reformularse como reglas que involucran límites. Por ejemplo, si g ( x ) es diferenciable en x ,
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)}$Esta es la regla de la cadena .
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$Esta es la regla del producto .
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

Si y son diferenciables en un intervalo abierto que contiene c , excepto posiblemente c mismo, y , se puede utilizar la regla de L'Hôpital : ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty }$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$^[2]

Desigualdades

Si para todo x en un intervalo que contiene a c , excepto posiblemente c mismo, y el límite de y ambos existen en c , entonces ^[5] ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)}$$

Si y para todo x en un intervalo abierto que contiene c , excepto posiblemente c mismo, esto se conoce como el teorema del apretón . ^{[1] [2]} Esto se aplica incluso en los casos en que f ( x ) y g ( x ) toman valores diferentes en c , o son discontinuas en c . ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L.}$$

Polinomios y funciones de la formax un

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}$^{[1] [2] [3]}

Polinomios en x

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}$^{[1] [2] [3]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}}$si n es un entero positivo ^[5]
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$

En general, si es un polinomio entonces, por la continuidad de los polinomios, ^[5] Esto también es cierto para las funciones racionales , ya que son continuas en sus dominios . ^[5] ${\displaystyle p(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)}$$

Funciones de la formax un

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.}$^[5] En particular,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}$. ^[5] En particular,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0}$^[6]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a}$

Funciones exponenciales

Funciones de la formaag ( x )

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}$, debido a la continuidad de ${\displaystyle e^{x}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}$^[6]
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}$

Funciones de la formaincógnitag ( x )

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}$

Funciones de la formaF(incógnita)g ( x )

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}$^[2]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}$^[2]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$^[7]
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}$^[6]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}}$Este límite se puede derivar de este límite.

Sumas, productos y compuestos

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},}$para todos los a positivos . ^{[4] [7]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}$

Funciones logarítmicas

Logaritmos naturales

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}$, debido a la continuidad de . En particular, ${\displaystyle \ln {x}}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}$^[7]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}$Este límite se desprende de la regla de L'Hôpital .
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\ln x=0}$, por eso ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$^[6]

Logaritmos en bases arbitrarias

Para b > 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty }$

Para b < 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty }$

Ambos casos pueden generalizarse a:

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty }$

donde y es la función escalonada de Heaviside ${\displaystyle F(x)=2H(x-1)-1}$ ${\displaystyle H(x)}$

Funciones trigonométricas

Si se expresa en radianes: ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

Estos límites se derivan de la continuidad de seno y coseno.

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$. ^{[7] [8]} O, en general,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}$, para un valor distinto de 0.
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$, para b no igual a 0.
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0}$^{[4] [8] [9]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }$, para el entero n .
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1}$. O, en general,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{ax}}=1}$, para un valor distinto de 0.
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$, para b no igual a 0.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0}$, donde x ₀ es un número real arbitrario.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d}$, donde d es el número de Dottie . x ₀ puede ser cualquier número real arbitrario.

Sumas

En general, cualquier serie infinita es el límite de sus sumas parciales . Por ejemplo, una función analítica es el límite de su serie de Taylor , dentro de su radio de convergencia .

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty }$Esto se conoce como la serie armónica . ^[6]
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma }$Esta es la constante de Euler Mascheroni .

Límites especiales notables

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty }$Esto se puede demostrar considerando la desigualdad en . ${\displaystyle e^{x}\geq {\frac {x^{n}}{n!}}}$ ${\displaystyle x=n}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }$Esto se puede derivar de la fórmula de Viète para π .

Comportamiento limitante

Equivalencias asintóticas

Las equivalencias asintóticas , , son verdaderas si . Por lo tanto, también pueden reformularse como límites. Algunas equivalencias asintóticas notables incluyen ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1}$, debido al teorema de los números primos , , donde π(x) es la función de conteo primo . ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1}$, debido a la aproximación de Stirling , . ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Notación O grande

El comportamiento de las funciones descritas mediante la notación Big O también se puede describir mediante límites. Por ejemplo

• ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))}$si ${\displaystyle \limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty }$

Referencias

1. "Leyes básicas de límites". math.oregonstate.edu . Consultado el 31 de julio de 2019 .
2. "Hoja de referencia de límites - Symbolab" www.symbolab.com . Consultado el 31 de julio de 2019 .
3. "Sección 2.3: Cálculo de límites utilizando las leyes de límites" (PDF) .
4. "Fórmulas de límites y derivadas" (PDF) .
5. "Teoremas de límites". archives.math.utk.edu . Consultado el 31 de julio de 2019 .
6. "Algunos límites especiales". www.sosmath.com . Consultado el 31 de julio de 2019 .
7. "ALGUNOS LÍMITES IMPORTANTES - Fórmulas matemáticas - Fórmulas matemáticas - Fórmulas matemáticas básicas". www.pioneermathematics.com . Consultado el 31 de julio de 2019 .
8. "World Web Math: límites trigonométricos útiles". Instituto Tecnológico de Massachusetts . Consultado el 20 de marzo de 2023 .
9. "Cálculo I - Demostración de límites trigonométricos" . Consultado el 20 de marzo de 2023 .