Esta es una lista de límites para funciones comunes como las funciones elementales . En este artículo, los términos a , b y c son constantes con respecto a x .
Límites para funciones generales
Definiciones de límites y conceptos relacionados
si y sólo si . Esta es la (ε, δ)-definición de límite .
El límite superior y el límite inferior de una secuencia se definen como y .
Se dice que una función, , es continua en un punto, c , si
Operaciones sobre un único límite conocido
Si entonces:
- [1] [2] [3]
- [4] si L no es igual a 0.
- si n es un entero positivo [1] [2] [3]
- Si n es un entero positivo y si n es par, entonces L > 0. [1] [3]
En general, si g ( x ) es continua en L y entonces
- [1] [2]
Operaciones sobre dos límites conocidos
Si y entonces:
- [1] [2] [3]
- [1] [2] [3]
- [1] [2] [3]
Límites que involucran derivadas o cambios infinitesimales
En estos límites, el cambio infinitesimal se denota a menudo como . Si es diferenciable en ,
- Esta es la definición de la derivada . Todas las reglas de diferenciación también pueden reformularse como reglas que involucran límites. Por ejemplo, si g ( x ) es diferenciable en x ,
- Esta es la regla de la cadena .
- Esta es la regla del producto .
Si y son diferenciables en un intervalo abierto que contiene c , excepto posiblemente c mismo, y , se puede utilizar la regla de L'Hôpital :
- [2]
Desigualdades
Si para todo x en un intervalo que contiene a c , excepto posiblemente c mismo, y el límite de y ambos existen en c , entonces [5]
Si y para todo x en un intervalo abierto que contiene c , excepto posiblemente c mismo, esto se conoce como el teorema del apretón . [1] [2] Esto se aplica incluso en los casos en que f ( x ) y g ( x ) toman valores diferentes en c , o son discontinuas en c .
Polinomios y funciones de la formax un
- [1] [2] [3]
Polinomios en x
- [1] [2] [3]
- si n es un entero positivo [5]
En general, si es un polinomio entonces, por la continuidad de los polinomios, [5] Esto también es cierto para las funciones racionales , ya que son continuas en sus dominios . [5]
Funciones de la formax un
- [5] En particular,
- . [5] En particular,
- [6]
Funciones exponenciales
Funciones de la formaag ( x )
- , debido a la continuidad de
- [6]
Funciones de la formaincógnitag ( x )
Funciones de la formaF(incógnita)g ( x )
- [2]
- [2]
- [7]
- [6]
- Este límite se puede derivar de este límite.
Sumas, productos y compuestos
- para todos los a positivos . [4] [7]
Funciones logarítmicas
Logaritmos naturales
- , debido a la continuidad de . En particular,
- [7]
- Este límite se desprende de la regla de L'Hôpital .
- , por eso
- [6]
Logaritmos en bases arbitrarias
Para b > 1,
Para b < 1,
Ambos casos pueden generalizarse a:
donde y es la función escalonada de Heaviside
Funciones trigonométricas
Si se expresa en radianes:
Estos límites se derivan de la continuidad de seno y coseno.
- . [7] [8] O, en general,
- , para un valor distinto de 0.
- , para b no igual a 0.
- [4] [8] [9]
- , para el entero n .
- . O, en general,
- , para un valor distinto de 0.
- , para b no igual a 0.
- , donde x 0 es un número real arbitrario.
- , donde d es el número de Dottie . x 0 puede ser cualquier número real arbitrario.
Sumas
En general, cualquier serie infinita es el límite de sus sumas parciales . Por ejemplo, una función analítica es el límite de su serie de Taylor , dentro de su radio de convergencia .
- Esto se conoce como la serie armónica . [6]
- Esta es la constante de Euler Mascheroni .
Límites especiales notables
- Esto se puede demostrar considerando la desigualdad en .
- Esto se puede derivar de la fórmula de Viète para π .
Comportamiento limitante
Equivalencias asintóticas
Las equivalencias asintóticas , , son verdaderas si . Por lo tanto, también pueden reformularse como límites. Algunas equivalencias asintóticas notables incluyen
- , debido al teorema de los números primos , , donde π(x) es la función de conteo primo .
- , debido a la aproximación de Stirling , .
Notación O grande
El comportamiento de las funciones descritas mediante la notación Big O también se puede describir mediante límites. Por ejemplo
- si
Referencias
- ^ abcdefghij "Leyes básicas de límites". math.oregonstate.edu . Consultado el 31 de julio de 2019 .
- ^ abcdefghijkl "Hoja de referencia de límites - Symbolab" www.symbolab.com . Consultado el 31 de julio de 2019 .
- ^ abcdefgh "Sección 2.3: Cálculo de límites utilizando las leyes de límites" (PDF) .
- ^ abc "Fórmulas de límites y derivadas" (PDF) .
- ^ abcdef "Teoremas de límites". archives.math.utk.edu . Consultado el 31 de julio de 2019 .
- ^ abcde "Algunos límites especiales". www.sosmath.com . Consultado el 31 de julio de 2019 .
- ^ abcd "ALGUNOS LÍMITES IMPORTANTES - Fórmulas matemáticas - Fórmulas matemáticas - Fórmulas matemáticas básicas". www.pioneermathematics.com . Consultado el 31 de julio de 2019 .
- ^ ab "World Web Math: límites trigonométricos útiles". Instituto Tecnológico de Massachusetts . Consultado el 20 de marzo de 2023 .
- ^ "Cálculo I - Demostración de límites trigonométricos" . Consultado el 20 de marzo de 2023 .