Polinomio linealizado

En matemáticas , un polinomio linealizado (o q -polinomio) es un polinomio para el cual los exponentes de todos los monomios constituyentes son potencias de q y los coeficientes provienen de algún campo de extensión del campo finito de orden q .

Escribimos un ejemplo típico como donde cada uno es para algún entero positivo fijo . $${\displaystyle L(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{q^{i}},}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle F_{q^{m}}(=\operatorname {GF} (q^{m}))}$ ${\displaystyle m}$

Esta clase especial de polinomios es importante tanto desde un punto de vista teórico como de aplicaciones. ^[1] La naturaleza altamente estructurada de sus raíces hace que estas raíces sean fáciles de determinar.

Propiedades

• La función x ↦ L ( x ) es una función lineal sobre cualquier campo que contenga F _q .
• El conjunto de raíces de L es un espacio vectorial F q _y está cerrado bajo la función q de Frobenius .
• Por el contrario, si U es cualquier subespacio lineal F q _de algún campo finito que contiene a F _q , entonces el polinomio que se desvanece exactamente en U es un polinomio linealizado.
• El conjunto de polinomios linealizados sobre un cuerpo dado es cerrado bajo la adición y composición de polinomios.
• Si L es un polinomio linealizado distinto de cero sobre cuyas raíces todas se encuentran en el campo de extensión de , entonces cada raíz de L tiene la misma multiplicidad, que es 1 o una potencia positiva de q . ^[2] ${\displaystyle F_{q^{n}}}$ ${\displaystyle F_{q^{s}}}$ ${\displaystyle F_{q^{n}}}$

Multiplicación simbólica

En general, el producto de dos polinomios linealizados no será un polinomio linealizado, pero dado que la composición de dos polinomios linealizados da como resultado un polinomio linealizado, la composición puede usarse como reemplazo de la multiplicación y, por esta razón, la composición a menudo se denomina multiplicación simbólica en este contexto. Notacionalmente, si L ₁ ( x ) y L ₂ ( x ) son polinomios linealizados, definimos cuándo se adopta este punto de vista. $${\displaystyle L_{1}(x)\otimes L_{2}(x)=L_{1}(L_{2}(x))}$$

Polinomios asociados

Los polinomios L ( x ) y son q-asociados (nota: los exponentes " q ⁱ " de L ( x ) han sido reemplazados por " i " en l ( x )). Más específicamente, l ( x ) se llama el q-asociado convencional de L ( x ), y L ( x ) es el q-asociado linealizado de l ( x ). $${\displaystyle l(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$

q-polinomios sobreFq

Los polinomios linealizados con coeficientes en F _q tienen propiedades adicionales que permiten definir la división simbólica, la reducibilidad simbólica y la factorización simbólica. Dos ejemplos importantes de este tipo de polinomios linealizados son el automorfismo de Frobenius y la función traza . ${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$ ${\textstyle \operatorname {Tr} (x)=\sum _{i=0}^{n-1}x^{q^{i}}.}$

En este caso especial se puede demostrar que, como operación , la multiplicación simbólica es conmutativa , asociativa y distributiva sobre la suma ordinaria. ^[3] Además, en este caso especial, podemos definir la operación de división simbólica . Si L ( x ) y L ₁ ( x ) son polinomios linealizados sobre F _q , decimos que L ₁ ( x ) divide simbólicamente a L ( x ) si existe un polinomio linealizado L ₂ ( x ) sobre F _q para el cual: $${\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x).}$$

Si L ₁ ( x ) y L ₂ ( x ) son polinomios linealizados sobre F _q con q -asociados convencionales l ₁ ( x ) y l ₂ ( x ) respectivamente, entonces L ₁ ( x ) divide simbólicamente a L ₂ ( x ) si y solo si l ₁ ( x ) divide a l ₂ ( x ). ^[4] Además, L ₁ ( x ) divide a L ₂ ( x ) en el sentido ordinario en este caso. ^[5]

Un polinomio linealizado L ( x ) sobre F _q de grado > 1 es simbólicamente irreducible sobre F _q si las únicas descomposiciones simbólicas con L _i sobre F _q son aquellas para las que uno de los factores tiene grado 1. Nótese que un polinomio simbólicamente irreducible es siempre reducible en el sentido ordinario ya que cualquier polinomio linealizado de grado > 1 tiene el factor no trivial x . Un polinomio linealizado L ( x ) sobre F _q es simbólicamente irreducible si y solo si su q -asociado convencional l ( x ) es irreducible sobre F _q . $${\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x),}$$

Todo q -polinomio L ( x ) sobre F _q de grado > 1 tiene una factorización simbólica en polinomios simbólicamente irreducibles sobre F _q y esta factorización es esencialmente única (hasta reordenar los factores y multiplicar por elementos distintos de cero de F _q ).

Por ejemplo, ^[6] considere el 2-polinomio L ( x ) = x ¹⁶ + x ⁸ + x ² + x sobre F ₂ y su 2-asociado convencional l ( x ) = x ⁴ + x ³ + x + 1. La factorización en irreducibles de l ( x ) = ( x ² + x + 1)( x + 1) ² en F ₂ [ x ], da la factorización simbólica $${\displaystyle L(x)=(x^{4}+x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x).}$$

Polinomios afines

Sea L un polinomio linealizado sobre . Un polinomio de la forma es un polinomio afín sobre . ${\displaystyle F_{q^{n}}}$ ${\displaystyle A(x)=L(x)-\alpha {\text{ for }}\alpha \in F_{q^{n}},}$ ${\displaystyle F_{q^{n}}}$

Teorema: Si A es un polinomio afín distinto de cero sobre cuyas raíces todas se encuentran en el cuerpo de un cuerpo de extensión de , entonces cada raíz de A tiene la misma multiplicidad, que es 1 o una potencia positiva de q . ^[7] ${\displaystyle F_{q^{n}}}$ ${\displaystyle F_{q^{s}}}$ ${\displaystyle F_{q^{n}}}$

Notas

1. Lidl & Niederreiter 1997, pág.107 (primera edición)
2. Mullen y Panario 2013, pag. 23 (2.1.106)
3. Lidl y Niederreiter 1997, pág. 115 (primera edición)
4. Lidl y Niederreiter 1997, pág. 115 (primera edición) Corolario 3.60
5. Lidl y Niederreiter 1997, pág. 116 (primera edición) Teorema 3.62
6. Lidl y Niederreiter 1997, pág. 117 (primera edición) Ejemplo 3.64
7. Mullen y Panario 2013, pag. 23 (2.1.109)

Referencias

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Campos finitos . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 20 (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-39231-4.Zbl 0866.11069  .
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , Matemáticas discretas y sus aplicaciones, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6