Estado vinculado

Terminología de la física cuántica

Un estado ligado es un compuesto de dos o más bloques de construcción fundamentales, como partículas, átomos o cuerpos, que se comporta como un solo objeto y en el que se requiere energía para dividirlos. ^[1]

En física cuántica , un estado ligado es un estado cuántico de una partícula sujeta a un potencial tal que la partícula tiene tendencia a permanecer localizada en una o más regiones del espacio. El potencial puede ser externo o puede ser resultado de la presencia de otra partícula; en el último caso, se puede definir de manera equivalente un estado ligado como un estado que representa dos o más partículas cuya energía de interacción excede la energía total de cada partícula separada. Una consecuencia es que, dado un potencial que desaparece en el infinito , los estados de energía negativa deben limitarse. El espectro de energía del conjunto de estados ligados suele ser discreto, a diferencia de los estados de dispersión de las partículas libres , que tienen un espectro continuo.

Aunque no son estados ligados en sentido estricto, los estados metaestables con una energía de interacción neta positiva, pero con un tiempo de desintegración prolongado, a menudo también se consideran estados ligados inestables y se denominan "estados cuasi ligados". ^[2] Los ejemplos incluyen radionucleidos y átomos de Rydberg . ^[3]

En la teoría cuántica de campos relativista , un estado unido estable de n partículas con masas corresponde a un polo en la matriz S con una energía del centro de masa menor que . Un estado ligado inestable se muestra como un polo con un centro de masa complejo de energía. ${\displaystyle \{m_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k}m_{k}}$

Ejemplos

Una descripción general de las diversas familias de partículas elementales y compuestas, y las teorías que describen sus interacciones.

• Un protón y un electrón pueden moverse por separado; cuando lo hacen, la energía total del centro de masa es positiva y ese par de partículas puede describirse como un átomo ionizado. Una vez que el electrón comienza a "orbitar" el protón, la energía se vuelve negativa y  se forma un estado ligado, es decir, el átomo de hidrógeno . Sólo el estado ligado de menor energía, el estado fundamental , es estable. Otros estados excitados son inestables y se desintegrarán en estados ligados estables (pero no en otros inestables) con menos energía al emitir un fotón .
• Un "átomo" de positronio es un estado unido inestable de un electrón y un positrón . Se desintegra en fotones .
• Cualquier estado en el oscilador armónico cuántico está ligado, pero tiene energía positiva. Tenga en cuenta que lo siguiente no se aplica. ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty }$
• Un núcleo es un estado unido de protones y neutrones ( nucleones ).
• El protón en sí es un estado ligado de tres quarks (dos arriba y uno abajo ; uno rojo , uno verde y uno azul ). Sin embargo, a diferencia del átomo de hidrógeno, los quarks individuales nunca pueden aislarse. Ver confinamiento .
• Los modelos Hubbard y Jaynes-Cummings-Hubbard (JCH) admiten estados ligados similares. En el modelo de Hubbard, dos átomos bosónicos repulsivos pueden formar un par unido en una red óptica . ^{[4] [5] [6]} El hamiltoniano JCH también admite estados unidos de dos polaritones cuando la interacción fotón-átomo es suficientemente fuerte. ^[7]

Definición

Sea el espacio de medidas finitas σ un espacio de probabilidad asociado con el espacio de Hilbert complejo separable . Defina un grupo de operadores unitarios de un parámetro , un operador de densidad y un observable en . Sea la distribución de probabilidad inducida de con respecto a . Entonces la evolución ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu (T,\rho )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)}$

está obligado con respecto a si ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}$,

dónde . ^{[ dudoso ] [8]} ${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$

Una partícula cuántica está en un estado ligado si nunca se encuentra "demasiado lejos" de ninguna región finita , es decir, utilizando una representación de función de onda , ${\displaystyle R\subset X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}}$

tal que

${\displaystyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .}$

En otras palabras, un estado es un estado ligado si y sólo si es finitamente normalizable . Por lo tanto, los estados ligados deben estar dentro de la parte puntual pura del espectro de . ^[9] ${\displaystyle T}$

De manera más informal, las características anteriores son consecuencia del dominio de definición elegido de más que del de . ^{[nb 1]} Para un ejemplo concreto: let y let ser el operador de posición . Dado soporte compacto y . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H:=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$ ${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$

• Si la evolución del estado de "mueve este paquete de ondas hacia la derecha", por ejemplo, si es para todos , entonces no está vinculado al estado con respecto a la posición. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \rho }$
• Si no cambia en el tiempo, es decir para todos , entonces está ligado con respecto a la posición. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (t)=\rho }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \rho }$
• De manera más general: si la evolución del estado de "simplemente se mueve dentro de un dominio acotado", entonces está limitada con respecto a la posición. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Propiedades

Como los estados finitamente normalizables deben estar dentro de la parte puntual pura del espectro, los estados ligados deben estar dentro de la parte puntual pura. Sin embargo, como señalaron Neumann y Wigner , es posible que la energía de un estado ligado se ubique en la parte continua del espectro. Este fenómeno se conoce como estado ligado en el continuo . ^{[10] [11]}

Estados vinculados a una posición

Considere la ecuación de Schrödinger de una partícula. Si un estado tiene energía , entonces la función de onda ψ satisface, para algunos ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$ ${\displaystyle X>0}$

${\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X}$

de modo que ψ se suprime exponencialmente en x grande . Este comportamiento está bien estudiado para potenciales que varían suavemente en la aproximación WKB para función de onda, donde se observa un comportamiento oscilatorio si el lado derecho de la ecuación es negativo y un comportamiento creciente/decreciente si es positivo. ^[12] Por lo tanto, los estados de energía negativos están limitados si V desaparece en el infinito.

No degeneración en estados unidos unidimensionales

Se puede demostrar que los estados ligados 1D no degeneran en energía para funciones de onda de buen comportamiento que decaen a cero en infinitos. Esto no tiene por qué ser cierto para la función de onda en dimensiones superiores. Debido a la propiedad de los estados no degenerados, los estados ligados unidimensionales siempre se pueden expresar como funciones de onda reales.

Teorema del nodo

El teorema de nodo establece que la función de onda enlazada n-ésima ordenada de acuerdo con energía creciente tiene exactamente n-1 nodos, es decir. puntos donde . Debido a la forma de las ecuaciones independientes del tiempo de Schrödinger, no es posible que tenga una función de onda física ya que corresponde a una solución. ^[13] ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \psi (a)=0\neq \psi '(a)}$ ${\displaystyle \psi (a)=0=\psi '(a)}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$

Requisitos

Un bosón con masa m _χ que media en una interacción débilmente acoplada produce un potencial de interacción similar al de Yukawa ,

${\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}$,

donde , g es la constante de acoplamiento del calibre y ƛ _i = ${\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }$ℏ/micrófono _{_} _es la longitud de onda Compton reducida . Un bosón escalar produce un potencial de atracción universal, mientras que un vector atrae partículas a antipartículas pero las repele como pares. Para dos partículas de masa m ₁ y m ₂ , el radio de Bohr del sistema se convierte en

${\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}$

y produce el número adimensional

${\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}$.

Para que exista el primer estado ligado, . Como el fotón no tiene masa, D es infinito para el electromagnetismo . Para la interacción débil , la masa del bosón Z es ${\displaystyle D\gtrsim 0.8}$91,1876 ± 0,0021 GeV/ c ² , lo que impide la formación de estados unidos entre la mayoría de las partículas, como es97,2 veces la masa del protón y178.000 veces la masa del electrón .

Sin embargo, tenga en cuenta que si la interacción de Higgs no rompiera la simetría electrodébil en la escala electrodébil , entonces la interacción débil SU(2) se volvería limitante . ^[14]

Ver también

• Ecuación de Bethe-Salpeter
• Estado ligado en el continuo
• campo compuesto
• par de toneleros
• Resonancia (física de partículas)
• teorema de levinson

Observaciones

1. Consulte Valor esperado (mecánica cuántica) para ver un ejemplo.

Referencias

1. "Estado vinculado - Referencia de Oxford".
2. Sakurai, junio (1995). "7,8". En Tuan, San (ed.). Mecánica cuántica moderna (edición revisada). Lectura, Misa: Addison-Wesley. págs. 418–9. ISBN 0-201-53929-2. Supongamos que la barrera fuera infinitamente alta... esperamos estados ligados, con energía E  > 0... Son estados estacionarios con vida infinita. En el caso más realista de una barrera finita, la partícula puede quedar atrapada en su interior, pero no puede quedar atrapada para siempre. Un estado atrapado de este tipo tiene una vida útil finita debido al túnel mecánico cuántico. ... Llamemos a ese estado estado cuasi-ligado porque sería un estado limitado honesto si la barrera fuera infinitamente alta.
3. Gallagher, Thomas F. (15 de septiembre de 1994). "Fortalezas y vida útil del oscilador". Átomos de Rydberg (1 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 38–49. doi :10.1017/cbo9780511524530.005. ISBN 978-0-521-38531-2.
4. K. Winkler; G. Thalhammer; F. Lang; R. Grimm; JH Denschlag; AJ Daley; A. kantiano; HP Buchler; P. Zoller (2006). "Pares de átomos unidos repulsivamente en una red óptica". Naturaleza . 441 (7095): 853–856. arXiv : cond-mat/0605196 . Código Bib :2006Natur.441..853W. doi : 10.1038/naturaleza04918. PMID  16778884. S2CID  2214243.
5. Javanainen, Juha; Odong Otim; Sanders, Jerome C. (abril de 2010). "Dímero de dos bosones en una red óptica unidimensional". Física. Rev. A. 81 (4): 043609. arXiv : 1004.5118 . Código bibliográfico : 2010PhRvA..81d3609J. doi : 10.1103/PhysRevA.81.043609. S2CID  55445588.
6. M. Valiente y D. Petrosyan (2008). "Estados de dos partículas en el modelo de Hubbard". J. Física. Murciélago. Mol. Optar. Física . 41 (16): 161002. arXiv : 0805.1812 . Código Bib : 2008JPhB...41p1002V. doi :10.1088/0953-4075/41/16/161002. S2CID  115168045.
7. Ley Max TC Wong y CK (mayo de 2011). "Estados ligados a dos polaritos en el modelo Jaynes-Cummings-Hubbard". Física. Rev. A. Sociedad Estadounidense de Física . 83 (5): 055802. arXiv : 1101.1366 . Código Bib : 2011PhRvA..83e5802W. doi : 10.1103/PhysRevA.83.055802. S2CID  119200554.
8. Caña, M.; Simón, B. (1980). Métodos de la Física Matemática Moderna: I: Análisis funcional . Prensa académica. pag. 303.ISBN _ 978-0-12-585050-6.
9. Simón, B. (1978). "Una descripción general de la rigurosa teoría de la dispersión". pag. 3. S2CID  16913591. {{cite web}}: Falta o está vacío |url=( ayuda )
10. Stillinger, Frank H.; Herrick, David R. (1975). "Estados vinculados en el continuo". Revisión física A. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 11 (2): 446–454. doi :10.1103/physreva.11.446. ISSN  0556-2791.
11. Hsu, Chia Wei; Zhen, Bo; Piedra, A. Douglas; Joannopoulos, John D.; Soljačić, Marin (2016). "Estados vinculados en el continuo". Materiales de reseñas de la naturaleza . Springer Science y Business Media LLC. 1 (9). doi :10.1038/natrevmats.2016.48. hdl : 1721.1/108400 . ISSN  2058-8437.
12. Salón, Brian C. (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York Heidelberg$fDordrecht Londres: Springer. pag. 316-320. ISBN 978-1-4614-7115-8.
13. Berezin, FA (1991). La ecuación de Schrödinger. Dordrecht; Boston: Editores académicos de Kluwer. págs. 64–66. ISBN 978-0-7923-1218-5.
14. Claudson, M.; Farhi, E.; Jaffe, RL (1 de agosto de 1986). "Modelo estándar fuertemente acoplado". Revisión física D. 34 (3): 873–887. Código bibliográfico : 1986PhRvD..34..873C. doi : 10.1103/PhysRevD.34.873. PMID  9957220.

Otras lecturas

• Blanchard, Philippe; Bruning, Edward (2015). "Algunas aplicaciones de la representación espectral". Métodos matemáticos en física: distribuciones, operadores espaciales de Hilbert, métodos variacionales y aplicaciones en física cuántica (2ª ed.). Suiza: Springer International Publishing. pag. 431.ISBN _ 978-3-319-14044-5.

• Gustafson, Stephen J.; Sigal, Israel Michael (2011). "Espectro y Dinámica". Conceptos matemáticos de la mecánica cuántica (2ª ed.). Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. pag. 50.ISBN _ 978-3-642-21865-1.

• Ruelle, David (9 de enero de 2016). "Una observación sobre los estados vinculados en la teoría de la dispersión potencial" (PDF) . Nuevo Cimento A. 61 (junio de 1969): 655–662. doi :10.1007/BF02819607. S2CID  56050354 . Consultado el 27 de diciembre de 2021 .