Estado ligado en el continuo

Imagen esquemática de niveles de energía y ejemplos de diferentes estados. Estados del espectro discreto ^{[nb 1]} (verde), estados resonantes (línea de puntos azul) ^[1] y estados ligados en el continuo (rojo). Reproducido parcialmente de ^[2] y ^[3]

Un estado ligado en el continuo (BIC) es un estado propio de algún sistema cuántico particular con las siguientes propiedades:

1. La energía se encuentra en el espectro continuo de modos de propagación del espacio circundante;
2. El estado no interactúa con ninguno de los estados del continuo (no puede emitir ni ser excitado por ninguna onda que venga del infinito);
3. La energía es real y el factor Q es infinito, si no hay absorción en el sistema.

Los BIC se observan en sistemas electrónicos, fotónicos y acústicos . Son ampliamente conocidos los estados ligados en la zona prohibida, donde no hay soluciones finitas en el infinito ( átomos , puntos cuánticos , defectos en semiconductores ). Para las soluciones en un continuo que están asociadas con este continuo, se conocen estados resonantes ^[1] , que decaen (pierden energía) con el tiempo. Pueden excitarse, por ejemplo, mediante una onda incidente con la misma energía. Los estados ligados en el continuo tienen valores propios de energía real y, por lo tanto, no interactúan con los estados del espectro continuo y no pueden decaer. ^[2]

Clasificación de estados ligados en el continuo por mecanismo de ocurrencia

Fuente: ^[2]

BIC que surgen al resolver el problema inverso

BIC (Ingeniería de potencial) de Wigner-von Neumann

La función de onda de uno de los estados continuos se modifica para que sea normalizable y se selecciona el potencial correspondiente para ella.

Ingeniería de tasa de salto

En la aproximación de enlace estricto , las tasas de salto se modifican para que el estado se localice.

Ingeniería de forma de límites

Las fuentes de BIC de diferentes tipos, por ejemplo, tipo Fabry - Perot, se reemplazan por dispersores para crear BIC del mismo tipo.

BIC que surgen debido al ajuste de parámetros

BIC Fabry-Perot

Para estructuras resonantes, el coeficiente de reflexión cerca de la resonancia puede alcanzar la unidad. Dos de estas estructuras pueden disponerse de tal manera que irradien en antifase y se compensen entre sí.

BIC de Friedrich-Wintgen

Dos modos de la misma simetría de una misma estructura se acercan cuando se cambian los parámetros de la estructura, y en algún momento se produce un anticruzamiento. En este caso, BIC se forma en una de las ramas, ya que los modos parecen compensarse entre sí, estando en antifase e irradiando en el mismo canal de radiación. ^{[24] [25]}

BIC paramétricos de resonancia única

Ocurren cuando un único modo puede representarse como una suma de contribuciones, ^[41] cada una de las cuales varía con los parámetros de la estructura. En algún momento se produce una interferencia destructiva de todas las contribuciones.

BIC protegidos por simetría

Surgen cuando la simetría del estado propio difiere de cualquiera de las posibles simetrías de los modos de propagación en el continuo.

BIC separables

Surgen cuando el problema de valores propios se resuelve mediante el Método de Separación de Variables , y la función de onda se representa, por ejemplo, como , donde ambos multiplicadores corresponden a estados localizados, con la energía total en el continuo. ${\displaystyle \psi =\psi _{1}(x)\psi _{2}(y)}$

BIC de Wigner-Von Neumann

Los estados ligados en el continuo fueron predichos por primera vez en 1929 por Eugene Wigner y John von Neumann . ^[4] Se describieron dos potenciales, en los que los BIC aparecen por dos razones diferentes.

En este trabajo, primero se elige una función de onda esféricamente simétrica que sea cuadráticamente integrable en todo el espacio. Luego se elige un potencial tal que esta función de onda corresponda a energía cero.

El potencial es esféricamente simétrico, entonces la ecuación de onda se escribirá de la siguiente manera:

${\displaystyle -{\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\Delta \psi +(V(r)-E)\psi =0,}$

las derivadas de los ángulos desaparecen, ya que nos limitamos a considerar únicamente funciones de onda esféricamente simétricas:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}},}$

Para que sea el valor propio de la función de onda esféricamente simétrica , el potencial debe ser ${\displaystyle E=0}$ ${\displaystyle \psi =\psi (r)}$

${\displaystyle V={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\left({\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}+{\frac {2\psi ^{\prime }}{r\psi }}\right)}$.

Obtenemos los valores específicos y para los cuales se observará el BIC. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V}$

primer caso

Función potencial y de onda correspondiente a energía cero, para el primer caso del BIC de Wigner-Von Neumann

Consideremos la función . Si bien la integral debe ser finita, considerando el comportamiento cuando obtenemos eso , luego considerando el comportamiento cuando obtenemos . La regularidad en requiere . Finalmente, conseguimos . ${\displaystyle \psi =r^{\alpha }{\sin r^{\beta }}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2\alpha +2}{\sin ^{2}r^{\beta }}{\text{d}}r}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle 2\alpha +\beta +2>-1}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle 2\alpha +2<-1}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle r\neq 0}$ ${\displaystyle 2\alpha +\beta +1=0}$ ${\displaystyle \alpha =-2,\ \beta =3}$

Suponiendo , entonces el potencial será igual a (descartando el multiplicador irrelevante ): ${\displaystyle \psi (r)={\frac {\sin r^{3}}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle {h^{2}}/{8\pi ^{2}m}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}}$

La función propia y la curva de potencial se muestran en la figura. Parece que el electrón simplemente se alejará del potencial y la energía pertenecerá al espectro sólido, pero hay una órbita estacionaria con . ${\displaystyle E=0}$

En el trabajo ^[4] se da la siguiente interpretación: este comportamiento puede entenderse por analogía con la mecánica clásica (las consideraciones pertenecen a Leo Szilard ). El movimiento de un punto material en el potencial se describe mediante la siguiente ecuación: ${\displaystyle V={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}}$

${\displaystyle {{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V(r)=\mathrm {Const} }}$

${\displaystyle {{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}\mathrm {Const} -{\frac {4}{m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {18}{m}}r^{4}}}}}$

Es fácil ver que cuando , , entonces la asintótica es ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}r^{2};\ \ \ \ \ \ \ {\frac {1}{r}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}\left(t_{0}-t\right),\ \ }$ ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {m}}{3{\sqrt {2}}\left(t_{0}-t\right)}}}$

es decir, durante un tiempo finito el punto llega al infinito. La solución estacionaria significa que el punto regresa nuevamente del infinito, que es como si se reflejara desde allí y comenzara a oscilar. El hecho de que at tienda a cero se debe a que rueda por un gran tobogán de potencial y tiene una velocidad enorme y, por tanto, una vida útil corta. Y dado que todo el proceso oscilatorio (desde el infinito y viceversa) es periódico, es lógico que este problema de la mecánica cuántica tenga una solución estacionaria. ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle \psi (r)}$ ${\displaystyle \psi (r)}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r_{min}}$

Segundo caso

(a) Función potencial y de onda (en una escala arbitraria a lo largo del eje vertical) correspondiente a energía cero, para el segundo caso del SSC de Wigner von Neumann, (b) . ${\displaystyle A=1.5}$ ${\displaystyle A=15}$

Pasemos al segundo ejemplo, que ya no puede interpretarse a partir de tales consideraciones.

Primero que nada, tomamos una función , luego . Se trata de ondas esféricas divergentes, ya que la energía es mayor que la potencial , la energía cinética clásica sigue siendo positiva. La función de onda pertenece a un espectro continuo, la integral diverge. Intentemos cambiar la función de onda para que la integral cuadrática converja y el potencial varíe cerca de -1. ${\displaystyle \psi ={\frac {\sin r}{r}}}$ ${\displaystyle V=-1}$ ${\displaystyle E=0}$ ${\displaystyle V=-1}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=4\pi \int _{0}^{\infty }\sin ^{2}r{\text{d}}r}$

Considere el siguiente ansatz:

${\displaystyle \psi ={\frac {\sin r}{r}}f(r)}$

Si la función es continua y asintótica, entonces la integral es finita. El potencial sería entonces igual (con el error aritmético corregido en el artículo original): ^[7] ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2}$

${\displaystyle V=-1+2\operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}+{\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}.}$

Para que el potencial permanezca cerca de -1 y tienda a -1, debemos hacer que las funciones sean pequeñas y tiendan a cero. ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}},\ {\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

En el primer caso, también debería desaparecer for , es decir, for , es decir, for . Este es el caso cuando o cualquier otra función de esta expresión. ${\displaystyle {\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ctg} r=\infty }$ ${\displaystyle r=0,\pi ,\ 2\pi ,\ 2\pi ,\dots }$ ${\displaystyle \sin r=0}$ ${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{r}\sin ^{2}r{\text{d}}r={\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r}$

Supongamos que dónde es arbitrario (aquí tiende a cuándo ). Entonces ${\displaystyle f(r)=[A^{2}+({\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r)^{2}]^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \psi ={\frac {\sin r}{r(A^{2}+(2r-\sin 2r)^{2})}}.}$

La expresión del potencial es complicada, pero los gráficos muestran que el potencial tiende a -1. Además, resulta que para cualquiera se puede elegir un A cuyo potencial esté entre y . Podemos ver que el potencial oscila con el período y la función de onda oscila con el período . Resulta que todas las ondas reflejadas por las "jorobas" de dicho potencial están en fase, y la función se localiza en el centro, siendo reflejada desde el potencial mediante un mecanismo similar al reflejo de un espejo de Bragg . ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle -1-\varepsilon }$ ${\displaystyle -1+\varepsilon }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Notas

1. Técnicamente, los estados ligados pertenecen al espectro puntual puro, no al espectro discreto. Véase Descomposición del espectro (análisis funcional) y " Simon, B. (1978), An Overview of Rigorous Scattering Theory , p. 3, S2CID  16913591"

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