Para un absorbente/emisor ideal o cuerpo negro , la ley de Stefan-Boltzmann establece que la energía total radiada por unidad de superficie por unidad de tiempo (también conocida como salida radiante ) es directamente proporcional a la cuarta potencia de la temperatura del cuerpo negro, T :
En el caso general, la ley de Stefan-Boltzmann para la salida radiante toma la forma: ¿
Dónde está la emisividad de la superficie que emite la radiación? La emisividad está generalmente entre cero y uno. Una emisividad de uno corresponde a un cuerpo negro.
Explicación detallada
La exitancia radiante (anteriormente llamada emitancia radiante ), tiene dimensiones de flujo de energía (energía por unidad de tiempo por unidad de área), y las unidades de medida del SI son julios por segundo por metro cuadrado (J⋅s −1 ⋅m −2 ) , o equivalentemente, vatios por metro cuadrado (W⋅m −2 ). [2] La unidad SI para temperatura absoluta , T , es el kelvin (K).
Para encontrar la potencia total radiada por un objeto, multiplique la salida radiante por el área de la superficie del objeto :
La materia que no absorbe toda la radiación incidente emite menos energía total que un cuerpo negro. Las emisiones se reducen mediante un factor , donde la emisividad , es una propiedad material que, para la mayor parte de la materia, satisface . En general, la emisividad puede depender de la longitud de onda , la dirección y la polarización . Sin embargo, la emisividad que aparece en la forma no direccional de la ley de Stefan-Boltzmann es la emisividad total hemisférica , que refleja las emisiones totalizadas en todas las longitudes de onda, direcciones y polarizaciones. [3] : 60
La forma de la ley de Stefan-Boltzmann que incluye la emisividad es aplicable a toda la materia, siempre que la materia esté en un estado de equilibrio termodinámico local (LTE) de modo que su temperatura esté bien definida. [3] : 66n, 541 (Esta es una conclusión trivial, ya que la emisividad, , se define como la cantidad que hace que esta ecuación sea válida. Lo que no es trivial es la proposición de que , que es una consecuencia de la ley de temperatura térmica de Kirchhoff radiación [4] : 385 )
Un cuerpo llamado gris es un cuerpo cuya emisividad espectral es independiente de la longitud de onda, de modo que la emisividad total, , es una constante. [3] : 71 En el caso más general (y realista), la emisividad espectral depende de la longitud de onda. La emisividad total, aplicable a la ley de Stefan-Boltzmann, puede calcularse como un promedio ponderado de la emisividad espectral, siendo el espectro de emisión del cuerpo negro la función de ponderación . De ello se deduce que si la emisividad espectral depende de la longitud de onda, entonces la emisividad total depende de la temperatura, es decir , [3] : 60 Sin embargo, si la dependencia de la longitud de onda es pequeña, entonces la dependencia de la temperatura también será pequeña.
Las partículas de longitud de onda y sublongitud de onda, [5] metamateriales , [6] y otras nanoestructuras [7] no están sujetas a límites de rayos ópticos y pueden diseñarse para tener una emisividad mayor que 1.
En documentos de normas nacionales e internacionales , se recomienda el símbolo para denotar salida radiante ; un círculo en superíndice (°) indica un término relacionado con un cuerpo negro. [2] (Se agrega un subíndice "e" cuando es importante distinguir la cantidad energética ( radiométrica ) de salida radiante , de la cantidad análoga de visión humana ( fotométrica ), salida luminosa , denotada . [8] ) En el uso común, El símbolo utilizado para la salida radiante (a menudo llamado emitancia radiante ) varía entre diferentes textos y en diferentes campos.
La ley de Stefan-Boltzmann puede expresarse como una fórmula para calcular la radiancia en función de la temperatura. La radiación se mide en vatios por metro cuadrado por estereorradián (W⋅m −2 ⋅sr −1 ). La ley de Stefan-Boltzmann para la radiancia de un cuerpo negro es: [9] : 26 [10]
En 1864, John Tyndall presentó mediciones de la emisión infrarroja de un filamento de platino y el color correspondiente del filamento. [12] [13] [14] [15]
La proporcionalidad a la cuarta potencia de la temperatura absoluta fue deducida por Josef Stefan (1835-1893) en 1877 sobre la base de las mediciones experimentales de Tyndall, en el artículo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( Sobre la relación entre radiación térmica y temperatura ) en los boletines de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena. [dieciséis]
Ludwig Boltzmann (1844-1906) presentó en 1884 una derivación de la ley a partir de consideraciones teóricas , basándose en el trabajo de Adolfo Bartoli . [17]
Bartoli en 1876 había deducido la existencia de la presión de radiación a partir de los principios de la termodinámica . Siguiendo a Bartoli, Boltzmann consideró un motor térmico ideal que utilizaba radiación electromagnética en lugar de un gas ideal como materia de trabajo.
La ley fue verificada experimentalmente casi de inmediato. Heinrich Weber señaló en 1888 desviaciones a temperaturas más altas, pero en 1897 se confirmó una precisión perfecta dentro de las incertidumbres de medición hasta temperaturas de 1535 K. [18]
La ley, incluida la predicción teórica de la constante de Stefan-Boltzmann en función de la velocidad de la luz , la constante de Boltzmann y la constante de Planck , es una consecuencia directa de la ley de Planck formulada en 1900.
Antes de esto, el valor de se calculaba a partir del valor medido de la constante del gas . [21]
El valor numérico de la constante de Stefan-Boltzmann es diferente en otros sistemas de unidades, como se muestra en la siguiente tabla.
Ejemplos
Temperatura del sol
Con su ley Stefan también determinó la temperatura de la superficie del Sol . [23] Dedujo de los datos de Jacques-Louis Soret (1827-1890) [24] que la densidad de flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad de flujo de energía de cierta laminilla metálica calentada (una placa delgada). Se colocó una laminilla redonda a una distancia tal del dispositivo de medición que se pudiera ver con el mismo diámetro angular que el Sol. Soret estimó que la temperatura de la laminilla era de aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan supuso que 1/3 del flujo de energía del Sol es absorbido por la atmósfera terrestre , por lo que tomó como flujo de energía solar correcto un valor 3/2 veces mayor que el valor de Soret, es decir, 29 × 3/2 = 43,5.
No se realizaron mediciones precisas de la absorción atmosférica hasta 1888 y 1904. La temperatura que obtuvo Stefan fue un valor mediano de los anteriores, 1950 °C y el termodinámico absoluto 2200 K. Como 2,57 · 4 = 43,5, se deduce de la ley que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de la laminilla, por lo que Stefan obtuvo un valor de 5430 °C o 5700 K. Este fue el primer valor sensible para la temperatura del Sol. Antes de esto, los valores oscilaban desde 1800 °C hasta 1800 °C.Se afirmaron 13.000.000 °C [25] . El valor más bajo de 1800 °C fue determinado por Claude Pouillet (1790-1868) en 1838 utilizando la ley de Dulong-Petit . [26] [27] Pouillet también tomó sólo la mitad del valor del flujo de energía correcto del Sol.
Temperatura de las estrellas
La temperatura de otras estrellas además del Sol se puede aproximar utilizando un método similar tratando la energía emitida como radiación de un cuerpo negro . [28] Entonces:
donde L es la luminosidad , σ es la constante de Stefan-Boltzmann, R es el radio estelar y T es la temperatura efectiva . Luego, esta fórmula se puede reorganizar para calcular la temperatura:
o alternativamente el radio:
Las mismas fórmulas también se pueden simplificar para calcular los parámetros relativos al Sol:
dónde está el radio solar , etc. También se pueden reescribir en términos de área de superficie A y salida radiante :
donde y
De manera similar, podemos calcular la temperatura efectiva de la Tierra T ⊕ igualando la energía recibida del Sol y la energía irradiada por la Tierra, bajo la aproximación del cuerpo negro (la propia producción de energía de la Tierra es lo suficientemente pequeña como para ser insignificante). La luminosidad del Sol, L ⊙ , viene dada por:
En la Tierra, esta energía pasa a través de una esfera con un radio de 0 , la distancia entre la Tierra y el Sol, y la irradiancia (potencia recibida por unidad de área) está dada por
La Tierra tiene un radio de R ⊕ y por lo tanto tiene una sección transversal de . El flujo radiante (es decir, la energía solar) absorbida por la Tierra viene dado por:
Debido a que la ley de Stefan-Boltzmann utiliza una cuarta potencia, tiene un efecto estabilizador sobre el intercambio y el flujo emitido por la Tierra tiende a ser igual al flujo absorbido, cercano al estado estacionario donde:
Entonces se puede encontrar T ⊕ :
donde T ⊙ es la temperatura del Sol, R ⊙ el radio del Sol y a 0 es la distancia entre la Tierra y el Sol. Esto da una temperatura efectiva de 6 °C en la superficie de la Tierra, suponiendo que absorba perfectamente todas las emisiones que caen sobre ella y no tenga atmósfera.
La Tierra tiene un albedo de 0,3, lo que significa que el 30% de la radiación solar que incide en el planeta se dispersa hacia el espacio sin ser absorbida. El efecto del albedo sobre la temperatura se puede aproximar suponiendo que la energía absorbida se multiplica por 0,7, pero que el planeta aún irradia como un cuerpo negro (esto último por definición de temperatura efectiva , que es lo que estamos calculando). Esta aproximación reduce la temperatura en un factor de 0,7 1/4 , dando 255 K (-18 °C; -1 °F). [29] [30]
La temperatura anterior es la de la Tierra vista desde el espacio, no la temperatura del suelo sino un promedio de todos los cuerpos emisores de la Tierra desde la superficie hasta gran altitud. Debido al efecto invernadero , la temperatura promedio real de la superficie de la Tierra es de aproximadamente 288 K (15 °C; 59 °F), que es más alta que la temperatura efectiva de 255 K (-18 °C; -1 °F), e incluso más alta. que la temperatura de 279 K (6 °C; 43 °F) que tendría un cuerpo negro.
En la discusión anterior, hemos asumido que toda la superficie de la Tierra está a una misma temperatura. Otra pregunta interesante es cuál sería la temperatura de la superficie de un cuerpo negro en la Tierra suponiendo que alcance el equilibrio con la luz del sol que incide sobre él. Por supuesto, esto depende del ángulo del sol sobre la superficie y de la cantidad de aire que ha atravesado la luz del sol. Cuando el sol está en el cenit y la superficie es horizontal, la irradiancia puede llegar a 1120 W/m 2 . [31] La ley de Stefan-Boltzmann da entonces una temperatura de
o 102 °C (216 °F). (Por encima de la atmósfera, el resultado es aún mayor: 394 K (121 °C; 250 °F).) Podemos pensar que la superficie de la Tierra "trata" de alcanzar una temperatura de equilibrio durante el día, pero la atmósfera la enfría. e "intentar" alcanzar el equilibrio con la luz de las estrellas y posiblemente la luz de la luna durante la noche, pero la atmósfera lo calienta.
Origen
Derivación termodinámica de la densidad de energía.
De la definición de densidad de energía se deduce que
donde la densidad de energía de la radiación solo depende de la temperatura, por lo tanto
Ahora, la igualdad es después de la sustitución de
Mientras tanto, la presión es la tasa de cambio de impulso por unidad de área. Dado que el impulso de un fotón es igual a la energía dividida por la velocidad de la luz,
el factor 1/3 proviene de la proyección de la transferencia de impulso sobre la normal a la pared del contenedor.
Dado que la derivada parcial se puede expresar como una relación entre solo y (si se aísla en un lado de la igualdad), la derivada parcial se puede reemplazar por la derivada ordinaria. Después de separar las diferenciales se obtiene la igualdad
que conduce inmediatamente a , con una constante de integración.
Derivación de la ley de Planck
La ley se puede derivar considerando una pequeña superficie plana de un cuerpo negro que irradia formando una media esfera. Esta derivación utiliza coordenadas esféricas , con θ como ángulo cenital y φ como ángulo azimutal; y la pequeña superficie plana del cuerpo negro se encuentra en el plano xy, donde θ = π / 2 .
La intensidad de la luz emitida desde la superficie del cuerpo negro viene dada por la ley de Planck ,
donde
La cantidad es la potencia radiada por una superficie de área A a través de un ángulo sólido d Ω en el rango de frecuencia entre ν y ν + dν .
La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia emitida por unidad de área del cuerpo emisor,
Tenga en cuenta que el coseno aparece porque los cuerpos negros son lambertianos (es decir, obedecen la ley del coseno de Lambert ), lo que significa que la intensidad observada a lo largo de la esfera será la intensidad real multiplicada por el coseno del ángulo cenital. Para derivar la ley de Stefan-Boltzmann, debemos integrar sobre la media esfera e integrar de 0 a ∞.
Luego nos conectamos para I :
Para evaluar esta integral, haga una sustitución,
que da:
Finalmente, esta prueba comenzó considerando sólo una pequeña superficie plana. Sin embargo, cualquier superficie diferenciable puede aproximarse mediante una colección de pequeñas superficies planas. Mientras la geometría de la superficie no haga que el cuerpo negro reabsorba su propia radiación, la energía total irradiada es simplemente la suma de las energías irradiadas por cada superficie; y el área de superficie total es simplemente la suma de las áreas de cada superficie, por lo que esta ley también se aplica a todos los cuerpos negros convexos , siempre que la superficie tenga la misma temperatura en todas partes. La ley se extiende a la radiación de cuerpos no convexos aprovechando el hecho de que la cáscara convexa de un cuerpo negro irradia como si fuera un cuerpo negro.
Densidad de energia
La densidad de energía total U se puede calcular de manera similar, excepto que la integración es sobre toda la esfera y no hay coseno, y el flujo de energía (U c) debe dividirse por la velocidad c para obtener la densidad de energía U :
por lo tanto , se reemplaza por , dando un factor extra de 4.
Así, en total:
El producto a veces se conoce como constante de radiación o constante de densidad de radiación . [33] [34]
Descomposición en términos de fotones.
La ley de Stephan-Boltzmann se puede expresar como [35]
donde el flujo de fotones, está dado por
y la energía promedio por fotón, está dada por
Marr y Wilkin (2012) recomiendan que a los estudiantes se les enseñe, en lugar de enseñarles, la ley de desplazamiento de Wien , y que se les enseñe la descomposición anterior cuando se les enseñe la ley de Stefan-Boltzmann. [35]
^ "Valor CODATA 2022: constante de Stefan-Boltzmann". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024 . Consultado el 18 de mayo de 2024 .
^ ab "Aislamiento térmico - Transferencia de calor por radiación - Vocabulario". ISO_9288:2022 . Organización Internacional de Normalización . 2022 . Consultado el 17 de junio de 2023 .
^ abcd Siegel, Robert; Howell, John R. (1992). Transferencia de calor por radiación térmica (3 ed.). Taylor y Francisco. ISBN0-89116-271-2.
^ ab Reif, F. (1965). Fundamentos de Física Estadística y Térmica . Prensa Waveland. ISBN978-1-57766-612-7.
^ Bohren, Craig F.; Huffman, Donald R. (1998). Absorción y dispersión de la luz por pequeñas partículas. Wiley. págs. 123-126. ISBN978-0-471-29340-8.
^ Narimanov, Evgenii E.; Smolyaninov, Igor I. (2012). "Más allá de la ley de Stefan-Boltzmann: hiperconductividad térmica". Jornada sobre Láseres y Electroóptica 2012 . Compendio técnico de la OSA. Sociedad Óptica de América. págs.QM2E.1. arXiv : 1109.5444 . CiteSeerX 10.1.1.764.846 . doi :10.1364/QELS.2012.QM2E.1. ISBN978-1-55752-943-5. S2CID 36550833.
^ Golyk, VA; Krüger, M.; Kardar, M. (2012). "Radiación de calor de objetos cilíndricos largos". Física. Rev. E. 85 (4): 046603. doi : 10.1103/PhysRevE.85.046603. hdl : 1721.1/71630 . PMID 22680594. S2CID 27489038.
^ "salida radiante". Electropedia: el vocabulario electrotécnico en línea del mundo . Comisión Electrotécnica Internacional . Consultado el 20 de junio de 2023 .
^ Bueno, RM; Yung, YL (1989). Radiación Atmosférica: Base Teórica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN0-19-505134-3.
^ Grainger, RG (2020). "Introducción a la transferencia de radiación atmosférica: Capítulo 3. Conceptos básicos de radiometría" (PDF) . Grupo de datos de observación de la Tierra, Departamento de Física, Universidad de Oxford . Consultado el 15 de junio de 2023 .
^ "Densidad de energía de radiación". Hiperfísica . Consultado el 20 de junio de 2023 .
^ Tyndall, Juan (1864). "Sobre la radiación luminosa [es decir, visible] y oscura [es decir, infrarroja]". Revista Filosófica . 4ta serie. 28 : 329–341. ; ver pág. 333.
↑ En su libro de texto de física de 1875, Adolph Wüllner citó los resultados de Tyndall y luego agregó estimaciones de la temperatura que correspondía al color del filamento de platino: Wüllner, Adolph (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [ Libro de texto de física experimental ] (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 215.
^ De (Wüllner, 1875), pág. 215: "Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht,... también rápido um das 12fache zu". (Como se desprende de los experimentos de Draper, que se discutirán en breve, una temperatura de aproximadamente 525°[C] corresponde al resplandor rojo débil; una [temperatura] de aproximadamente 1200°[C], al resplandor blanco pleno. Así , mientras que la temperatura aumentó sólo algo más del doble, la intensidad de la radiación aumentó de 10,4 a 122, es decir, casi 12 veces.)
^ ab Wisniak, Jaime (noviembre de 2002). "Ley de radiación del calor: de Newton a Stefan" (PDF) . Revista india de tecnología química . 9 : 551–552 . Consultado el 15 de junio de 2023 .
^ Stefan declaró (Stefan 1879, p. 421): "Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, ... die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absolutn Temperatur proporcional anzunehmen". (En primer lugar, quiero señalar aquí la observación que Wüllner, en su libro de texto, añadió al informe de los experimentos de Tyndall sobre la radiación de un alambre de platino que se hizo brillar mediante una corriente eléctrica, porque esta observación fue la primera que me hizo suponer que la radiación térmica es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta).
^ Boltzmann, Ludwig (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivación de la ley de Stefan, relativa a la dependencia de la radiación térmica con respecto a la temperatura, a partir de la teoría electromagnética de la luz]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 258 (6): 291–294. Código bibliográfico : 1884AnP...258..291B. doi : 10.1002/andp.18842580616 .
^ Badino, M. (2015). El camino lleno de baches: Max Planck de la teoría de la radiación a la cuántica (1896-1906). SpringerBriefs de Historia de la Ciencia y la Tecnología. Publicaciones internacionales Springer. pag. 31.ISBN978-3-319-20031-6. Consultado el 15 de junio de 2023 .
^ "Derivación termodinámica de la ley de Stefan-Boltzmann". TECS . 21 de febrero de 2020 . Consultado el 20 de junio de 2023 .
^ Moldover, SEÑOR; Trusler, JPM; Edwards, TJ; Mehl, JB; Davis, RS (25 de enero de 1988). "Medición de la constante universal de gas R mediante un resonador acústico esférico". Cartas de revisión física . 60 (4): 249–252. Código bibliográfico : 1988PhRvL..60..249M. doi : 10.1103/PhysRevLett.60.249. PMID 10038493.
^ Çengel, Yunus A. (2007). Transferencia de calor y masa: un enfoque práctico (3ª ed.). McGraw-Hill.
^ Stefan 1879, págs. 426–427
^ Soret, JL (1872). Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique [ Comparación de las intensidades térmicas de la radiación solar y de la radiación de un cuerpo calentado con una antorcha de oxihidrógeno ]. 2da serie (en francés). vol. 44. Ginebra, Suiza: Archives des sciences physiques et naturallles. págs. 220-229.
^ Waterston, John James (1862). "Un relato de observaciones sobre la radiación solar". Revista Filosófica . 4ta serie. 23 (2): 497–511. Código Bib : 1861MNRAS..22...60W. doi : 10.1093/mnras/22.2.60 .En P. En 505, el físico escocés John James Waterston estimó que la temperatura de la superficie del sol podría ser de 12.880.000°.
^ Pouillet (1838). "Mémoire sur la chaleur solaire, sur les pouvoirs rayonnants et absorbentes de l'air atmosphérique, et sur la température de l'espace" [Memoria sobre el calor solar, sobre los poderes radiante y absorbente del aire atmosférico y sobre la temperatura del espacio]. Comptes Rendus (en francés). 7 (2): 24–65. En P. 36, Pouillet estima la temperatura del sol: "... cette température pourrait être de 1761°..." (... esta temperatura [es decir, del Sol] podría ser 1761°...)
^ Traducción al inglés: Taylor, R.; Woolf, H. (1966). Memorias científicas, seleccionadas de transacciones de academias de ciencias y sociedades científicas extranjeras, y de revistas extranjeras. Corporación de reimpresión Johnson . Consultado el 15 de junio de 2023 .
^ "Luminosidad de las estrellas". Divulgación y educación del telescopio australiano . Consultado el 13 de agosto de 2006 .
^ Cuarto informe de evaluación del Panel Intergubernamental sobre Cambio Climático. Capítulo 1: Reseña histórica de la ciencia del cambio climático (PDF) (Reporte). pag. 97. Archivado desde el original (PDF) el 26 de noviembre de 2018.
^ "La radiación solar y el equilibrio energético de la Tierra". Archivado desde el original el 17 de julio de 2012 . Consultado el 16 de agosto de 2010 .
^ "Introducción a la Radiación Solar". Corporación Newport. Archivado desde el original el 29 de octubre de 2013.
^ Knizhnik, Kalman. "Derivación de la ley de Stefan-Boltzmann" (PDF) . Universidad Johns Hopkins - Departamento de Física y Astronomía . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 3 de septiembre de 2018 .
^ Limones, Don S.; Shanahan, William R.; Buchholtz, Louis J. (13 de septiembre de 2022). Tras la pista de la radiación de cuerpo negro: Max Planck y la física de su época. Prensa del MIT. pag. 38.ISBN978-0-262-37038-7.
^ Campaña, S.; Mangano, V.; Blustin, AJ; Marrón, P.; Madrigueras, DN; Chincarini, G.; Cummings, JR; Cusumano, G.; Valle, M. Della; Malesani, D.; Mészaros, P.; Nousek, JA; Página, M.; Sakamoto, T.; Waxman, E. (agosto de 2006). "La asociación de GRB 060218 con una supernova y la evolución de la onda de choque". Naturaleza . 442 (7106): 1008–1010. arXiv : astro-ph/0603279 . Código Bib : 2006Natur.442.1008C. doi : 10.1038/naturaleza04892. ISSN 0028-0836. PMID 16943830. S2CID 119357877.
^ ab Marr, Jonathan M.; Wilkin, Francisco P. (2012). "Una mejor presentación de la ley de radiación de Planck". Soy. J. Física . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Código Bib : 2012AmJPh..80..399M. doi : 10.1119/1.3696974. S2CID 10556556.
Referencias
Stefan, J. (1879), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [Sobre la relación entre la radiación de calor y la temperatura] (PDF) , Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (en alemán), 79 : 391–428
Boltzmann, L. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivación de la pequeña ley de Stefan sobre la dependencia de la radiación térmica de la temperatura de la teoría electromagnética de luz], Annalen der Physik und Chemie (en alemán), 258 (6): 291–294, Bibcode :1884AnP...258..291B, doi : 10.1002/andp.18842580616