Ley de desplazamiento de Viena

Ley de la física establecida en 1893.

Radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda para diversas temperaturas. Cada curva de temperatura alcanza su punto máximo en una longitud de onda diferente y la ley de Wien describe el desplazamiento de ese pico.

Hay diversas formas de asociar una longitud de onda o frecuencia característica con el espectro de emisión del cuerpo negro de Planck. Cada una de estas métricas escala de manera similar con la temperatura, un principio conocido como ley de desplazamiento de Wien. Para diferentes versiones de la ley, la constante de proporcionalidad difiere; por lo tanto, para una temperatura determinada, no existe una longitud de onda o frecuencia característica única.

La ley de desplazamiento de Wien establece que la curva de radiación del cuerpo negro para diferentes temperaturas alcanzará su punto máximo en diferentes longitudes de onda que son inversamente proporcionales a la temperatura. El cambio de ese pico es una consecuencia directa de la ley de radiación de Planck , que describe el brillo espectral o la intensidad de la radiación del cuerpo negro en función de la longitud de onda a cualquier temperatura dada. Sin embargo, Wilhelm Wien la descubrió varios años antes de que Max Planck desarrollara esa ecuación más general y describe todo el desplazamiento del espectro de radiación del cuerpo negro hacia longitudes de onda más cortas a medida que aumenta la temperatura.

Formalmente, la versión de longitud de onda de la ley de desplazamiento de Wien establece que la radiancia espectral de la radiación del cuerpo negro por unidad de longitud de onda alcanza su máximo en la longitud de onda dada por: ${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}}$

$${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}={\frac {b}{T}}}$$

Ttemperatura absolutabconstante de proporcionalidadconstante de desplazamiento de Wien2,897 771 955 ... × 10 ⁻³  m⋅K^{[1] [2]}b ≈ 2898 μm ⋅K

Esta es una relación inversa entre la longitud de onda y la temperatura. Entonces, cuanto mayor es la temperatura, más corta o menor es la longitud de onda de la radiación térmica. Cuanto menor es la temperatura, más larga o mayor es la longitud de onda de la radiación térmica. En el caso de la radiación visible, los objetos calientes emiten una luz más azul que los objetos fríos. Si se considera el pico de emisión del cuerpo negro por unidad de frecuencia o por ancho de banda proporcional, se debe utilizar una constante de proporcionalidad diferente. Sin embargo, la forma de la ley sigue siendo la misma: la longitud de onda máxima es inversamente proporcional a la temperatura y la frecuencia máxima es directamente proporcional a la temperatura.

Existen otras formulaciones de la ley de desplazamiento de Wien, que están parametrizadas en relación con otras cantidades. Para estas formulaciones alternativas, la forma de la relación es similar, pero la constante de proporcionalidad, b , difiere.

La ley de desplazamiento de Wien puede denominarse "ley de Wien", término que también se utiliza para la aproximación de Wien .

En la "ley de desplazamiento de Wien", la palabra desplazamiento se refiere a cómo los gráficos de intensidad-longitud de onda aparecen desplazados (desplazados) para diferentes temperaturas.

Ejemplos

Los herreros trabajan el hierro cuando está lo suficientemente caliente como para emitir radiación térmica claramente visible .

El color de una estrella está determinado por su temperatura, según la ley de Wien. En la constelación de Orión , se puede comparar Betelgeuse ( T  ≈ 3300 K, arriba a la izquierda), Rigel ( T  = 12100 K, abajo a la derecha), Bellatrix ( T  = 22000 K, arriba a la derecha) y Mintaka ( T  = 31800 K, más a la derecha de las 3 "estrellas del cinturón" en el medio).

La ley de desplazamiento de Viena es relevante para algunas experiencias cotidianas:

• Una pieza de metal calentada por un soplete primero se pone "al rojo vivo" cuando las longitudes de onda visibles más largas aparecen en rojo, luego se vuelve más rojo anaranjado a medida que aumenta la temperatura, y a temperaturas muy altas se describiría como "blanco caliente" como Longitudes de onda cada vez más cortas llegan a predominar en el espectro de emisión del cuerpo negro. Antes incluso de alcanzar la temperatura al rojo vivo, la emisión térmica se producía principalmente en longitudes de onda infrarrojas más largas , que no son visibles; sin embargo, esa radiación se puede sentir mientras calienta la piel cercana.
• Se observan fácilmente cambios en el color de una bombilla incandescente (que produce luz a través de radiación térmica) a medida que un regulador de luz varía la temperatura de su filamento . A medida que la luz se atenúa y la temperatura del filamento disminuye, la distribución del color cambia hacia longitudes de onda más largas y la luz parece más roja, además de más tenue.
• Un fuego de leña a 1500 K produce un pico de radiación de unos 2000 nanómetros. El 98% de su radiación se produce en longitudes de onda superiores a 1.000 nm, y sólo una pequeña proporción en longitudes de onda visibles (390 a 700 nanómetros). En consecuencia, una fogata puede mantenernos calientes pero es una mala fuente de luz visible.
• La temperatura efectiva del Sol es de 5778 Kelvin. Utilizando la ley de Wien, se encuentra un pico de emisión por nanómetro (de longitud de onda) a una longitud de onda de aproximadamente 500 nm, en la porción verde del espectro cerca del pico de sensibilidad del ojo humano. ^{[3] [4]} Por otro lado, en términos de potencia por unidad de frecuencia óptica, la emisión máxima del Sol está a 343 THz o una longitud de onda de 883 nm en el infrarrojo cercano. En términos de potencia por porcentaje de ancho de banda, el pico está a unos 635 nm, una longitud de onda roja. Aproximadamente la mitad de la radiación del Sol tiene longitudes de onda inferiores a 710 nm, aproximadamente el límite de la visión humana. De eso, alrededor del 12% está en longitudes de onda inferiores a 400 nm, longitudes de onda ultravioleta, que son invisibles al ojo humano sin ayuda. Una gran cantidad de radiación del Sol cae en el espectro visible , bastante pequeño .
• Sin embargo, la preponderancia de las emisiones en el rango visible no se da en la mayoría de las estrellas . La supergigante caliente Rigel emite el 60% de su luz en ultravioleta, mientras que la supergigante fría Betelgeuse emite el 85% de su luz en longitudes de onda infrarrojas. Con ambas estrellas prominentes en la constelación de Orión , se puede apreciar fácilmente la diferencia de color entre el blanco azulado Rigel ( T  = 12100 K) y el rojo Betelgeuse ( T  ≈ 3300 K). Si bien pocas estrellas son tan calientes como Rigel, las estrellas más frías que el Sol o incluso tan frías como Betelgeuse son muy comunes.
• Los mamíferos con una temperatura cutánea de unos 300 K emiten un pico de radiación de unas 10 μm en el infrarrojo lejano. Por lo tanto, este es el rango de longitudes de onda infrarrojas que las víboras y las cámaras IR pasivas deben detectar.
• Al comparar el color aparente de las fuentes de iluminación (incluidas luces fluorescentes , iluminación LED , monitores de computadora y flashes fotográficos ), se acostumbra citar la temperatura del color . Aunque los espectros de tales luces no se describen con precisión mediante la curva de radiación del cuerpo negro, se cita una temperatura de color (la temperatura de color correlacionada ) para la cual la radiación del cuerpo negro se acercaría más al color subjetivo de esa fuente. Por ejemplo, la luz fluorescente azul-blanca que a veces se utiliza en una oficina puede tener una temperatura de color de 6500 K, mientras que el tinte rojizo de una luz incandescente atenuada puede tener una temperatura de color (y una temperatura real del filamento) de 2000 K. Tenga en cuenta que la descripción informal del primer color (azulado) como "frío" y del segundo (rojizo) como "cálido" es exactamente opuesta al cambio de temperatura real involucrado en la radiación del cuerpo negro.

Descubrimiento

La ley lleva el nombre de Wilhelm Wien , quien la derivó en 1893 basándose en un argumento termodinámico. ^[5] Wien consideró la expansión adiabática de una cavidad que contiene ondas de luz en equilibrio térmico. Utilizando el principio de Doppler , demostró que, bajo una lenta expansión o contracción, la energía de la luz reflejada en las paredes cambia exactamente de la misma manera que la frecuencia. Un principio general de la termodinámica es que un estado de equilibrio térmico, cuando se expande muy lentamente, permanece en equilibrio térmico.

El propio Wien dedujo teóricamente esta ley en 1893, siguiendo el razonamiento termodinámico de Boltzmann. Había sido observado previamente, al menos de forma semicuantitativa, por un astrónomo estadounidense, Langley . Este cambio ascendente es familiar para todos: cuando se calienta una plancha en el fuego, la primera radiación visible (alrededor de 900 K) es de color rojo intenso, la luz visible de menor frecuencia. Un aumento adicional hace que el color cambie a naranja, luego a amarillo y finalmente a azul a temperaturas muy altas (10.000 K o más), para las cuales el pico en la intensidad de la radiación se ha movido más allá de lo visible hacia el ultravioleta. ^[6] ${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

El principio adiabático permitió a Wien concluir que para cada modo, la energía/frecuencia invariante adiabática es sólo una función del otro invariante adiabático, la frecuencia/temperatura. De esto, derivó la "versión fuerte" de la ley de desplazamiento de Wien: la afirmación de que la radiancia espectral del cuerpo negro es proporcional a para alguna función F de una sola variable. Se puede encontrar una variante moderna de la derivación de Wien en el libro de texto de Wannier ^[7] y en un artículo de E. Buckingham ^[8]. ${\displaystyle \nu ^{3}F(\nu /T)}$

La consecuencia es que la forma de la función de radiación del cuerpo negro (que aún no se entendía) cambiaría proporcionalmente en frecuencia (o inversamente proporcional en longitud de onda) con la temperatura. Cuando Max Planck formuló más tarde la función de radiación correcta del cuerpo negro, no incluyó explícitamente la constante de Wien . Más bien, se creó la constante de Planck y se introdujo en su nueva fórmula. A partir de la constante de Planck y la constante de Boltzmann se puede obtener la constante de Wien . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$

El pico difiere según la parametrización

Los resultados de las tablas anteriores resumen los resultados de otras secciones de este artículo. Los percentiles son percentiles del espectro del cuerpo negro de Planck. ^[9] Sólo el 25 por ciento de la energía en el espectro del cuerpo negro está asociada con longitudes de onda más cortas que el valor dado por la versión de longitud de onda máxima de la ley de Wien.

Espectro de cuerpo negro de Planck parametrizado por longitud de onda, ancho de banda fraccional (longitud de onda logarítmica o frecuencia logarítmica) y frecuencia, para una temperatura de 6000 K.

Observe que para una temperatura determinada, diferentes parametrizaciones implican diferentes longitudes de onda máximas. En particular, la curva de intensidad por unidad de frecuencia alcanza su punto máximo a una longitud de onda diferente a la curva de intensidad por unidad de longitud de onda. ^[10]

Por ejemplo, usando = 6000 K (5730 °C; 10340 °F) y parametrización por longitud de onda, la longitud de onda para la radiancia espectral máxima es = 482,962 nm con la frecuencia correspondiente = 620,737 THz . Para la misma temperatura, pero parametrizando por frecuencia, la frecuencia para la radiancia espectral máxima es = 352,735 THz con la longitud de onda correspondiente = 849,907 nm . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Estas funciones son funciones de densidad de radiancia , que son funciones de densidad de probabilidad escaladas para dar unidades de radiancia. La función de densidad tiene diferentes formas para diferentes parametrizaciones, dependiendo del estiramiento o compresión relativa de la abscisa, que mide el cambio en la densidad de probabilidad con respecto a un cambio lineal en un parámetro dado. Dado que la longitud de onda y la frecuencia tienen una relación recíproca, representan cambios significativamente no lineales en la densidad de probabilidad entre sí.

La radiancia total es la integral de la distribución sobre todos los valores positivos, y es invariante para una temperatura determinada bajo cualquier parametrización. Además, para una temperatura determinada, la radiancia formada por todos los fotones entre dos longitudes de onda debe ser la misma independientemente de la distribución que utilice. Es decir, integrar la distribución de longitud de onda de a dará como resultado el mismo valor que integrar la distribución de frecuencia entre las dos frecuencias que corresponden a y , es decir, de a . ^[11] Sin embargo, la forma de la distribución depende de la parametrización, y para una parametrización diferente la distribución normalmente tendrá una densidad de pico diferente, como lo demuestran estos cálculos. ^[10] ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle c/\lambda _{2}}$ ${\displaystyle c/\lambda _{1}}$

Sin embargo, el punto importante de la ley de Wien es que cualquier marcador de longitud de onda, incluida la longitud de onda mediana (o, alternativamente, la longitud de onda por debajo de la cual se produce cualquier porcentaje específico de la emisión) es proporcional al recíproco de la temperatura. Es decir, la forma de la distribución para una parametrización dada escala y se traduce según la temperatura, y puede calcularse una vez para una temperatura canónica, luego desplazarse y escalarse adecuadamente para obtener la distribución para otra temperatura. Esto es una consecuencia de la firme formulación de la ley de Wien.

Formulación dependiente de la frecuencia

Para el flujo espectral considerado por unidad de frecuencia (en hercios ), la ley de desplazamiento de Wien describe una emisión máxima en la frecuencia óptica dada por: ^[12] ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle \nu _{\text{peak}}}$

$${\displaystyle \nu _{\text{peak}}={x \over h}k\,T\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T}$$

$${\displaystyle h\nu _{\text{peak}}=x\,k\,T\approx (2.431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T}$$

= ${\displaystyle x}$2,821 439 372 122 078 893 ... ^[13] k constante de Boltzmann h constante de Planck T

Derivación de la ley de Planck

Parametrización por longitud de onda

La ley de Planck para el espectro de radiación de cuerpo negro predice la ley de desplazamiento de Wien y puede usarse para evaluar numéricamente la temperatura relativa constante y el valor máximo del parámetro para cualquier parametrización particular. Comúnmente se utiliza una parametrización de longitud de onda y en ese caso la radiancia espectral del cuerpo negro (potencia por área de emisión por ángulo sólido) es:

$${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}$$

Derivando con respecto a la derivada e igualándola a cero se obtiene: ${\displaystyle u(\lambda ,T)}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}$$

$${\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}$$

Al definir:

$${\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}$$

x

$${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.}$$

$${\displaystyle x=5(1-e^{-x})\,.}$$

Esta ecuación se resuelve mediante

$${\displaystyle x=5+W_{0}(-5e^{-5})}$$

función Lambert W ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle x=}$ 4.965 114 231 744 276 303 ... ^{[14] [15] [2]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;}$(2,897 771 955 185 172 661 ... mm⋅K ) . ${\displaystyle /T}$

Parametrización por frecuencia

Otra parametrización común es por frecuencia . La derivación que produce el valor máximo del parámetro es similar, pero comienza con la forma de la ley de Planck en función de la frecuencia : ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}$$

El proceso anterior usando esta ecuación produce:

$${\displaystyle -{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.}$$

$${\displaystyle x=3(1-e^{-x})\,.}$$

W^[16]

$${\displaystyle x=3+W_{0}(-3e^{-3})}$$

= ${\displaystyle x}$2.821 439 372 122 078 893 ... ^[13]

Resolviendo para produce: ^[12] ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }=xkT/h=}$(0,058 789 257 576 468 249 46 ... THz⋅K ⁻¹ ) . ${\displaystyle \cdot T}$

Parametrización por el logaritmo de longitud de onda o frecuencia.

El uso de la ecuación implícita produce el pico en la función de densidad de radiancia espectral expresada en el parámetro radiancia por ancho de banda proporcional . (Es decir, la densidad de irradiancia por ancho de banda de frecuencia proporcional a la frecuencia misma, que puede calcularse considerando intervalos infinitesimales de (o equivalentemente ) en lugar de la frecuencia misma). Esta es quizás una forma más intuitiva de presentar la "longitud de onda de emisión máxima". ". Eso produce = ${\displaystyle x=4(1-e^{-x})}$ ${\displaystyle \ln \nu }$ ${\displaystyle \ln \lambda }$ ${\displaystyle x}$3.920 690 394 872 886 343 ... . ^[17]

La energía fotónica media como caracterización alternativa.

Otra forma de caracterizar la distribución de la radiación es mediante la energía media del fotón ^[10].

$${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T\approx (\mathrm {3.7294\times 10^{-23}\,J/K} )\cdot T\;,}$$

¿Dónde está la función zeta de Riemann ? La longitud de onda correspondiente a la energía media del fotón está dada por ${\displaystyle \zeta }$

$${\displaystyle \lambda _{\langle E\rangle }\approx (\mathrm {0.532\,65\,cm\,K} )/T\;.}$$

Crítica

Marr y Wilkin (2012) sostienen que la enseñanza generalizada de la ley de desplazamiento de Viena en cursos introductorios es indeseable y sería mejor reemplazarla con material alternativo. Argumentan que enseñar derecho es problemático porque:

1. la curva de Planck es demasiado amplia para que el pico se destaque o se considere significativo;
2. la ubicación del pico depende de la parametrización, y citan varias fuentes que coinciden en que "la designación de cualquier pico de la función no es significativa y, por lo tanto, debería restarse importancia";
3. la ley no se utiliza para determinar temperaturas en la práctica real, sino que se confía en el uso directo de la función de Planck .

Sugieren que se presente la energía promedio de los fotones en lugar de la ley de desplazamiento de Wien, como un indicador físicamente más significativo de los cambios que ocurren con el cambio de temperatura. En este sentido, recomiendan discutir el número medio de fotones por segundo en relación con la ley de Stefan-Boltzmann . Recomiendan que el espectro de Planck se represente como una "densidad de energía espectral por distribución de ancho de banda fraccional", utilizando una escala logarítmica para la longitud de onda o la frecuencia. ^[10]

Ver también

• Aproximación de Viena
• Emisividad
• Ecuación de Sakuma-Hattori
• Ley de Stefan-Boltzmann
• Termómetro
• Catástrofe ultravioleta

Referencias

1. "Valor CODATA 2018: constante de la ley de desplazamiento de longitud de onda de Viena". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
2. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A081819 (expansión decimal de la constante de la ley de desplazamiento de longitud de onda de Viena)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
3. Walker, J. Fundamentos de la física, 8ª ed., John Wiley and Sons, 2008, p. 891. ISBN 9780471758013 . 
4. Feynman, R; Leighton, R; Sands, M. Las conferencias Feynman sobre física, vol. 1, págs. 35-2 – 35-3. ISBN 0201510030 . 
5. Mehra, J .; Rechenberg, H. (1982). El desarrollo histórico de la teoría cuántica . Ciudad de Nueva York: Springer-Verlag. Capítulo 1. ISBN 978-0-387-90642-3.
6. "1.1: La radiación del cuerpo negro no se puede explicar de forma clásica". 18 de marzo de 2020.
7. Wannier, GH (1987) [1966]. Física Estadística . Publicaciones de Dover . Capítulo 10.2. ISBN 978-0-486-65401-0. OCLC  15520414.
8. Buckingham, E. (1912). "Sobre la deducción de la Ley de Desplazamiento de Viena" (PDF) . Boletín de la Oficina de Normas . 8 (3): 545–557. Archivado desde el original (PDF) el 6 de diciembre de 2020 . Consultado el 18 de octubre de 2020 .
9. Lowen, AN; Blanch, G. (1940). "Tablas de funciones de fotones y radiación de Planck". Revista de la Sociedad Óptica de América . 30 (2): 70. Código Bib :1940JOSA...30...70L. doi :10.1364/JOSA.30.000070.
10. Marr, Jonathan M.; Wilkin, Francisco P. (2012). "Una mejor presentación de la ley de radiación de Planck". Revista Estadounidense de Física . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Código Bib : 2012AmJPh..80..399M. doi : 10.1119/1.3696974. S2CID  10556556.
11. Rey, Frank (2003). "Probabilidad 2003-04, Capítulo 11, FUNCIONES TRANSFORMADORAS DE DENSIDAD". Universidad de Cambridge.
12. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A357838 (expansión decimal de la constante de la ley de desplazamiento de frecuencia de Viena)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
13. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A194567". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
14. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A094090". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
15. Das, Biman (2002). "Obtención de la ley de desplazamiento de Wien a partir de la ley de radiación de Planck". El Profesor de Física . 40 (3): 148-149. Código Bib : 2002PhTea..40..148D. doi :10.1119/1.1466547.
16. Williams, Brian Wesley (2014). "Una forma matemática específica para la ley de desplazamiento de Wien como ν _max / T = constante". Revista de Educación Química . 91 (5): 623. Código Bib :2014JChEd..91..623W. doi :10.1021/ed400827f.
17. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A256501". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

Otras lecturas

• Soffer, BH; Lynch, DK (1999). "Algunas paradojas, errores y resoluciones relativas a la optimización espectral de la visión humana". Revista Estadounidense de Física . 67 (11): 946–953. Código bibliográfico : 1999AmJPh..67..946S. doi :10.1119/1.19170. S2CID  16025855.
• Heald, MA (2003). "¿Dónde está el 'pico de Viena'?". Revista Estadounidense de Física . 71 (12): 1322-1323. Código bibliográfico : 2003AmJPh..71.1322H. doi : 10.1119/1.1604387.

enlaces externos

• El mundo de la física de Eric Weisstein