Los circuitos de línea conmensurada son circuitos eléctricos compuestos por líneas de transmisión que tienen todas la misma longitud; comúnmente un octavo de una longitud de onda . Los circuitos de elementos concentrados se pueden convertir directamente en circuitos de elementos distribuidos de esta forma mediante el uso de la transformación de Richards . Esta transformación tiene un resultado particularmente simple; los inductores se reemplazan con líneas de transmisión terminadas en cortocircuitos y los capacitores se reemplazan con líneas terminadas en circuitos abiertos. La teoría de líneas conmensuradas es particularmente útil para diseñar filtros de elementos distribuidos para su uso en frecuencias de microondas .
Generalmente es necesario realizar una transformación adicional del circuito utilizando las identidades de Kuroda . Existen varias razones para aplicar una de las transformaciones de Kuroda; la principal suele ser eliminar componentes conectados en serie. En algunas tecnologías, incluida la ampliamente utilizada microstrip , las conexiones en serie son difíciles o imposibles de implementar.
La respuesta de frecuencia de los circuitos de línea conmensurada, como todos los circuitos de elementos distribuidos, se repetirá periódicamente, lo que limita el rango de frecuencia en el que son eficaces. Los circuitos diseñados con los métodos de Richards y Kuroda no son los más compactos. Los refinamientos de los métodos de acoplamiento de elementos pueden producir diseños más compactos. No obstante, la teoría de línea conmensurada sigue siendo la base de muchos de estos diseños de filtros más avanzados.
Las líneas conmensuradas son líneas de transmisión que tienen todas la misma longitud eléctrica, pero no necesariamente la misma impedancia característica ( Z 0 ). Un circuito de línea conmensurada es un circuito eléctrico compuesto únicamente de líneas conmensuradas terminadas con resistencias o circuitos de cortocircuito y apertura. En 1948, Paul I. Richards publicó una teoría de circuitos de línea conmensurada mediante la cual un circuito pasivo de elementos concentrados podía transformarse en un circuito de elementos distribuidos con exactamente las mismas características en un cierto rango de frecuencias. [1]
Las longitudes de las líneas en circuitos de elementos distribuidos , por lo general, se expresan en términos de la longitud de onda operativa nominal del circuito, λ. Las líneas de la longitud prescrita en un circuito de línea conmensurable se denominan elementos unitarios (UE). Una relación particularmente simple se aplica si los UE son λ/8. [2] Cada elemento en el circuito concentrado se transforma en un UE correspondiente. Sin embargo, Z 0 de las líneas debe establecerse de acuerdo con el valor del componente en el circuito concentrado análogo y esto puede dar como resultado valores de Z 0 que no son prácticos de implementar. Esto es particularmente un problema con las tecnologías impresas, como microstrip , cuando se implementan impedancias características altas. La alta impedancia requiere líneas estrechas y hay un tamaño mínimo que se puede imprimir. Las líneas muy anchas, por otro lado, permiten la posibilidad de que se formen modos resonantes transversales indeseables. Se puede elegir una longitud diferente de UE, con un Z 0 diferente, para superar estos problemas. [3]
La longitud eléctrica también se puede expresar como el cambio de fase entre el inicio y el final de la línea. La fase se mide en unidades angulares . , el símbolo matemático de una variable angular, se utiliza como símbolo de longitud eléctrica cuando se expresa como un ángulo. En esta convención, λ representa 360° o 2π radianes . [4]
La ventaja de utilizar líneas conmensurables es que la teoría de líneas conmensurables permite sintetizar circuitos a partir de una función de frecuencia prescrita. Si bien cualquier circuito que utilice longitudes de línea de transmisión arbitrarias puede analizarse para determinar su función de frecuencia, ese circuito no necesariamente puede sintetizarse fácilmente a partir de la función de frecuencia. El problema fundamental es que el uso de más de una longitud generalmente requiere más de una variable de frecuencia. El uso de líneas conmensurables requiere solo una variable de frecuencia. Existe una teoría bien desarrollada para sintetizar circuitos de elementos concentrados a partir de una función de frecuencia dada. Cualquier circuito sintetizado de esta manera puede convertirse en un circuito de línea conmensurable utilizando la transformación de Richards y una nueva variable de frecuencia. [5]
La transformación de Richards transforma la variable de frecuencia angular , ω, de acuerdo con,
o, de manera más útil para un análisis posterior, en términos de la variable de frecuencia compleja , s ,
Comparando esta transformación con expresiones para la impedancia del punto de excitación de los stubs terminados, respectivamente, con un cortocircuito y un circuito abierto,
Se puede observar que (para θ < π/2) un stub de cortocircuito tiene la impedancia de una inductancia concentrada y un stub de circuito abierto tiene la impedancia de una capacitancia concentrada . La transformación de Richards sustituye los inductores con UE en cortocircuito y los capacitores con UE en circuito abierto. [6]
Cuando la longitud es λ/8 (o θ=π/4), esto se simplifica a,
Esto se escribe frecuentemente así:
L y C son convencionalmente los símbolos de inductancia y capacitancia, pero aquí representan respectivamente la impedancia característica de un stub inductivo y la admitancia característica de un stub capacitivo. Esta convención es utilizada por numerosos autores y se describe más adelante en este artículo. [7]
La transformación de Richards puede verse como una transformación de una representación de dominio s a un nuevo dominio llamado dominio Ω donde,
Si Ω se normaliza de modo que Ω=1 cuando ω=ω c , entonces se requiere que,
y la longitud en unidades de distancia se convierte en,
Cualquier circuito compuesto de componentes discretos, lineales y concentrados tendrá una función de transferencia H ( s ) que es una función racional en s . Un circuito compuesto de UE de línea de transmisión derivados del circuito concentrado por la transformación de Richards tendrá una función de transferencia H ( j Ω ) que es una función racional de exactamente la misma forma que H ( s ). Es decir, la forma de la respuesta de frecuencia del circuito concentrado frente a la variable de frecuencia s será exactamente la misma que la forma de la respuesta de frecuencia del circuito de línea de transmisión frente a la variable de frecuencia j Ω y el circuito será funcionalmente el mismo. [8]
Sin embargo, el infinito en el dominio Ω se transforma en ω=π/4 k en el dominio s . La respuesta de frecuencia completa se reduce a este intervalo finito. Por encima de esta frecuencia, la misma respuesta se repite en los mismos intervalos, alternativamente en sentido inverso. Esto es una consecuencia de la naturaleza periódica de la función tangente . Este resultado de múltiples bandas de paso es una característica general de todos los circuitos de elementos distribuidos, no solo de los que se obtienen mediante la transformación de Richards. [9]
Un UE conectado en cascada es una red de dos puertos que no tiene un circuito exactamente correspondiente en elementos concentrados. Funcionalmente es un retardo fijo. Hay circuitos de elementos concentrados que pueden aproximarse a un retardo fijo, como el filtro de Bessel , pero solo funcionan dentro de una banda de paso prescrita , incluso con componentes ideales. Alternativamente, se pueden construir filtros de paso total de elementos concentrados que dejen pasar todas las frecuencias (con componentes ideales), pero tienen un retardo constante solo dentro de una banda estrecha de frecuencias. Algunos ejemplos son el ecualizador de fase de red y el ecualizador de retardo T puenteado . [10]
En consecuencia, no existe ningún circuito concentrado que la transformación de Richard pueda transformar en una línea conectada en cascada, y no existe una transformación inversa para este elemento. La teoría de líneas conmensurables introduce así un nuevo elemento de retardo o longitud . [1] Dos o más UE conectados en cascada con el mismo Z 0 son equivalentes a una única línea de transmisión más larga. Por lo tanto, las líneas de longitud n θ para un entero n son admisibles en circuitos conmensurables. Algunos circuitos se pueden implementar completamente como una cascada de UE: las redes de adaptación de impedancia , por ejemplo, se pueden hacer de esta manera, al igual que la mayoría de los filtros. [1]
Las identidades de Kuroda son un conjunto de cuatro circuitos equivalentes que superan ciertas dificultades con la aplicación directa de las transformaciones de Richards. Las cuatro transformaciones básicas se muestran en la figura. Aquí se utilizan los símbolos de los condensadores y los inductores para representar los ramales de circuito abierto y de cortocircuito. Asimismo, los símbolos C y L representan aquí respectivamente la susceptancia de un ramal de circuito abierto y la reactancia de un ramal de cortocircuito, que, para θ=λ/8, son respectivamente iguales a la admitancia característica y a la impedancia característica de la línea del ramal. Los cuadros con líneas gruesas representan longitudes de línea conmensuradas conectadas en cascada con la impedancia característica marcada. [11]
La primera dificultad que se resuelve es que se requiere que todos los UE estén conectados entre sí en el mismo punto. Esto surge porque el modelo de elementos concentrados supone que todos los elementos ocupan espacio cero (o ningún espacio significativo) y que no hay retardo en las señales entre los elementos. La aplicación de la transformación de Richards para convertir el circuito concentrado en un circuito distribuido permite que el elemento ocupe ahora un espacio finito (su longitud), pero no elimina el requisito de distancia cero entre las interconexiones. Al aplicar repetidamente las dos primeras identidades de Kuroda, las longitudes de los UE de las líneas que alimentan los puertos del circuito se pueden mover entre los componentes del circuito para separarlos físicamente. [12]
Una segunda dificultad que las identidades de Kuroda pueden superar es que las líneas conectadas en serie no siempre son prácticas. Si bien la conexión en serie de líneas se puede realizar fácilmente, por ejemplo, en la tecnología coaxial , no es posible en la tecnología de microbanda ampliamente utilizada y otras tecnologías planares. Los circuitos de filtro utilizan con frecuencia una topología de escalera con elementos en serie y en derivación alternados. Dichos circuitos se pueden convertir a todos los componentes en derivación en el mismo paso utilizado para espaciar los componentes con las dos primeras identidades. [13]
La tercera y cuarta identidades permiten reducir o aumentar la escala de las impedancias características, respectivamente. Estas pueden ser útiles para transformar impedancias que no son prácticas de implementar. Sin embargo, tienen la desventaja de requerir la adición de un transformador ideal con una relación de vueltas igual al factor de escala. [14]
En la década posterior a la publicación de Richards, los avances en la teoría de circuitos distribuidos se produjeron principalmente en Japón. K. Kuroda publicó estas identidades en 1955 en su tesis doctoral. [15] Sin embargo, no aparecieron en inglés hasta 1958 en un artículo de Ozaki e Ishii sobre filtros de línea de banda . [16]
Una de las principales aplicaciones de la teoría de líneas conmensurables es el diseño de filtros de elementos distribuidos . Estos filtros construidos directamente con el método de Richards y Kuroda no son muy compactos. Esto puede ser una consideración de diseño importante, especialmente en dispositivos móviles. Los stubs sobresalen hacia un lado de la línea principal y el espacio entre ellos no hace nada útil. Lo ideal sería que los stubs se proyectaran en lados alternos [17] para evitar que se acoplen entre sí y ocupen más espacio, aunque esto no siempre se hace por consideraciones de espacio. Más que eso, los elementos conectados en cascada que acoplan los stubs no contribuyen en nada a la función de frecuencia, solo están allí para transformar los stubs en la impedancia requerida. Dicho de otra manera, el orden de la función de frecuencia está determinado únicamente por el número de stubs, no por el número total de UE (en términos generales, cuanto mayor sea el orden, mejor será el filtro). Las técnicas de síntesis más complejas pueden producir filtros en los que todos los elementos contribuyen. [16]
Las secciones λ/8 conectadas en cascada de los circuitos Kuroda son un ejemplo de transformadores de impedancia, el ejemplo arquetípico de tales circuitos es el transformador de impedancia λ/4 . Aunque este es el doble de la longitud de la línea λ/8, tiene la propiedad útil de que se puede transformar de un filtro de paso bajo a un filtro de paso alto reemplazando los stubs de circuito abierto con stubs de cortocircuito. Los dos filtros coinciden exactamente con la misma frecuencia de corte y respuestas simétricas en espejo. Por lo tanto, es ideal para su uso en diplexores . [18] El transformador λ/4 tiene esta propiedad de ser invariante bajo una transformación de paso bajo a paso alto porque no es solo un transformador de impedancia, sino un caso especial de transformador, un inversor de impedancia. Es decir, transforma cualquier red de impedancia en un puerto, a la impedancia inversa, o impedancia dual , en el otro puerto. Sin embargo, una sola longitud de línea de transmisión solo puede tener exactamente λ/4 de longitud en su frecuencia de resonancia y, en consecuencia, existe un límite para el ancho de banda en el que funcionará. Hay tipos más complejos de circuitos inversores que invierten impedancias con mayor precisión. Hay dos clases de inversores, el inversor J , que transforma una admitancia en derivación en una impedancia en serie, y el inversor K , que realiza la transformación inversa. Los coeficientes J y K son respectivamente la admitancia y la impedancia de escala del convertidor. [19]
Los stubs se pueden alargar para cambiar de un circuito abierto a un stub de cortocircuito y viceversa. [20] Los filtros de paso bajo suelen constar de inductores en serie y condensadores en derivación. La aplicación de las identidades de Kuroda convertirá estos en condensadores en derivación, que son stubs de circuito abierto. Los stubs de circuito abierto se prefieren en tecnologías impresas porque son más fáciles de implementar, y esta es la tecnología que probablemente se encuentre en productos de consumo. Sin embargo, este no es el caso en otras tecnologías como la línea coaxial o la de doble conductor , donde el cortocircuito puede ser realmente útil para el soporte mecánico de la estructura. Los cortocircuitos también tienen una pequeña ventaja, ya que generalmente tienen una posición más precisa que los circuitos abiertos. Si el circuito se va a transformar aún más en el medio de la guía de ondas , los circuitos abiertos están descartados porque habría radiación fuera de la apertura así formada. En el caso de un filtro de paso alto, se aplica lo inverso: la aplicación de Kuroda dará como resultado naturalmente stubs de cortocircuito y puede ser deseable que un diseño impreso se convierta en circuitos abiertos. Por ejemplo, un stub de circuito abierto λ/8 se puede reemplazar con un stub de cortocircuito 3λ/8 de la misma impedancia característica sin cambiar la funcionalidad del circuito. [21]
El acoplamiento de elementos con líneas de transformadores de impedancia no es el diseño más compacto. Se han desarrollado otros métodos de acoplamiento, especialmente para filtros de paso de banda que son mucho más compactos. Estos incluyen filtros de líneas paralelas , filtros interdigitales , filtros de horquilla y filtros de líneas combinadas de diseño semiagrupado . [22]
