Representación cuspidal

En teoría de números , las representaciones cúspides son ciertas representaciones de grupos algebraicos que ocurren discretamente en espacios. El término cúspide se deriva, a cierta distancia, de las formas cúspides de la teoría clásica de formas modulares . En la formulación contemporánea de representaciones automórficas , las representaciones toman el lugar de las funciones holomorfas ; estas representaciones pueden ser de grupos algebraicos adélicos . ${\displaystyle L^{2}}$

Cuando el grupo es el grupo lineal general , las representaciones cúspides están directamente relacionadas con las formas cúspides y las formas de Maass . Para el caso de las formas cúspides, cada forma propia de Hecke ( nueva forma ) corresponde a una representación cúspide. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$

Formulación

Sea G un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo de números K y sea A el adel de K . El grupo G ( K ) se incrusta diagonalmente en el grupo G ( A ) enviando g en G ( K ) a la tupla ( g _p ) _p en G ( A ) con g = g _p para todos los primos (finitos e infinitos) p . Sea Z el centro de G y sea ω un carácter unitario continuo desde Z ( K ) \ Z( A ) ^× hasta C ^× . Fijemos una medida de Haar en G ( A ) y sea L ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω) el espacio de Hilbert de funciones medibles de valor complejo , f , en G ( A ) que satisface

1. f (γ g ) = f ( g ) para todo γ ∈ G ( K )
2. f ( gz ) = f ( g )ω( z ) para todo z ∈ Z ( A )
3. ${\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\,\setminus \,G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty }$
4. ${\displaystyle \int _{U(K)\,\setminus \,U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0}$para todos los radicales unipotentes , U , de todos los subgrupos parabólicos propios de G ( A ) y g ∈ G ( A ).

El espacio vectorial L ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω) se denomina espacio de formas cúspides con carácter central ω en G ( A ). Una función que aparece en dicho espacio se denomina función cúspide .

Una función cúspide genera una representación unitaria del grupo G ( A ) en el espacio de Hilbert complejo generado por las traslaciones derechas de f . Aquí la acción de g ∈ G ( A ) sobre está dada por ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle V_{f}}$

${\displaystyle (g\cdot u)(x)=u(xg),\qquad u(x)=\sum _{j}c_{j}f(xg_{j})\in V_{f}}$.

El espacio de formas de cúspide con carácter central ω se descompone en una suma directa de espacios de Hilbert

${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi })}m_{\pi }V_{\pi }}$

donde la suma es sobre subrepresentaciones irreducibles de L ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω) y los m _π son números enteros positivos (es decir, cada subrepresentación irreducible ocurre con multiplicidad finita ). Una representación cuspidal de G ( A ) es una subrepresentación ( π , V _π ) para algún  ω .

Se dice que los grupos para los cuales las multiplicidades m _π son todas iguales a uno tienen la propiedad de multiplicidad uno .

Véase también

• Módulo Jacquet

Referencias

• James W. Cogdell, Henry Hyeongsin Kim, Maruti Ram Murty. Conferencias sobre funciones L automórficas (2004), Sección 5 de la Lección 2.