Raíz digital

Suma repetida de los dígitos de un número

La raíz digital (también suma digital repetida ) de un número natural en una base dada es el valor (de un solo dígito) obtenido por un proceso iterativo de suma de dígitos , en cada iteración usando el resultado de la iteración anterior para calcular una suma de dígitos. El proceso continúa hasta que se llega a un número de un solo dígito. Por ejemplo, en base 10, la raíz digital del número 12345 es 6 porque la suma de los dígitos en el número es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, luego el proceso de adición se repite nuevamente para el número resultante 15, de modo que la suma de 1 + 5 es igual a 6, que es la raíz digital de ese número. En base 10, esto es equivalente a tomar el resto de la división por 9 (excepto cuando la raíz digital es 9, donde el resto de la división por 9 será 0), lo que permite que se use como una regla de divisibilidad .

Definición formal

Sea un número natural. Para la base , definimos la suma de los dígitos como la siguiente: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

¿Dónde está el número de dígitos del número en base , y ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural es una raíz digital si es un punto fijo para , lo que ocurre si . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que si , entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

y por lo tanto

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

porque . Si , entonces trivialmente ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Por lo tanto, las únicas raíces digitales posibles son los números naturales , y no hay ciclos distintos de los puntos fijos de . ${\displaystyle 0\leq n<b}$ ${\displaystyle 0\leq n<b}$

Ejemplo

En base 12 , 8 es la raíz digital aditiva del número de base 10 3110, como por ejemplo ${\displaystyle n=3110}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

Este proceso muestra que 3110 es 1972 en base 12. Ahora, para ${\displaystyle F_{12}(3110)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

muestra que 19 es 17 en base 12. Y como 8 es un número de 1 dígito en base 12 ,

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$.

Fórmulas directas

Podemos definir la raíz del dígito directamente para la base de las siguientes maneras: ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

Fórmula de congruencia

La fórmula en base es: ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {(b-1)}},\\n{\bmod {(b-1)}}&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {(b-1)}}\end{cases}}}$

o,

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1){\bmod {(b-1)}})&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}$

En base 10 , la secuencia correspondiente es (secuencia A010888 en la OEIS ).

La raíz digital es el módulo del valor porque y por lo tanto Por lo tanto, independientemente de la posición del dígito , , lo que explica por qué los dígitos se pueden sumar de manera significativa. Concretamente, para un número de tres dígitos , ${\displaystyle (b-1)}$ ${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {(b-1)}},}$ ${\displaystyle b^{i}\equiv 1^{i}\equiv 1{\pmod {(b-1)}}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}b^{i}\equiv d_{i}{\pmod {(b-1)}}}$ ${\displaystyle n=d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}\equiv d_{2}(1)+d_{1}(1)+d_{0}(1)\equiv d_{2}+d_{1}+d_{0}{\pmod {(b-1)}}.}$

Para obtener el valor modular con respecto a otros números , se pueden tomar sumas ponderadas , donde el peso del dígito -ésimo corresponde al valor de . En base 10 , esto es más simple para , donde los dígitos superiores, excepto el dígito de la unidad, se anulan (ya que 2 y 5 dividen potencias de 10), lo que corresponde al hecho conocido de que la divisibilidad de un número decimal con respecto a 2, 5 y 10 se puede verificar por el último dígito. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b^{i}{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle m=2,5,{\text{ and }}10}$

También es de destacar el módulo . Como y , por lo tanto, tomando la suma alternada de dígitos, se obtiene el valor módulo . ${\displaystyle m=b+1}$ ${\displaystyle b\equiv -1{\pmod {(b+1)}},}$ ${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {(b+1)}},}$ ${\displaystyle (b+1)}$

Usando la función de piso

Resulta útil ver la raíz digital de un número entero positivo como la posición que ocupa con respecto al mayor múltiplo de menor que el número en sí. Por ejemplo, en base 6, la raíz digital de 11 es 2, lo que significa que 11 es el segundo número después de . Asimismo, en base 10, la raíz digital de 2035 es 1, lo que significa que . Si un número produce una raíz digital de exactamente , entonces el número es un múltiplo de . ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle 6-1=5}$ ${\displaystyle 2035-1=2034|9}$ ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle b-1}$

Con esto en mente, la raíz digital de un entero positivo se puede definir utilizando la función floor , como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}$

Propiedades

• La raíz digital de en base es la raíz digital de la suma de la raíz digital de y la raíz digital de : Esta propiedad se puede utilizar como una especie de suma de comprobación , para verificar que una suma se ha realizado correctamente. ${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$

• La raíz digital de en base es congruente con la diferencia de la raíz digital de y la raíz digital de módulo : ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (b-1)}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\pmod {(b-1)}}.}$$

• La raíz digital de in base es ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}$$

• La raíz digital del producto de números de un solo dígito distintos de cero en base está dada por el Cuadrado Védico en base . ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

• La raíz digital de en base es la raíz digital del producto de la raíz digital de y la raíz digital de : ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$

Persistencia aditiva

La persistencia aditiva cuenta cuántas veces debemos sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital.

Por ejemplo, la persistencia aditiva de 2718 en base 10 es 2: primero encontramos que 2 + 7 + 1 + 8 = 18, luego que 1 + 8 = 9.

No existe límite para la persistencia aditiva de un número en una base numérica . Demostración: Para un número dado , la persistencia del número que consiste en repeticiones del dígito 1 es 1 mayor que la de . Los números más pequeños de persistencia aditiva 0, 1, ... en base 10 son: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... (secuencia A006050 en la OEIS )

El siguiente número en la secuencia (el número más pequeño de persistencia aditiva 5) es 2 × 10 ^{2×(10 22  − 1)/9}  − 1 (es decir, 1 seguido de 2 222 222 222 222 222 222 222 nueves). Para cualquier base fija, la suma de los dígitos de un número es proporcional a su logaritmo ; por lo tanto, la persistencia aditiva es proporcional al logaritmo iterado . ^[1]

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo implementa la suma de dígitos descrita en la definición anterior para buscar raíces digitales y persistencias aditivas en Python .

def  suma_de_dígitos ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  total  =  0  mientras  x  >  0 :  total  =  total  +  ( x  %  b )  x  =  x  //  b  devuelve  totaldef  raíz_digital ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : visto  =  set  ( ) while  x  no  está  en  visto :  visto.add ( x ) x = suma_dígito ( x , b ) return x      def  persistencia_aditiva ( x :  int ,  b :  int )  -  > int :  visto  =  set ( )  while  x  not  in  visto :  visto.add ( x ) x = suma_dígito ( x , b ) return len ( visto ) - 1        

En la cultura popular

En la numerología occidental se utilizan raíces digitales , pero ciertos números considerados de significado oculto (como el 11 y el 22) no siempre se reducen completamente a un solo dígito.

Las raíces digitales forman una mecánica importante en el juego de aventuras de novela visual Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors .

Véase también

• Dinámica aritmética
• Base 9
• Expulsando a los nueves
• Suma de dígitos
• Regla de divisibilidad
• Peso de Hamming
• Raíz digital multiplicativa

Referencias

1. Meimaris, Antonios (2015), Sobre la persistencia aditiva de un número en base p, Preimpresión

• Averbach, Bonnie ; Chein, Orin (27 de mayo de 1999), Resolución de problemas mediante matemáticas recreativas , Dover Books on Mathematics (edición reimpresa), Mineola, NY: Courier Dover Publications, págs. 125–127, ISBN 0-486-40917-1( copia en línea , pág. 125, en Google Books )
• Ghannam, Talal (4 de enero de 2011), El misterio de los números: revelado a través de su raíz digital, CreateSpace Publications, págs. 68-73, ISBN 978-1-4776-7841-1, archivado desde el original el 29 de marzo de 2016 , consultado el 11 de febrero de 2016( copia en línea , pág. 68, en Google Books )
• Hall, FM (1980), Introducción al álgebra abstracta , vol. 1 (2.ª ed.), Cambridge, Reino Unido: CUP Archive, pág. 101, ISBN 978-0-521-29861-2( copia en línea , pág. 101, en Google Books )
• O'Beirne, TH (13 de marzo de 1961), "Rompecabezas y paradojas", New Scientist , 10 (230), Reed Business Information: 53–54, ISSN  0262-4079( copia en línea , pág. 53, en Google Books )
• Rouse Ball, WW ; Coxeter, HSM (6 de mayo de 2010), Recreaciones y ensayos matemáticos , Dover Recreational Mathematics (13.ª ed.), NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2( copia en línea en Google Books )

Enlaces externos

• Patrones de raíces digitales utilizando MS Excel
• Weisstein, Eric W. "Raíz digital". MathWorld .