En la teoría de la probabilidad , las probabilidades proporcionan una medida de la probabilidad de que se produzca un resultado particular. Cuando eventos específicos son igualmente probables, las probabilidades se calculan como la relación entre el número de eventos que producen ese resultado y el número de eventos que no. Las probabilidades se utilizan comúnmente en juegos de azar y estadísticas .
Las probabilidades tienen una relación simple con la probabilidad . Cuando la probabilidad se expresa como un número entre 0 y 1, las relaciones entre la probabilidad p y la probabilidad t son:
Cuando la probabilidad se expresa como porcentaje, se debe dividir por 100 antes de utilizar estas fórmulas. Cuando las probabilidades tienen valor t , a menudo se dice " t a 1" o se escribe " t :1 ". Si el valor t se puede escribir como una fracción p / q entonces se puede decir " p a q " o escribir " p : q ".
Otra forma de expresar probabilidades es usar "para" en lugar de "para": " f para 1" o " r para q " donde
Las probabilidades se pueden demostrar examinando cómo se lanza un dado de seis caras . Las probabilidades de sacar un 6 son "1 a 5" o "1:5". Esto se debe a que hay 1 evento (sacar un 6) que produce el resultado especificado y 5 eventos que no (sacar un 1, 2, 3, 4 o 5). Las probabilidades de sacar un 5 o un 6 son 2:4. Esto se debe a que hay 2 eventos (sacar un 5 o 6) que producen el resultado especificado, y 4 eventos que no (sacar un 1, 2, 3 o 4). Las probabilidades de no sacar un 5 o un 6 son la inversa de 4:2. Esto se debe a que hay 4 eventos que producen el resultado especificado de "no sacar un 5 o 6" (sacar un 1, 2, 3 o 4) y dos que no lo hacen (sacar un 5 o 6).
La probabilidad de un evento es diferente, pero relacionada, y se puede calcular a partir de las probabilidades, y viceversa. La probabilidad de sacar un 5 o un 6 es la fracción del número de eventos sobre el total de eventos o 2/(2+4), que es 1/3 o aproximadamente 0,33 o 33%. [1]
Cuando se juega , las probabilidades a menudo se dan como la relación entre la posible ganancia neta y la posible pérdida neta. Por lo general, usted paga la posible pérdida ("apuesta" o "apuesta") por adelantado y, si gana, se le paga la ganancia neta y también se le devuelve su apuesta. Entonces, apostar 1 a 5:1, lo que se llama "5 a 1", paga 5 + 1 = 6, lo que se llama "6 por 1". (Si hace 6 apuestas de 1, gana una vez y pierde 5 veces, se le pagarán 6 y terminará empatado). Apostar 1 a 1:1 (pares, "1 a 1") paga 1 + 1 = 2 ( "2 por 1") y apostar 2 a 1:2 ("1 a 2") paga 1 + 2 = 3 ("3 por 2"). Estos ejemplos pueden mostrarse de diferentes formas, que se explican más adelante:
El lenguaje de las probabilidades, como el uso de frases como "diez a uno" para riesgos estimados intuitivamente , se encuentra en el siglo XVI, mucho antes del desarrollo de la teoría de la probabilidad . [2] Shakespeare escribió:
Sabía que nos aventurábamos en mares tan peligrosos
que si nos forjábamos la vida era diez a uno.— William Shakespeare , Enrique IV, Parte II , Acto I, Escena 1, líneas 181–2
Cardano , el erudito del siglo XVI, demostró la eficacia de definir las probabilidades como la relación entre resultados favorables y desfavorables. Esta definición implica el hecho de que la probabilidad de un evento está dada por la relación entre los resultados favorables y el número total de resultados posibles. [3]
En estadística, las probabilidades son una expresión de probabilidades relativas, generalmente citadas como probabilidades a favor . Las probabilidades (a favor) de un evento o una proposición es la relación entre la probabilidad de que el evento suceda y la probabilidad de que el evento no suceda. Matemáticamente, este es un ensayo de Bernoulli , ya que tiene exactamente dos resultados. En el caso de un espacio muestral finito de resultados igualmente probables , esta es la relación entre el número de resultados en los que ocurre el evento y el número de resultados en los que no ocurre; estos se pueden representar como W y L (para victorias y derrotas) o S y F (para éxitos y fracasos). Por ejemplo, las probabilidades de que un día de la semana elegido al azar sea durante un fin de semana son de dos a cinco (2:5), ya que los días de la semana forman un espacio muestral de siete resultados y el evento ocurre para dos de los resultados ( sábado y domingo), y no para los otros cinco. [4] [5] Por el contrario, dadas las probabilidades como una proporción de números enteros, esto se puede representar mediante un espacio de probabilidad de un número finito de resultados igualmente probables. Estas definiciones son equivalentes, ya que al dividir ambos términos de la relación entre el número de resultados se obtienen las probabilidades: por el contrario, las probabilidades en contra son la relación opuesta. Por ejemplo, las probabilidades de que un día de la semana al azar sea durante un fin de semana son 5:2.
Las probabilidades y las probabilidades se pueden expresar en prosa mediante las preposiciones hacia y en: "las probabilidades de tantos contra tantos a favor (o en contra) [algún evento]" se refiere a las probabilidades : la relación entre el número de resultados (igualmente probables) a favor y en contra (o viceversa); "Probabilidades de tantos [resultados], en tantos [resultados]" se refiere a la probabilidad : el número de resultados (igualmente probables) a favor en relación con el número a favor y en contra combinados. Por ejemplo, "las probabilidades de un fin de semana son de 2 a 5", mientras que "las probabilidades de un fin de semana son de 2 a 7". En el uso casual, las palabras probabilidades y posibilidades (o oportunidad ) a menudo se usan indistintamente para indicar vagamente alguna medida de probabilidades o probabilidades, aunque el significado deseado se puede deducir observando si la preposición entre los dos números es a o en . [6] [7] [8]
Las probabilidades se pueden expresar como una proporción de dos números, en cuyo caso no es única: escalar ambos términos por el mismo factor no cambia las proporciones: las probabilidades 1:1 y las probabilidades 100:100 son las mismas (probabilidades pares). Las probabilidades también se pueden expresar como un número, dividiendo los términos de la razón; en este caso, es única (diferentes fracciones pueden representar el mismo número racional ). Las probabilidades como razón, las probabilidades como número y la probabilidad (también un número) están relacionadas mediante fórmulas simples, y de manera similar las probabilidades a favor y en contra, y la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso tienen relaciones simples. Las probabilidades varían de 0 a infinito, mientras que las probabilidades varían de 0 a 1 y, por lo tanto, a menudo se representan como un porcentaje entre 0% y 100%: al invertir la proporción se cambian las probabilidades a favor con las probabilidades en contra, y de manera similar, la probabilidad de éxito con la probabilidad de fracaso.
Dadas las probabilidades (a favor) como la relación W:L (Ganancias:Pérdidas), las probabilidades a favor (como un número) y las probabilidades en contra (como un número) se pueden calcular simplemente dividiendo y son inversas multiplicativas :
De manera análoga, dadas las probabilidades como una proporción, la probabilidad de éxito o fracaso se puede calcular dividiendo, y la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman la unidad (uno), ya que son los únicos resultados posibles. En el caso de un número finito de resultados igualmente probables, esto se puede interpretar como el número de resultados en los que ocurre el evento dividido por el número total de eventos:
Dada una probabilidad p, las probabilidades como proporción son (probabilidad de éxito frente a probabilidad de fracaso), y las probabilidades como números se pueden calcular dividiendo:
Por el contrario, dadas las probabilidades como un número, esto se puede representar como la proporción o, a la inversa , a partir de la cual se puede calcular la probabilidad de éxito o fracaso:
Así, si se expresa como una fracción con un numerador de 1, la probabilidad y las probabilidades difieren exactamente en 1 en el denominador: una probabilidad de 1 entre 100 (1/100 = 1%) es lo mismo que una probabilidad de 1 a 99 (1/99). = 0,0101... = 0,01 ), mientras que una probabilidad de 1 a 100 (1/100 = 0,01) es lo mismo que una probabilidad de 1 entre 101 (1/101 = 0,00990099... = 0,0099 ). Esta es una diferencia menor si la probabilidad es pequeña (cerca de cero o "probabilidades largas"), pero es una diferencia importante si la probabilidad es grande (cerca de uno).
Estas se calculan para algunas probabilidades simples:
Estas transformaciones tienen ciertas propiedades geométricas especiales: las conversiones entre probabilidades a favor y en contra (resp. probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso) y entre probabilidades y probabilidad son todas transformaciones de Möbius (transformaciones lineales fraccionarias). Por tanto, están especificados por tres puntos ( claramente 3-transitivos ). Intercambiar probabilidades a favor y en contra intercambia 0 e infinito, fijando 1, mientras intercambia probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso intercambia 0 y 1, fijando .5; Ambos son de orden 2, por lo tanto, transformaciones circulares . La conversión de probabilidades en probabilidad fija 0, envía infinito a 1 y envía 1 a 0,5 (las probabilidades pares tienen un 50 % de probabilidad) y viceversa; Esta es una transformación parabólica .
En la teoría de la probabilidad y la estadística, las probabilidades y razones similares pueden ser más naturales o más convenientes que las probabilidades. En algunos casos se utiliza el log-odds , que es el logit de la probabilidad. De manera más simple, las probabilidades se multiplican o dividen con frecuencia, y log convierte la multiplicación en suma y la división en resta. Esto es particularmente importante en el modelo logístico , en el que las probabilidades logarítmicas de la variable objetivo son una combinación lineal de las variables observadas.
Se utilizan proporciones similares en otras partes de las estadísticas; De importancia central es el índice de verosimilitud en las estadísticas verosimilistas , que se utiliza en las estadísticas bayesianas como factor de Bayes .
Las probabilidades son particularmente útiles en problemas de toma de decisiones secuenciales, como por ejemplo en problemas de cómo detenerse (en línea) en un último evento específico que se resuelve mediante el algoritmo de probabilidades .
Las probabilidades son una proporción de probabilidades; un odds ratio es un ratio de odds, es decir, un ratio de ratios de probabilidades. Los odds ratios se utilizan a menudo en el análisis de ensayos clínicos . Si bien tienen propiedades matemáticas útiles, pueden producir resultados contrarios a la intuición : un evento con un 80% de probabilidad de ocurrir tiene cuatro veces más probabilidades de ocurrir que un evento con un 20% de probabilidad, pero las probabilidades son 16 veces mayores en el caso menos. evento probable (4–1 contra , o 4) que en el más probable (1–4, o 4–1 contra , o 0,25).
Respuesta: Las probabilidades a favor de una canica azul son 2:13. De manera equivalente se puede decir que las probabilidades son de 13:2 en contra . Hay 2 de 15 posibilidades a favor del azul, 13 de 15 en contra del azul.
En teoría de probabilidad y estadística , donde la variable p es la probabilidad a favor de un evento binario, y la probabilidad en contra del evento es por lo tanto 1- p , "las probabilidades" del evento son el cociente de los dos, o . Ese valor puede considerarse como la probabilidad relativa de que ocurra el evento, expresada como una fracción (si es menor que 1) o un múltiplo (si es igual o mayor que uno) de la probabilidad de que el evento no suceda. .
En el primer ejemplo de arriba, decir que las probabilidades de un domingo son "uno a seis" o, menos comúnmente, "un sexto" significa que la probabilidad de elegir un domingo al azar es una sexta parte de la probabilidad de no elegir un domingo. Mientras que la probabilidad matemática de un evento tiene un valor en el rango de cero a uno, "las probabilidades" a favor de ese mismo evento se encuentran entre cero e infinito. Las probabilidades en contra del evento con probabilidad dada como p son . Las probabilidades en contra del domingo son 6:1 o 6/1 = 6. Es 6 veces más probable que un día aleatorio no sea domingo.
En un lanzamiento de moneda o una carrera entre dos caballos igualados, es razonable que dos personas apuesten apuestas iguales. Sin embargo, en situaciones más variables, como una carrera de caballos con varios corredores o un partido de fútbol entre dos equipos desiguales, las apuestas "en desacuerdo" ofrecen la posibilidad de tener en cuenta las respectivas probabilidades de los posibles resultados. El uso de probabilidades en los juegos de azar facilita las apuestas en eventos en los que varían las probabilidades de diferentes resultados.
En la era moderna, la mayoría de las apuestas con cuotas fijas se realizan entre una organización de apuestas, como una casa de apuestas , y un individuo, en lugar de entre individuos. Han surgido diferentes tradiciones sobre cómo expresar las probabilidades a los clientes.
Favorecidas por las casas de apuestas del Reino Unido e Irlanda , y también comunes en las carreras de caballos , las cuotas fraccionarias cotizan el total neto que se pagará al apostante, en caso de ganar, en relación con la apuesta. [9] Las probabilidades de 4/1 implicarían que el apostante puede obtener una ganancia de £400 con una apuesta de £100. Si las probabilidades son 1/4, el apostante ganará £25 con una apuesta de £100. En cualquier caso, una vez ganado, el apostante siempre recibe de vuelta la apuesta original; por lo tanto, si las probabilidades son 4/1, el apostante recibe un total de 500 £ (400 £ más las 100 £ originales). Las probabilidades de 1/1 se conocen como pares o incluso dinero .
El numerador y el denominador de las cuotas fraccionarias son siempre números enteros , por lo que si el pago de la casa de apuestas fuera de 1,25 £ por cada 1 £ apostado, esto equivaldría a 5 £ por cada 4 £ apostadas y, por tanto, las cuotas se expresarían como 5/ 4. Sin embargo, no todas las probabilidades fraccionarias se leen tradicionalmente utilizando el mínimo común denominador . Por ejemplo, dado que existe un patrón de probabilidades de 5/4, 7/4, 9/4, etc., las probabilidades que matemáticamente son 3/2 se comparan más fácilmente si se expresan en la forma equivalente 6/4.
Las probabilidades fraccionarias también se conocen como probabilidades británicas, probabilidades del Reino Unido, [10] o, en ese país, probabilidades tradicionales . Normalmente se representan con una "/", pero también se pueden representar con un "-", por ejemplo, 4/1 o 4–1. Las probabilidades con un denominador de 1 a menudo se presentan en los listados solo como numerador. [ cita necesaria ]
Una variación de las probabilidades fraccionarias se conoce como probabilidades de Hong Kong . Las cuotas fraccionarias y de Hong Kong son en realidad intercambiables. La única diferencia es que las probabilidades del Reino Unido se presentan como una notación fraccionaria (por ejemplo, 6/5), mientras que las probabilidades de Hong Kong son decimales (por ejemplo, 1,2). Ambos exhiben el rendimiento neto.
Las cuotas europeas también representan las ganancias potenciales (rendimiento neto), pero además tienen en cuenta la apuesta (por ejemplo, 6/5 o 1,2 más 1 = 2,2). [11]
Favorecidas en Europa continental , Australia , Nueva Zelanda , Canadá y Singapur , las probabilidades decimales citan la relación entre el monto del pago, incluida la apuesta original, y la apuesta misma. Por lo tanto, las probabilidades decimales de un resultado equivalen al valor decimal de las probabilidades fraccionarias más uno. [12] Por lo tanto, las probabilidades pares 1/1 se cotizan en probabilidades decimales como 2,00. Las probabilidades fraccionarias de 4/1 analizadas anteriormente se cotizan como 5,00, mientras que las probabilidades de 1/4 se cotizan como 1,25. Esto se considera ideal para las apuestas parlay , porque las probabilidades a pagar son simplemente el producto de las probabilidades de cada resultado apostado. Cuando se analizan las probabilidades decimales en términos de apuestas, el perdedor tiene el mayor de los dos decimales, mientras que el favorito tiene el menor de los dos. Para calcular las probabilidades decimales, puede utilizar la ecuación Retorno = Apuesta inicial × Valor decimal [13] . Por ejemplo, si apuestas 100 € a que el Liverpool ganará al Manchester City con una cuota de 2,00, ganarías 200 € (100 € × 2,00). Los intercambios de apuestas prefieren las probabilidades decimales porque son las más fáciles de usar para operar, ya que reflejan la inversa de la probabilidad de un resultado. [14] Por ejemplo, una cuota cotizada de 5,00 equivale a una probabilidad de 1/5,00, es decir, 0,20 o 20%.
Las cuotas decimales también se conocen como cuotas europeas , cuotas digitales o cuotas continentales. [10]
Las casas de apuestas estadounidenses prefieren las cuotas Moneyline. La cifra citada es positiva o negativa.
Las probabilidades Moneyline a menudo se denominan probabilidades americanas . Una apuesta de "línea de dinero" se refiere a probabilidades sobre el resultado directo de un juego sin considerar la diferencia de puntos . En la mayoría de los casos, el favorito tendrá probabilidades de línea de dinero negativas (menos ganancias por una apuesta más segura) y el desvalido tendrá probabilidades de línea de dinero positivas (más ganancias por una apuesta arriesgada). Sin embargo, si los equipos están igualados, ambos equipos pueden tener una línea negativa al mismo tiempo (por ejemplo, −110 −110 o −105 −115), debido a la ganancia de la casa.
Las probabilidades mayoristas son las "probabilidades reales" o el 100% de probabilidad de que ocurra un evento. Este libro 100% se muestra sin ningún margen de beneficio de la casa de apuestas , a menudo denominado " overround " incorporado de la casa de apuestas.
Un índice de "probabilidades mayoristas" es un índice de todos los precios en un mercado probabilístico que opera con un 100% de competitividad y se muestra sin ningún margen de beneficio para los participantes del mercado.
En los juegos de azar, las probabilidades que se muestran no representan las posibilidades reales (tal como las imagina la casa de apuestas) de que el evento ocurra o no, sino que son la cantidad que la casa de apuestas pagará por una apuesta ganadora, junto con la apuesta requerida. Al formular las cuotas a mostrar, la casa de apuestas habrá incluido un margen de beneficio, lo que efectivamente significa que el pago para un apostador exitoso es menor que el representado por la probabilidad real de que ocurra el evento. Esta ganancia se conoce como "overround" en el "libro" (el "libro" se refiere al antiguo libro de contabilidad en el que se registraban las apuestas, y es una derivación del término "casa de apuestas") y se relaciona con la suma de las ganancias. 'probabilidades' de la siguiente manera:
En una carrera de 3 caballos, por ejemplo, las verdaderas probabilidades de que cada uno de los caballos gane en función de sus habilidades relativas pueden ser del 50%, 40% y 10%. El total de estos tres porcentajes es del 100%, representando así un 'libro' justo. Las verdaderas probabilidades de ganar para cada uno de los tres caballos son 1–1, 3–2 y 9–1, respectivamente.
Para generar ganancias sobre las apuestas aceptadas, la casa de apuestas puede decidir aumentar los valores al 60%, 50% y 20% para los tres caballos, respectivamente. Esto representa las probabilidades en contra de cada uno, que son 4–6, 1–1 y 4–1, en orden. Estos valores ahora suman 130%, lo que significa que el libro tiene un sobregiro de 30 (130-100). Este valor de 30 representa la cantidad de beneficio para la casa de apuestas si consigue apuestas en buenas proporciones en cada uno de los caballos. Por ejemplo, si toma £60, £50 y £20 en apuestas, respectivamente, por los tres caballos, recibe £130 en apuestas pero solo devuelve £100 (incluidas las apuestas), el caballo que gane. Y el valor esperado de su beneficio es positivo incluso si todos apuestan por el mismo caballo. El arte de las apuestas consiste en establecer las cuotas lo suficientemente bajas como para tener un valor esperado de beneficio positivo, manteniendo al mismo tiempo las cuotas lo suficientemente altas como para atraer clientes y, al mismo tiempo, atraer suficientes apuestas para cada resultado para reducir su exposición al riesgo.
Un estudio sobre apuestas de fútbol encontró que la probabilidad de que ganara el equipo local era generalmente alrededor de un 3,4% menor que el valor calculado a partir de las cuotas (por ejemplo, 46,6% para cuotas pares). Las victorias de los visitantes fueron un 3,7% menos y los empates un 5,7% menos. [15]
Para comprender las probabilidades de la ruleta y calcularlas, es necesario conocer la fórmula. Tomas los números en los que apuestas y los divides por el número total de números de la ruleta (dependiendo de tu versión del juego). Luego multiplicas por 100. [16]
Obtener ganancias en los juegos de azar implica predecir la relación entre las probabilidades reales y las probabilidades de pago. Los apostadores deportivos profesionales y semiprofesionales suelen utilizar los servicios de información deportiva para ayudar a lograr este objetivo.
Las cuotas o cantidades que pagará la casa de apuestas están determinadas por la cantidad total que se ha apostado en todos los eventos posibles. Reflejan el saldo de las apuestas en ambos lados del evento e incluyen la deducción de la comisión de corretaje de la casa de apuestas ("vig" o vigorish ).
Además, dependiendo de cómo la jurisdicción afecta las apuestas, es posible que haya impuestos para la casa de apuestas y/o el jugador ganador. Esto puede tenerse en cuenta al ofrecer las cuotas y/o puede reducir la cantidad ganada por un jugador.
