Optimización de topología

Método matemático para optimizar la disposición del material en determinadas condiciones.

La optimización de la topología es un método matemático que optimiza la disposición del material dentro de un espacio de diseño determinado, para un conjunto determinado de cargas , condiciones de contorno y restricciones con el objetivo de maximizar el rendimiento del sistema. La optimización de la topología es diferente de la optimización de la forma y la optimización del tamaño en el sentido de que el diseño puede alcanzar cualquier forma dentro del espacio de diseño, en lugar de lidiar con configuraciones predefinidas.

La formulación de optimización de topología convencional utiliza un método de elementos finitos (FEM) para evaluar el desempeño del diseño. El diseño se optimiza utilizando técnicas de programación matemática basadas en gradientes, como el algoritmo de criterios de optimización y el método de asíntotas en movimiento , o algoritmos no basados ​​en gradientes, como los algoritmos genéticos .

La optimización de la topología tiene una amplia gama de aplicaciones en ingeniería aeroespacial, mecánica, bioquímica y civil. Actualmente, los ingenieros utilizan principalmente la optimización topológica en el nivel conceptual de un proceso de diseño . Debido a las formas libres que se presentan de forma natural, el resultado suele ser difícil de fabricar. Por esta razón, el resultado que surge de la optimización de la topología a menudo se ajusta en función de la capacidad de fabricación. Agregar restricciones a la formulación para aumentar la capacidad de fabricación es un campo de investigación activo. En algunos casos, los resultados de la optimización de la topología se pueden fabricar directamente mediante fabricación aditiva ; Por tanto, la optimización de la topología es una parte clave del diseño para la fabricación aditiva .

Planteamiento del problema

Un problema de optimización de topología se puede escribir en la forma general de un problema de optimización como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimize} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega }f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {subject\;to} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0{\text{ with }}j=1,...,m\end{aligned}}}$

El planteamiento del problema incluye lo siguiente:

• Una función objetivo . Esta función representa la cantidad que se minimiza para obtener el mejor rendimiento. La función objetivo más común es la conformidad, donde minimizar la conformidad conduce a maximizar la rigidez de una estructura. ${\displaystyle F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )}$
• La distribución de materiales como variable problemática. Esto se describe por la densidad del material en cada ubicación . El material está presente, indicado con un 1, o ausente, indicado con un 0. Es un campo de estado que satisface una ecuación de estado lineal o no lineal dependiendo de . ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {\rho } )}$ ${\displaystyle \rho }$
• El espacio de diseño . Esto indica el volumen permitido dentro del cual puede existir el diseño. Los requisitos de montaje y embalaje, la accesibilidad humana y de herramientas son algunos de los factores que deben tenerse en cuenta a la hora de identificar este espacio. Con la definición del espacio de diseño, las regiones o componentes del modelo que no se pueden modificar durante el curso de la optimización se consideran regiones que no son de diseño. ${\displaystyle (\Omega )}$
• ${\displaystyle \scriptstyle m}$ Restringe una característica que la solución debe satisfacer. Algunos ejemplos son la cantidad máxima de material a distribuir (restricción de volumen) o los valores máximos de tensión. ${\displaystyle G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0}$

La evaluación a menudo incluye resolver una ecuación diferencial. Esto se hace más comúnmente utilizando el método de los elementos finitos , ya que estas ecuaciones no tienen una solución analítica conocida. ${\displaystyle \mathbf {u(\rho )} }$

Metodologías de implementación

Existen diversas metodologías de implementación que se han utilizado para resolver problemas de optimización de topología.

Resolver con variables discretas/binarias

La resolución de problemas de optimización de topología en un sentido discreto se realiza discretizando el dominio de diseño en elementos finitos. Las densidades de material dentro de estos elementos se tratan luego como variables del problema. En este caso, la densidad del material de uno indica la presencia de material, mientras que cero indica ausencia de material. Debido a que la complejidad topológica alcanzable del diseño depende del número de elementos, se prefiere un número grande. Un gran número de elementos finitos aumenta la complejidad topológica alcanzable, pero tiene un costo. En primer lugar, la solución del sistema FEM se vuelve más costosa. En segundo lugar, no están disponibles algoritmos que puedan manejar una gran cantidad (varios miles de elementos no es raro) de variables discretas con múltiples restricciones. Además, son poco sensibles a las variaciones de parámetros. ^[1] En la literatura se han reportado problemas con hasta 30000 variables. ^[2]

Resolver el problema con variables continuas.

Las complejidades mencionadas anteriormente en la resolución de problemas de optimización topológica utilizando variables binarias han provocado que la comunidad busque otras opciones. Se trata de la modelización de las densidades con variables continuas. Las densidades de los materiales ahora también pueden alcanzar valores entre cero y uno. Se encuentran disponibles algoritmos basados ​​en gradientes que manejan grandes cantidades de variables continuas y múltiples restricciones. Pero las propiedades del material deben modelarse en un entorno continuo. Esto se hace mediante interpolación. Una de las metodologías de interpolación más implementadas es el método de Material Isotrópico Sólido con Penalización (SIMP). ^{[3] [4]} Esta interpolación es esencialmente una ley de potencia . Interpola el módulo de Young del material al campo de selección escalar. El valor del parámetro de penalización generalmente se toma entre . Se ha demostrado que esto confirma la microestructura de los materiales. ^[5] En el método SIMP se agrega un límite inferior al módulo de Young, para garantizar que las derivadas de la función objetivo sean distintas de cero cuando la densidad se vuelve cero. Cuanto mayor es el factor de penalización, más penaliza SIMP al algoritmo en el uso de densidades no binarias. Desafortunadamente, el parámetro de penalización también introduce no convexidades. ^[6] ${\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\,3]}$ ${\displaystyle E_{0}}$

software comercial

Existen varios software comerciales de optimización de topología en el mercado. La mayoría de ellos utilizan la optimización de la topología como una pista de cómo debería verse el diseño óptimo y se requiere una reconstrucción manual de la geometría. Existen algunas soluciones que producen diseños óptimos listos para la fabricación aditiva.

Ejemplos

Los patrones del tablero de ajedrez se muestran en este resultado.

Resultado de la optimización de la topología cuando se utiliza el filtrado

Optimización de la topología de un problema de cumplimiento.

Cumplimiento estructural

Una estructura rígida es aquella que tiene el menor desplazamiento posible cuando se le dan un cierto conjunto de condiciones de contorno. Una medida global de los desplazamientos es la energía de deformación (también llamada elasticidad ) de la estructura bajo las condiciones límite prescritas. Cuanto menor sea la energía de deformación mayor será la rigidez de la estructura. Entonces, la función objetivo del problema es minimizar la energía de deformación.

En un nivel amplio, se puede visualizar que cuanto más material, menor será la deflexión ya que habrá más material para resistir las cargas. Entonces, la optimización requiere una restricción opuesta, la restricción de volumen. En realidad, esto es un factor de coste, ya que no querríamos gastar mucho dinero en el material. Para obtener el material total utilizado se puede realizar una integración del campo de selección sobre el volumen.

Finalmente, se introduce la elasticidad que rige las ecuaciones diferenciales para obtener el planteamiento final del problema.

${\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega }$

sujeto a:

• ${\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}$
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}$
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }$

Sin embargo, una implementación sencilla en el marco de elementos finitos de tal problema aún es inviable debido a cuestiones tales como:

1. Dependencia de malla: Dependencia de malla significa que el diseño obtenido en una malla no es el que se obtendrá en otra malla. Las características del diseño se vuelven más complejas a medida que la malla se refina. ^[7]
2. Inestabilidades numéricas: la selección de una región en forma de tablero de ajedrez. ^[8]

Actualmente se están utilizando algunas técnicas como el filtrado basado en el procesamiento de imágenes ^{[9] para paliar algunos de estos problemas.} Aunque durante mucho tiempo pareció que se trataba de un enfoque puramente heurístico, se han establecido conexiones teóricas con la elasticidad no local para respaldar el sentido físico de estos métodos. ^[10]

Problemas multifísicos

Interacción fluido-estructura

La interacción fluido-estructura es un fenómeno fuertemente acoplado y se refiere a la interacción entre un fluido estacionario o en movimiento y una estructura elástica. Muchas aplicaciones de ingeniería y fenómenos naturales están sujetos a la interacción fluido-estructura y, por lo tanto, tener en cuenta dichos efectos es fundamental en el diseño de muchas aplicaciones de ingeniería. La optimización de la topología para problemas de interacción fluido-estructura se ha estudiado, por ejemplo, en las referencias ^{[11] [12] [13]} y. ^[14] A continuación se muestran las soluciones de diseño resueltas para diferentes números de Reynolds. Las soluciones de diseño dependen del flujo de fluido e indican que el acoplamiento entre el fluido y la estructura se resuelve en los problemas de diseño.

Soluciones de diseño para diferentes números de Reynolds para una pared insertada en un canal con un fluido en movimiento.

Croquis del conocido problema del muro. El objetivo del problema de diseño es minimizar la conformidad estructural.

Evolución del diseño para un problema de interacción fluido-estructura a partir de referencia. ^[14] El objetivo del problema de diseño es minimizar la conformidad estructural. El problema de interacción fluido-estructura se modela con las ecuaciones de Navier-Cauchy y Navier-Stokes.

Conversión de energía termoeléctrica

Un bosquejo del problema de diseño. El objetivo del problema de diseño es distribuir espacialmente dos materiales, Material A y Material B, para maximizar una medida de rendimiento como la potencia de refrigeración o la producción de energía eléctrica.

Evolución del diseño de un generador termoeléctrico fuera de diagonal. La solución de diseño de un problema de optimización resuelto para la producción de energía eléctrica. El rendimiento del dispositivo se ha optimizado mediante la distribución de Skutterudite (amarillo) y telururo de bismuto (azul) con una metodología de optimización de topología basada en densidad. El objetivo del problema de optimización es maximizar la producción de energía eléctrica del generador termoeléctrico.

Evolución del diseño de una nevera termoeléctrica. El objetivo del problema de diseño es maximizar la potencia de enfriamiento del enfriador termoeléctrico.

La termoelectricidad es un problema multifísico que se refiere a la interacción y el acoplamiento entre la energía eléctrica y térmica en materiales semiconductores. La conversión de energía termoeléctrica se puede describir mediante dos efectos identificados por separado: el efecto Seebeck y el efecto Peltier. El efecto Seebeck se refiere a la conversión de energía térmica en energía eléctrica y el efecto Peltier se refiere a la conversión de energía eléctrica en energía térmica. ^[15] Al distribuir espacialmente dos materiales termoeléctricos en un espacio de diseño bidimensional con una metodología de optimización de topología, ^[16] es posible exceder el rendimiento de los materiales termoeléctricos constitutivos para refrigeradores termoeléctricos y generadores termoeléctricos . ^[17]

La forma 3F3D sigue la impresión 3D forzada

La proliferación actual de la tecnología de impresoras 3D ha permitido a los diseñadores e ingenieros utilizar técnicas de optimización de topología al diseñar nuevos productos. La optimización de la topología combinada con la impresión 3D puede dar como resultado un menor peso, un mejor rendimiento estructural y un ciclo más corto desde el diseño hasta la fabricación. Ya que los diseños, aunque eficientes, podrían no ser realizables con técnicas de fabricación más tradicionales. ^{[ cita necesaria ]}

Contacto interno

El contacto interno se puede incluir en la optimización de la topología aplicando el método de contacto del tercer medio . ^{[18] [19] [20]} El método del tercer contacto con el medio (TMC) es una formulación de contacto implícita que es continua y diferenciable. Esto hace que TMC sea adecuado para su uso con enfoques basados ​​en gradientes para la optimización de la topología.

Desarrollo de diseño y deformación de ganchos autoengranantes resultantes de la optimización topológica de un problema de contacto utilizando el método TMC ^[18] .

Referencias

1. Sigmund, Ole; Maute, Kurt (2013). "Enfoques de optimización de topología". Optimización Estructural y Multidisciplinar . 48 (6): 1031-1055. doi :10.1007/s00158-013-0978-6. S2CID  124426387.
2. Beckers, M. (1999). «Optimización de la topología mediante método dual con variables discretas» (PDF) . Optimización Estructural . 17 : 14–24. doi :10.1007/BF01197709. S2CID  122845784.
3. Bendsøe, diputado (1989). "El diseño de forma óptima como problema de distribución de materiales". Optimización Estructural . 1 (4): 193–202. doi :10.1007/BF01650949. S2CID  18253872.
4. [1], una monografía del tema.
5. Bendsøe, diputado; Sigmund, O. (1999). "Esquemas de interpolación de materiales en optimización topológica" (PDF) . Archivo de Mecánica Aplicada . 69 (9–10): 635–654. Código Bib : 1999AAM....69..635B. doi :10.1007/s004190050248. S2CID  11368603.
6. van Dijk, NP. Langelaar, M. van Keulen, F. Estudio crítico de la parametrización del diseño en la optimización topológica; La influencia de la parametrización del diseño en los mínimos locales. . 2da Conferencia Internacional sobre Optimización de Ingeniería, 2010
7. Allaire, Gregoire; Henrot, Antoine (mayo de 2001). "Sobre algunos avances recientes en la optimización de la forma". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . Serie IIB - Mecánica. Elsevier. 329 (5): 383–396. Código Bib : 2001CRASB.329..383A. doi :10.1016/S1620-7742(01)01349-6. ISSN  1620-7742 . Consultado el 12 de septiembre de 2021 .
8. Shukla, Avinash; Misra, Anadi; Kumar, Sunil (septiembre de 2013). "Problema del tablero de ajedrez en la optimización de la topología basada en elementos finitos". Revista internacional de avances en ingeniería y tecnología . CiteSeer. 6 (4): 1769-1774. CiteSeerX 10.1.1.670.6771 . ISSN  2231-1963 . Consultado el 14 de febrero de 2022 . 
9. Bourdin, Blaise (30 de marzo de 2001). "Filtros en optimización de topología". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . Wiley. 50 (9): 2143–2158. Código Bib : 2001IJNME..50.2143B. doi :10.1002/nme.116. ISSN  1097-0207. S2CID  38860291 . Consultado el 2 de agosto de 2020 .
10. Sigmund, Ole; Maute, Kurt (octubre de 2012). "Filtrado de sensibilidad desde una perspectiva de la mecánica continua". Optimización Estructural y Multidisciplinar . Saltador. 46 (4): 471–475. doi :10.1007/s00158-012-0814-4. ISSN  1615-1488. S2CID  253680268 . Consultado el 17 de junio de 2021 .
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Otras lecturas

• Pedersen, Claus BW; Allinger, Peter (2006). "Implementación industrial y aplicaciones de optimización de topología y necesidades futuras". Simposio IUTAM sobre Optimización del Diseño Topológico de Estructuras, Máquinas y Materiales . Mecánica de Sólidos y sus Aplicaciones. vol. 137. Saltador. págs. 229-238. doi :10.1007/1-4020-4752-5_23. ISBN 978-1-4020-4729-9.
• Schramm, Uwe; Zhou, Ming (2006). "Desarrollos recientes en la implementación comercial de la optimización de la topología". Simposio IUTAM sobre Optimización del Diseño Topológico de Estructuras, Máquinas y Materiales . Mecánica de Sólidos y sus Aplicaciones. vol. 137. Saltador. págs. 239-248. doi :10.1007/1-4020-4752-5_24. ISBN 978-1-4020-4729-9.
• Mahdavi, A.; Balaji, R.; Frecker, M.; Mockensturm, EM (2006). "Optimización de la topología de continuos 2D para un cumplimiento mínimo mediante computación paralela". Optimización Estructural y Multidisciplinar . 32 (2): 121-132. doi :10.1007/s00158-006-0006-1. S2CID  61564700.
• Leiva, Juan; Watson, Brian; Kosaka, Iku (1999). "Conceptos modernos de optimización estructural aplicados a la optimización topológica". 40ª Conferencia y Exposición de Estructuras, Dinámica Estructural y Materiales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi :10.2514/6.1999-1388.

enlaces externos

• Animaciones de optimización de topología.