Método de mover asíntotas.

Algoritmo de optimización

El método de asíntotas móviles (MMA) es un algoritmo de optimización desarrollado por Krister Svanberg en la década de 1980. Se utiliza principalmente para resolver problemas de programación no lineal , particularmente aquellos relacionados con el diseño estructural y la optimización de la topología . ^[1]

Historia

Krister Svanberg presentó el MMA en un artículo de 1987 titulado "El método de mover asíntotas: un nuevo método para la optimización estructural". ^[2] El método se propuso como una alternativa a los métodos de optimización tradicionales, ofreciendo un enfoque que podría manejar problemas a gran escala, especialmente en el ámbito del diseño estructural. Svanberg publicó otro artículo en 1993 que agregó algunas extensiones al método, incluidas formulaciones mini-max y métodos duales de primer y segundo orden para resolver subproblemas. ^[3] Zillober propuso otra versión que es globalmente convergente. ^[4]

Descripción general del algoritmo

El método de mover asíntotas funciona como un esquema iterativo. La idea clave detrás de MMA es aproximar las restricciones no lineales originales y la función objetivo con una aproximación convexa más simple. Esta aproximación está representada por restricciones lineales y una función objetivo convexa. ^[2]

Partiendo de una suposición inicial, cada iteración consta de los siguientes pasos:

Paso I

Dado un punto de iteración , calcule y los gradientes para . ${\displaystyle x^{(k)}}$ ${\displaystyle f_{i}(x^{(k)})}$ ${\displaystyle \nabla f_{i}(x^{(k)})}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,m}$

Paso II

Genere un subproblema reemplazando, en , las funciones (generalmente implícitas) por aproximaciones a funciones explícitas , según los cálculos del Paso I. ${\displaystyle P^{(k)}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}^{(k)}}$

Paso III

Resuelva y deje que la solución óptima de este subproblema sea el siguiente punto de iteración . Dejar y volver al Paso I hasta la convergencia. ${\displaystyle P^{(k)}}$ ${\displaystyle x^{(k+1)}}$ ${\displaystyle k=k+1}$

Las asíntotas en movimiento sirven como mecanismo adaptativo. Cambian y cambian con cada iteración, acercándose progresivamente a la solución óptima. Esto asegura que las aproximaciones sean cada vez más precisas a medida que avanza el algoritmo. ^[2]

Aplicaciones

El método de mover asíntotas se ha aplicado ampliamente en varios campos, entre ellos: ^[1]

1. Optimización estructural : Diseño de estructuras de celosías, vigas, placas y láminas.
2. Optimización aeroelástica : Diseño de alas de aviones y otros componentes para reducir la resistencia, el peso y garantizar la integridad estructural.
3. Diseño de materiales : optimización de la topología para diseñar materiales con las propiedades mecánicas deseadas.
4. Diseño de componentes mecánicos : optimización de piezas de máquinas para reducción de peso, durabilidad y rendimiento.

Ver también

• Programación cuadrática secuencial
• Optimización de topología

Referencias

1. Bendsøe, MP y Sigmund, O. (2003). Optimización de topología: teoría, métodos y aplicaciones . Berlín: Springer.
2. Svanberg, K. (1987). El método de mover asíntotas: un nuevo método para la optimización estructural. Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 24(2), 359-373.
3. Svanberg, K. (1993), Rozvany, GIN (ed.), "El método de mover asíntotas (MMA) con algunas extensiones", Optimización de grandes sistemas estructurales , Serie ASI de la OTAN, Dordrecht: Springer Países Bajos, págs. 566, doi :10.1007/978-94-010-9577-8_26, ISBN 978-94-010-9577-8, consultado el 1 de septiembre de 2023
4. Zillober, C. (1 de septiembre de 1993). "Una versión globalmente convergente del método de mover asíntotas". Optimización Estructural . 6 (3): 166-174. doi :10.1007/BF01743509. ISSN  1615-1488. S2CID  54187414.