Una curva de Lissajous / ˈ l ɪ s ə ʒ uː / , también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch / ˈ b aʊ d ɪ tʃ / , es el gráfico de un sistema de ecuaciones paramétricas .
que describen la superposición de dos oscilaciones perpendiculares en las direcciones x e y de diferente frecuencia angular ( a y b). La familia de curvas resultante fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815, y más tarde con más detalle en 1857 por Jules Antoine Lissajous (de quien recibió el nombre). Tales movimientos pueden considerarse como un tipo particular de movimiento armónico complejo .
La apariencia de la figura es sensible a la relacióna/b . Para una relación de 1, cuando las frecuencias coinciden con a=b, la figura es una elipse , con casos especiales que incluyen círculos ( A = B , δ = π/2 radianes ) y líneas ( δ = 0 ). Un pequeño cambio en una de las frecuencias significará que la oscilación x después de un ciclo estará ligeramente desincronizada con el movimiento y, por lo que la elipse no se cerrará y trazará una curva ligeramente adyacente durante la siguiente órbita que se muestra como una precesión de la elipse. El patrón se cierra si las frecuencias son proporciones de números enteros, es decir ,a/b es racional
Otra figura de Lissajous simple es la parábola (b/a = 2 , δ = π/4 ). Nuevamente, un pequeño cambio de una frecuencia con respecto a la relación 2 hará que la traza no se cierre, sino que realice múltiples bucles sucesivamente cambiados de frecuencia y que solo se cierren si la relación es racional, como antes. Puede formarse un patrón denso complejo (ver a continuación).
La forma visual de tales curvas a menudo sugiere un nudo tridimensional y, de hecho, muchos tipos de nudos, incluidos los conocidos como nudos de Lissajous , se proyectan en el plano como figuras de Lissajous.
Visualmente, la proporcióna/b determina el número de "lóbulos" de la figura. Por ejemplo, una relación de 3/1 o 1/3 produce una figura con tres lóbulos principales (ver imagen). De manera similar, una proporción de 5/4 produce una figura con cinco lóbulos horizontales y cuatro lóbulos verticales. Las razones racionales producen figuras cerradas (conectadas) o "fijas", mientras que las razones irracionales producen figuras que parecen rotar. La razón A/B determina la relación entre el ancho y la altura de la curva. Por ejemplo, una relación de 2/1 produce una figura que es el doble de ancha que alta. Finalmente, el valor de δ determina el ángulo de "rotación" aparente de la figura, vista como si fuera en realidad una curva tridimensional. Por ejemplo, δ = 0 produce componentes x e y que están exactamente en fase, por lo que la figura resultante aparece como una figura tridimensional aparente vista de frente (0°). Por el contrario, cualquier δ distinto de cero produce una figura que parece estar rotada, ya sea como una rotación de izquierda a derecha o de arriba a abajo (dependiendo de la relación a/b ).
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Figuras de Lissajous donde a = 1 , b = N ( N es un número natural ) y
son polinomios de Chebyshev de primer tipo de grado N . Esta propiedad se explota para producir un conjunto de puntos, llamados puntos de Padua , en los que se puede muestrear una función para calcular una interpolación bivariada o una cuadratura de la función sobre el dominio [−1,1] × [−1,1] .
La relación de algunas curvas de Lissajous con los polinomios de Chebyshev es más clara de entender si la curva de Lissajous que genera cada una de ellas se expresa utilizando funciones coseno en lugar de funciones seno.
La animación muestra la adaptación de la curva con un aumento continuo .a/b fracción de 0 a 1 en pasos de 0,01 ( δ = 0 ).
A continuación se muestran ejemplos de figuras de Lissajous con un número natural impar a , un número natural par b y | a − b | = 1 .
Antes de los equipos electrónicos modernos, las curvas de Lissajous se podían generar mecánicamente por medio de un armógrafo .
Las curvas de Lissajous también se pueden generar utilizando un osciloscopio (como se muestra en la ilustración). Se puede utilizar un circuito tipo pulpo para mostrar las imágenes de forma de onda en un osciloscopio. Se aplican dos entradas sinusoidales con desplazamiento de fase al osciloscopio en modo XY y la relación de fase entre las señales se presenta como una figura de Lissajous.
En el mundo del audio profesional, este método se utiliza para el análisis en tiempo real de la relación de fase entre los canales izquierdo y derecho de una señal de audio estéreo. En las consolas de mezcla de audio más grandes y sofisticadas, se puede incorporar un osciloscopio para este propósito.
En un osciloscopio, suponemos que x es CH1 e y es CH2, A es la amplitud de CH1 y B es la amplitud de CH2, a es la frecuencia de CH1 y b es la frecuencia de CH2, entoncesa/b es la relación de frecuencias de los dos canales y δ es el desplazamiento de fase de CH1.
Una aplicación puramente mecánica de una curva de Lissajous con a = 1 , b = 2 se encuentra en el mecanismo de accionamiento de las lámparas de haz oscilante del tipo Mars Light, populares en los ferrocarriles a mediados del siglo XX. En algunas versiones, el haz traza un patrón asimétrico en forma de 8 sobre su costado.
Cuando la entrada a un sistema LTI es sinusoidal, la salida es sinusoidal con la misma frecuencia, pero puede tener una amplitud diferente y algún desfase . El uso de un osciloscopio que pueda representar gráficamente una señal frente a otra (en lugar de una señal frente al tiempo) para representar gráficamente la salida de un sistema LTI frente a la entrada del sistema LTI produce una elipse que es una figura de Lissajous para el caso especial de a = b . La relación de aspecto de la elipse resultante es una función del desfase entre la entrada y la salida, con una relación de aspecto de 1 (círculo perfecto) correspondiente a un desfase de ±90° y una relación de aspecto de ∞ (una línea) correspondiente a un desfase de 0° o 180°. [ cita requerida ]
La figura siguiente resume cómo cambia la figura de Lissajous con diferentes cambios de fase. Todos los cambios de fase son negativos, de modo que la semántica de retardo se puede utilizar con un sistema LTI causal (nótese que −270° es equivalente a +90°). Las flechas muestran la dirección de rotación de la figura de Lissajous. [ cita requerida ]
Una curva de Lissajous se utiliza en pruebas experimentales para determinar si un dispositivo puede clasificarse correctamente como memristor . [ cita requerida ] También se utiliza para comparar dos señales eléctricas diferentes: una señal de referencia conocida y una señal que se va a probar. [1] [2]
Las figuras de Lissajous se utilizan a veces en el diseño gráfico como logotipos . Algunos ejemplos son:
Las curvas de Lissajous se han utilizado en el pasado para representar gráficamente intervalos musicales mediante el uso del armonógrafo , [8] un dispositivo que consiste en péndulos que oscilan en diferentes relaciones de frecuencia. Debido a que los diferentes sistemas de afinación emplean diferentes relaciones de frecuencia para definir intervalos, estos se pueden comparar utilizando curvas de Lissajous para observar sus diferencias. [9] Por lo tanto, las curvas de Lissajous tienen aplicaciones en la educación musical al representar gráficamente las diferencias entre intervalos y entre sistemas de afinación.
