stringtranslate.com

Dimensión fractal

Figura 1. A medida que la longitud de la vara de medir se hace cada vez más pequeña, la longitud total de la costa medida aumenta (véase Paradoja de la costa ).

En matemáticas , una dimensión fractal es un término que se utiliza en la ciencia de la geometría para proporcionar un índice estadístico racional de la complejidad de los detalles de un patrón . Un patrón fractal cambia con la escala en la que se mide. También es una medida de la capacidad de un patrón para llenar el espacio y nos indica cómo un fractal se escala de manera diferente en una dimensión fractal (no entera). [1] [2] [3]

La idea principal de las dimensiones "fracturadas" tiene una larga historia en matemáticas, pero el término en sí fue introducido por Benoit Mandelbrot con base en su artículo de 1967 sobre autosimilitud en el que discutió las dimensiones fraccionarias . [4] En ese artículo, Mandelbrot citó el trabajo previo de Lewis Fry Richardson que describe la noción contra-intuitiva de que la longitud medida de una línea de costa cambia con la longitud de la vara de medir utilizada (ver Figura 1). En términos de esa noción, la dimensión fractal de una línea de costa cuantifica cómo el número de varas de medir escaladas requeridas para medir la línea de costa cambia con la escala aplicada a la vara. [5] Hay varias definiciones matemáticas formales de dimensión fractal que se basan en este concepto básico de cambio en detalle con cambio de escala: vea la sección Ejemplos.

Finalmente, el término dimensión fractal se convirtió en la frase con la que el propio Mandelbrot se sintió más cómodo a la hora de resumir el significado de la palabra fractal , un término que él mismo creó. Después de varias iteraciones a lo largo de los años, Mandelbrot se decidió por este uso del lenguaje: "...utilizar fractal sin una definición pedante, utilizar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes". [6]

Un ejemplo no trivial es la dimensión fractal de un copo de nieve de Koch . Tiene una dimensión topológica de 1, pero de ninguna manera es rectificable : la longitud de la curva entre dos puntos cualesquiera en el copo de nieve de Koch es infinita . Ninguna pequeña parte de ella es como una línea, sino que está compuesta por un número infinito de segmentos unidos en diferentes ángulos. La dimensión fractal de una curva se puede explicar intuitivamente pensando en una línea fractal como un objeto demasiado detallado para ser unidimensional, pero demasiado simple para ser bidimensional. [7] Por lo tanto, su dimensión podría describirse mejor no por su dimensión topológica habitual de 1 sino por su dimensión fractal, que a menudo es un número entre uno y dos; en el caso del copo de nieve de Koch, es aproximadamente 1,2619.

Introducción

Figura 2. Fractal cuadrático de 32 segmentos escalado y visto a través de cajas de diferentes tamaños. El patrón ilustra la autosimilitud . La dimensión fractal teórica de este fractal es 5/3 ≈ 1,67; su dimensión fractal empírica a partir del análisis de conteo de cajas es ±1% [8] utilizando un software de análisis fractal .

Una dimensión fractal es un índice para caracterizar patrones o conjuntos fractales cuantificando su complejidad como una relación entre el cambio en el detalle y el cambio en la escala. [5] : 1  Se pueden medir varios tipos de dimensión fractal de forma teórica y empírica (véase la figura 2). [3] [9] Las dimensiones fractales se utilizan para caracterizar un amplio espectro de objetos que van desde lo abstracto [1] [3] hasta los fenómenos prácticos, incluyendo la turbulencia, [5] : 97–104  redes fluviales, : 246–247  crecimiento urbano, [10] [11] fisiología humana, [12] [13] medicina, [9] y tendencias del mercado. [14] La idea esencial de las dimensiones fraccionarias o fractales tiene una larga historia en matemáticas que se remonta al siglo XVII, [5] : 19  [15] pero los términos fractal y dimensión fractal fueron acuñados por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. [1] [2] [5] [9] [14] [16]

Las dimensiones fractales se aplicaron por primera vez como un índice que caracterizaba formas geométricas complicadas para las que los detalles parecían más importantes que la imagen general. [16] Para los conjuntos que describen formas geométricas ordinarias, la dimensión fractal teórica es igual a la familiar dimensión euclidiana o topológica del conjunto . Por lo tanto, es 0 para los conjuntos que describen puntos (conjuntos de dimensión 0); 1 para los conjuntos que describen líneas (conjuntos unidimensionales que solo tienen longitud); 2 para los conjuntos que describen superficies (conjuntos bidimensionales que tienen longitud y ancho); y 3 para los conjuntos que describen volúmenes (conjuntos tridimensionales que tienen longitud, ancho y altura). Pero esto cambia para los conjuntos fractales. Si la dimensión fractal teórica de un conjunto excede su dimensión topológica, se considera que el conjunto tiene geometría fractal. [17]

A diferencia de las dimensiones topológicas, el índice fractal puede tomar valores no enteros , [18] lo que indica que un conjunto llena su espacio cualitativa y cuantitativamente de manera diferente a como lo hace un conjunto geométrico ordinario. [1] [2] [3] Por ejemplo, una curva con una dimensión fractal muy cercana a 1, digamos 1.10, se comporta bastante como una línea ordinaria, pero una curva con una dimensión fractal de 1.9 serpentea enrevesadamente a través del espacio casi como una superficie. De manera similar, una superficie con una dimensión fractal de 2.1 llena el espacio de manera muy similar a una superficie ordinaria, pero una con una dimensión fractal de 2.9 se pliega y fluye para llenar el espacio casi como un volumen. [17] : 48  [notas 1] Esta relación general se puede ver en las dos imágenes de curvas fractales en las figuras 2 y 3: el contorno de 32 segmentos en la figura 2, convolucionado y que llena el espacio, tiene una dimensión fractal de 1,67, en comparación con la curva de Koch perceptiblemente menos compleja en la figura 3, que tiene una dimensión fractal de aproximadamente 1,2619.

Una animación de la curva de Koch
Figura 3. La curva de Koch es una clásica curva fractal iterada . Es una construcción teórica que se realiza escalando iterativamente un segmento inicial. Como se muestra, cada segmento nuevo se escala en 1/3 en 4 nuevas piezas dispuestas de extremo a extremo con 2 piezas intermedias inclinadas una hacia la otra entre las otras dos piezas, de modo que si fueran un triángulo su base sería la longitud de la pieza intermedia, de modo que todo el segmento nuevo encaja a lo largo de la longitud medida tradicionalmente entre los puntos finales del segmento anterior. Mientras que la animación solo muestra unas pocas iteraciones, la curva teórica se escala de esta manera infinitamente. Más allá de aproximadamente 6 iteraciones en una imagen tan pequeña, se pierde el detalle.

La relación de una dimensión fractal creciente con el llenado del espacio podría interpretarse como que las dimensiones fractales miden la densidad, pero no es así; las dos no están estrictamente correlacionadas. [8] En cambio, una dimensión fractal mide la complejidad, un concepto relacionado con ciertas características clave de los fractales: autosimilitud y detalle o irregularidad . [notas 2] Estas características son evidentes en los dos ejemplos de curvas fractales. Ambas son curvas con dimensión topológica de 1, por lo que uno podría esperar poder medir su longitud y derivada de la misma manera que con las curvas ordinarias. Pero no podemos hacer ninguna de estas cosas, porque las curvas fractales tienen complejidad en forma de autosimilitud y detalle de los que carecen las curvas ordinarias. [5] La autosimilitud reside en la escala infinita y el detalle en los elementos que definen cada conjunto. La longitud entre dos puntos cualesquiera de estas curvas es infinita, sin importar cuán cerca estén los dos puntos, lo que significa que es imposible aproximar la longitud de dicha curva dividiéndola en muchos segmentos pequeños. [19] Cada pieza más pequeña está compuesta por un número infinito de segmentos escalados que se ven exactamente como la primera iteración. Estas no son curvas rectificables , lo que significa que no se pueden medir al dividirlas en muchos segmentos que se aproximen a sus respectivas longitudes. No se pueden caracterizar de manera significativa al encontrar sus longitudes y derivadas. Sin embargo, se pueden determinar sus dimensiones fractales, lo que muestra que ambas llenan el espacio más que las líneas ordinarias pero menos que las superficies, y permite compararlas en este sentido.

Las dos curvas fractales descritas anteriormente muestran un tipo de autosimilitud que es exacta con una unidad repetitiva de detalle que se visualiza fácilmente. Este tipo de estructura se puede extender a otros espacios (por ejemplo, un fractal que extiende la curva de Koch al espacio 3-d tiene un D teórico = 2,5849). Sin embargo, esta complejidad claramente contable es solo un ejemplo de la autosimilitud y el detalle que están presentes en los fractales. [3] [14] El ejemplo de la línea costera de Gran Bretaña, por ejemplo, exhibe autosimilitud de un patrón aproximado con escala aproximada. [5] : 26  En general, los fractales muestran varios tipos y grados de autosimilitud y detalle que pueden no visualizarse fácilmente. Estos incluyen, como ejemplos, atractores extraños para los cuales el detalle se ha descrito como, en esencia, porciones suaves amontonadas, [17] : 49  el conjunto de Julia , que puede verse como remolinos complejos sobre remolinos, y frecuencias cardíacas, que son patrones de picos ásperos repetidos y escalados en el tiempo. [20] La complejidad fractal no siempre puede resolverse en unidades de detalle y escala fácilmente comprensibles sin métodos analíticos complejos, pero aún es cuantificable a través de dimensiones fractales. [5] : 197, 262 

Historia

Los términos dimensión fractal y fractal fueron acuñados por Mandelbrot en 1975, [16] aproximadamente una década después de que publicara su artículo sobre la autosimilitud en la costa de Gran Bretaña. Varias autoridades históricas le atribuyen también el mérito de sintetizar siglos de complicadas matemáticas teóricas y trabajos de ingeniería y de aplicarlos de una manera nueva para estudiar geometrías complejas que desafiaban la descripción en los términos lineales habituales. [15] [21] [22] Las primeras raíces de lo que Mandelbrot sintetizó como la dimensión fractal se remontan claramente a escritos sobre funciones no diferenciables, infinitamente autosimilares, que son importantes en la definición matemática de los fractales, en torno a la época en que se descubrió el cálculo a mediados del siglo XVII. [5] : 405  Hubo una pausa en el trabajo publicado sobre tales funciones durante un tiempo después de eso, luego una renovación que comenzó a fines del siglo XIX con la publicación de funciones matemáticas y conjuntos que hoy se llaman fractales canónicos (como los trabajos homónimos de von Koch , [19] Sierpiński y Julia ), pero que en el momento de su formulación a menudo se consideraban "monstruos" matemáticos antitéticos. [15] [22] Estos trabajos fueron acompañados por quizás el punto más crucial en el desarrollo del concepto de una dimensión fractal a través del trabajo de Hausdorff a principios de la década de 1900, quien definió una dimensión "fraccional" que llegó a recibir su nombre y se invoca con frecuencia para definir fractales modernos . [4] [5] : 44  [17] [21]

Consulte la historia fractal para obtener más información.

El papel del escalamiento

Figura 4. Nociones tradicionales de geometría para definir escala y dimensión. , , , , , , [23]


El concepto de dimensión fractal se basa en puntos de vista no convencionales sobre la escala y la dimensión. [24] Como ilustra la figura 4, las nociones tradicionales de geometría dictan que las formas se escalan de manera predecible según ideas intuitivas y familiares sobre el espacio que las contiene, de modo que, por ejemplo, medir una línea utilizando primero una vara de medir y luego otra de 1/3 de su tamaño, dará para la segunda vara una longitud total de 3 veces más varas que con la primera. Esto también es válido en dos dimensiones. Si se mide el área de un cuadrado y luego se mide nuevamente con una caja de una longitud de lado de 1/3 del tamaño de la original, se obtendrán 9 veces más cuadrados que con la primera medida. Estas relaciones de escala familiares se pueden definir matemáticamente mediante la regla de escala general de la ecuación 1, donde la variable representa el número de unidades de medida (varas, cuadrados, etc.), el factor de escala y la dimensión fractal:

Esta regla de escala ejemplifica las reglas convencionales sobre geometría y dimensión; en referencia a los ejemplos anteriores, cuantifica que para las líneas porque cuando , y que para los cuadrados porque cuando

Un contorno fractal de un copo de nieve de Koch
Figura 5. Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch , que tiene una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,2619.

La misma regla se aplica a la geometría fractal, pero de forma menos intuitiva. Para explicarlo mejor, una línea fractal que al principio se midió como una longitud, cuando se vuelve a medir utilizando una nueva vara escalada por 1/3 de la anterior, puede tener una longitud cuatro veces mayor que la de las tres varas escaladas esperadas (véase la figura 5). En este caso, cuando y el valor de se pueden encontrar reordenando la ecuación 1:

Es decir, para un fractal descrito por cuando , como el copo de nieve de Koch , , un valor no entero que sugiere que el fractal tiene una dimensión no igual al espacio en el que reside. [3]

Cabe señalar que las imágenes que se muestran en esta página no son fractales verdaderos porque el escalamiento descrito por no puede continuar más allá del punto de su componente más pequeño, un píxel. Sin embargo, los patrones teóricos que representan las imágenes no tienen piezas discretas similares a píxeles, sino que están compuestos por un número infinito de segmentos de escala infinita y, de hecho, tienen las dimensiones fractales declaradas. [5] [24]

Dno es un descriptor único

Figura 6. Dos fractales ramificados de sistemas L que se crean produciendo 4 partes nuevas por cada 1/3 de escala , por lo que tienen la misma teoría que la curva de Koch y para los cuales se ha demostrado el conteo de cajas empírico con una precisión del 2%. [8]

Al igual que sucede con las dimensiones determinadas para líneas, cuadrados y cubos, las dimensiones fractales son descripciones generales que no definen patrones de forma única. [24] [25] El valor de D para el fractal de Koch analizado anteriormente, por ejemplo, cuantifica la escala inherente del patrón, pero no lo describe de forma única ni proporciona suficiente información para reconstruirlo. Se podrían construir muchas estructuras o patrones fractales que tengan la misma relación de escala pero sean radicalmente diferentes de la curva de Koch, como se ilustra en la Figura 6.

Para ver ejemplos de cómo se pueden construir patrones fractales, consulte Fractal , Triángulo de Sierpinski , Conjunto de Mandelbrot , Agregación limitada por difusión , Sistema L.

Estructuras de superficies fractales

El concepto de fractalidad se aplica cada vez más en el campo de la ciencia de superficies , proporcionando un puente entre las características de la superficie y las propiedades funcionales. [26] Se utilizan numerosos descriptores de superficie para interpretar la estructura de superficies nominalmente planas, que a menudo muestran características autoafines en múltiples escalas de longitud. La rugosidad media de la superficie , normalmente denotada como R A , es el descriptor de superficie que se aplica con más frecuencia, sin embargo, se aplican regularmente otros numerosos descriptores, incluida la pendiente media, la rugosidad cuadrática media (R RMS ) y otros. Sin embargo, se ha descubierto que muchos fenómenos físicos de la superficie no se pueden interpretar fácilmente con referencia a dichos descriptores, por lo que la dimensión fractal se aplica cada vez más para establecer correlaciones entre la estructura de la superficie en términos de comportamiento de escala y rendimiento. [27] Las dimensiones fractales de las superficies se han empleado para explicar y comprender mejor los fenómenos en áreas de mecánica de contacto , [28] comportamiento de fricción , [29] resistencia de contacto eléctrico [30] y óxidos conductores transparentes . [31]

Figura 7: Ilustración de fractalidad superficial creciente. Superficies autoafines (izquierda) y perfiles de superficie correspondientes (derecha) que muestran una dimensión fractal creciente D f

Ejemplos

El concepto de dimensión fractal descrito en este artículo es una visión básica de un concepto complejo. Los ejemplos que se analizan aquí se eligieron por su claridad, y la unidad de escala y las proporciones se conocían de antemano. En la práctica, sin embargo, las dimensiones fractales se pueden determinar utilizando técnicas que aproximan la escala y el detalle a partir de límites estimados a partir de líneas de regresión sobre gráficos logarítmicos de tamaño frente a escala. A continuación se enumeran varias definiciones matemáticas formales de diferentes tipos de dimensión fractal. Aunque para conjuntos compactos con autosimilitud afín exacta todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes:

[ cita requerida ]
La dimensión de Hausdorff de S se define por

Estimación a partir de datos del mundo real

Muchos fenómenos del mundo real exhiben propiedades fractales limitadas o estadísticas y dimensiones fractales que se han estimado a partir de datos muestreados utilizando técnicas de análisis fractal basadas en computadora . En la práctica, las mediciones de la dimensión fractal se ven afectadas por varios problemas metodológicos y son sensibles al ruido numérico o experimental y a las limitaciones en la cantidad de datos. No obstante, el campo está creciendo rápidamente ya que las dimensiones fractales estimadas para fenómenos estadísticamente autosimilares pueden tener muchas aplicaciones prácticas en varios campos, incluyendo astronomía, [35] acústica, [36] [37] geología y ciencias de la tierra, [38] diagnóstico por imágenes, [39] [40] [41] ecología, [42] procesos electroquímicos, [43] análisis de imágenes, [44] [ 45] [46] [47] biología y medicina, [48] [49] [50] neurociencia, [51] [13] análisis de redes , fisiología, [12] física, [52] [53] y ceros zeta de Riemann. [54] También se ha demostrado que las estimaciones de la dimensión fractal se correlacionan con la complejidad de Lempel-Ziv en conjuntos de datos del mundo real de psicoacústica y neurociencia. [55] [36]

Una alternativa a la medición directa es considerar un modelo matemático que se asemeje a la formación de un objeto fractal del mundo real. En este caso, también se puede realizar una validación comparando propiedades distintas a las fractales implícitas en el modelo con los datos medidos. En física coloidal surgen sistemas compuestos por partículas con diversas dimensiones fractales. Para describir estos sistemas, es conveniente hablar de una distribución de dimensiones fractales y, eventualmente, de una evolución temporal de estas últimas: un proceso que está impulsado por una compleja interacción entre agregación y coalescencia . [56]

Véase también

Notas

Referencias

  1. ^ abcd Falconer, Kenneth (2003). Geometría fractal . Wiley. pág. 308. ISBN 978-0-470-84862-3.
  2. ^ abc Sagan, Hans (1994). Curvas que llenan el espacio . Springer-Verlag. pág. 156. ISBN 0-387-94265-3.
  3. ^ abcdef Vicsek, Tamás (1992). Fenómenos de crecimiento fractal . Científico mundial. pag. 10.ISBN 978-981-02-0668-0.
  4. ^ ab Mandelbrot, B. (1967). "¿Qué longitud tiene la costa de Gran Bretaña? Autosimilitud estadística y dimensión fraccionaria". Science . 156 (3775): 636–8. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Archivado desde el original el 2021-10-19 . Consultado el 2020-11-12 .
  5. ^ abcdefghijk Benoit B. Mandelbrot (1983). La geometría fractal de la naturaleza. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Recuperado el 1 de febrero de 2012 .
  6. ^ Edgar, Gerald (2007). Medida, topología y geometría fractal. Springer. pág. 7. ISBN 978-0-387-74749-1.
  7. ^ Harte, David (2001). Multifractales . Chapman & Hall. Págs. 3-4. ISBN. 978-1-58488-154-4.
  8. ^ abc Balay-Karperien, Audrey (2004). Definición de la morfología microglial: forma, función y dimensión fractal. Universidad Charles Sturt. p. 86. Consultado el 9 de julio de 2013 .
  9. ^ abc Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F., eds. (2005). Fractales en biología y medicina. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. Recuperado el 1 de febrero de 2012 .
  10. ^ Chen, Yanguang (2011). "Modelado de la estructura fractal de distribuciones de tamaño de ciudad utilizando funciones de correlación". PLOS ONE . ​​6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode :2011PLoSO...624791C. doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID  21949753. 
  11. ^ "Aplicaciones". Archivado desde el original el 12 de octubre de 2007. Consultado el 21 de octubre de 2007 .
  12. ^ ab Popescu, DP; Flueraru, C.; Mao, Y.; Chang, S.; Sowa, MG (2010). "Análisis fractal de atenuación de señal y conteo de cajas de imágenes de tomografía de coherencia óptica de tejido arterial". Biomedical Optics Express . 1 (1): 268–277. doi :10.1364/boe.1.000268. PMC 3005165 . PMID  21258464. 
  13. ^ ab King, RD; George, AT; Jeon, T.; Hynan, LS; Youn, TS; Kennedy, DN; Dickerson, B.; la Iniciativa de Neuroimagen de la Enfermedad de Alzheimer (2009). "Caracterización de los cambios atróficos en la corteza cerebral mediante análisis dimensional fractal". Imágenes cerebrales y comportamiento . 3 (2): 154–166. doi :10.1007/s11682-008-9057-9. PMC 2927230 . PMID  20740072. 
  14. ^ abc Peters, Edgar (1996). Caos y orden en los mercados de capitales: una nueva visión de los ciclos, los precios y la volatilidad del mercado . Wiley. ISBN 0-471-13938-6.
  15. ^ abc Edgar, Gerald, ed. (2004). Clásicos sobre fractales . Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  16. ^ abc Albers; Alexanderson (2008). "Benoit Mandelbrot: En sus propias palabras". Gente matemática: perfiles y entrevistas . AK Peters. pág. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
  17. ^ abcd Mandelbrot, Benoit (2004). Fractales y caos . Springer. pág. 38. ISBN. 978-0-387-20158-0Un conjunto fractal es aquel en el que la dimensión fractal (Hausdorff-Besicovitch) excede estrictamente la dimensión topológica .
  18. ^ Sharifi-Viand, A.; Mahjani, MG; Jafarian, M. (2012). "Investigación de la difusión anómala y dimensiones multifractales en películas de polipirrol". Journal of Electroanalytical Chemistry . 671 : 51–57. doi :10.1016/j.jelechem.2012.02.014.
  19. ^ de Helge von Koch, "Sobre una curva continua sin tangentes construible a partir de geometría elemental" En Edgar 2004, pp. 25–46
  20. ^ Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). "Propiedades fractales de la variabilidad del período cardíaco humano: implicaciones fisiológicas y metodológicas". The Journal of Physiology . 587 (15): 3929–41. doi :10.1113/jphysiol.2009.169219. PMC 2746620 . PMID  19528254. 
  21. ^ ab Gordon, Nigel (2000). Introducción a la geometría fractal. Duxford: Icon. pág. 71. ISBN 978-1-84046-123-7.
  22. ^ ab Trochet, Holly (2009). "Una historia de la geometría fractal". MacTutor History of Mathematics . Archivado desde el original el 12 de marzo de 2012.
  23. ^ Appignanesi, Richard; ed. (2006). Introducción a la geometría fractal , pág. 28. Icono. ISBN 978-1840467-13-0
  24. ^ abc Iannaccone, Khokha (1996). Geometría fractal en sistemas biológicos . CRC Press. ISBN 978-0-8493-7636-8.
  25. ^ Vicsek, Tamás (2001). Fluctuaciones y escalamiento en biología . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850790-9.
  26. ^ Pfeifer, Peter (1988), "Fractales en la ciencia de superficies: dispersión y termodinámica de películas adsorbidas", en Vanselow, Ralf; Howe, Russell (eds.), Química y física de superficies sólidas VII , Springer Series in Surface Sciences, vol. 10, Springer Berlin Heidelberg, págs. 283–305, doi :10.1007/978-3-642-73902-6_10, ISBN 9783642739040
  27. ^ Milanese, Enrico; Brink, Tobias; Aghababaei, Ramin; Molinari, Jean-François (diciembre de 2019). "Aparición de superficies autoafines durante el desgaste adhesivo". Nature Communications . 10 (1): 1116. Bibcode :2019NatCo..10.1116M. doi :10.1038/s41467-019-09127-8. ISSN  2041-1723. PMC 6408517 . PMID  30850605. 
  28. ^ Rigidez de contacto de superficies multiescala, en el International Journal of Mechanical Sciences (2017), 131
  29. ^ Fricción estática en interfaces fractales, Tribology International (2016), vol 93
  30. ^ Chongpu, Zhai; Dorian, Hanaor; Gwénaëlle, Proust; Yixiang, Gan (2017). "Resistencia de contacto eléctrico dependiente de la tensión en superficies rugosas fractales". Journal of Engineering Mechanics . 143 (3): B4015001. doi :10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000967.
  31. ^ Kalvani, Payam Rajabi; Jahangiri, Ali Reza; Shapouri, Samaneh; Sari, Amirhossein; Jalili, Yousef Seyed (agosto de 2019). "Análisis AFM multimodo de películas delgadas de óxido de zinc dopado con aluminio pulverizadas a varias temperaturas de sustrato para aplicaciones optoelectrónicas". Superlattices and Microstructures . 132 : 106173. doi :10.1016/j.spmi.2019.106173. S2CID  198468676.
  32. ^ Higuchi, T. (1988). "Aproximación a una serie temporal irregular con base en la teoría fractal". Physica D . 31 (2): 277–283. Bibcode :1988PhyD...31..277H. doi :10.1016/0167-2789(88)90081-4.
  33. ^ Jelinek, A.; Jelinek, HF; Leandro, JJ; Soares, JV; Cesar Jr, RM; Luckie, A. (2008). "Detección automatizada de retinopatía proliferativa en la práctica clínica". Oftalmología Clínica . 2 (1): 109–122. doi : 10.2147/OPTH.S1579 . PMC 2698675 . PMID  19668394. 
  34. ^ Li, NZ; Britz, T. (2024). "Sobre la libertad de escala de las redes de sustitución aleatoria de colores". Actas de la American Mathematical Society . 152 (4): 1377–1389. arXiv : 2109.14463 . doi :10.1090/proc/16604.
  35. ^ Caicedo-Ortiz, ÉL; Santiago-Cortés, E.; López-Bonilla, J.; Castañeda4, HO (2015). "Dimensión fractal y turbulencia en regiones HII gigantes". Revista de Física: Serie de conferencias . 582 (1): 1–5. arXiv : 1501.04911 . Código Bib : 2015JPhCS.582a2049C. doi : 10.1088/1742-6596/582/1/012049 .{{cite journal}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
  36. ^ ab Burns, T.; Rajan, R. (2019). "Un enfoque matemático para correlacionar características espectrotemporales objetivas de sonidos no lingüísticos con sus percepciones subjetivas en humanos". Frontiers in Neuroscience . 13 : 794. doi : 10.3389/fnins.2019.00794 . PMC 6685481 . PMID  31417350. 
  37. ^ Maragos, P.; Potamianos, A. (1999). "Dimensiones fractales de los sonidos del habla: cálculo y aplicación al reconocimiento automático del habla". Revista de la Sociedad Acústica de América . 105 (3): 1925–32. Bibcode :1999ASAJ..105.1925M. doi :10.1121/1.426738. PMID  10089613.
  38. ^ Avşar, Elif (1 de septiembre de 2020). "Contribución de la teoría de la dimensión fractal a la predicción de la resistencia a la compresión uniaxial de un bimrock soldado volcánico". Boletín de ingeniería geológica y medio ambiente . 79 (7): 3605–3619. doi :10.1007/s10064-020-01778-y. ISSN  1435-9537. S2CID  214648440.
  39. ^ Landini, G.; Murray, PI; Misson, GP (1995). "Dimensiones fractales conectadas locales y análisis de lagunaridad de angiografías con fluoresceína de 60 grados". Oftalmología investigativa y ciencia visual . 36 (13): 2749–2755. PMID  7499097.
  40. ^ Cheng, Qiuming (1997). "Modelado multifractal y análisis de lacunaridad". Geología matemática . 29 (7): 919–932. doi :10.1023/A:1022355723781. S2CID  118918429.
  41. ^ Santiago-Cortés, E.; Martínez Ledezma, JL (2016). "Dimensión fractal en las retinas humanas" (PDF) . Revista de Ciencia e Ingeniería . 8 : 59–65. eISSN  2539-066X. ISSN  2145-2628.
  42. ^ Wildhaber, Mark L.; Lamberson, Peter J.; Galat, David L. (1 de mayo de 2003). "Una comparación de las medidas de la forma del lecho de los ríos para evaluar la distribución de los peces bentónicos". Revista norteamericana de gestión pesquera . 23 (2): 543–557. doi :10.1577/1548-8675(2003)023<0543:acomor>2.0.co;2. ISSN  1548-8675.
  43. ^ Eftekhari, A. (2004). "Dimensión fractal de las reacciones electroquímicas". Revista de la Sociedad Electroquímica . 151 (9): E291–6. Código Bibliográfico :2004JElS..151E.291E. doi :10.1149/1.1773583.
  44. ^ Al-Kadi OS, Watson D. (2008). "Texture Analysis of Aggressive and non-Aggressive Lung Tumor CE CT Images" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 55 (7): 1822–30. doi :10.1109/tbme.2008.919735. PMID  18595800. S2CID  14784161. Archivado desde el original (PDF) el 2014-04-13 . Consultado el 2014-04-10 .
  45. ^ Pierre Soille y Jean-F. Rivest (1996). "Sobre la validez de las mediciones de dimensión fractal en el análisis de imágenes" (PDF) . Revista de comunicación visual y representación de imágenes . 7 (3): 217–229. doi :10.1006/jvci.1996.0020. ISSN  1047-3203. Archivado desde el original (PDF) el 20 de julio de 2011.
  46. ^ Tolle, CR; McJunkin, TR; Gorsich, DJ (2003). "Método basado en la cobertura del volumen mínimo subóptimo del grupo para medir la dimensión fractal". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 25 : 32–41. CiteSeerX 10.1.1.79.6978 . doi :10.1109/TPAMI.2003.1159944. 
  47. ^ Gorsich, DJ; Tolle, CR; Karlsen, RE; Gerhart, GR (1996). "Análisis wavelet y fractal de imágenes de vehículos terrestres". En Unser, Michael A.; Aldroubi, Akram; Laine, Andrew F. (eds.). Aplicaciones wavelet en procesamiento de señales e imágenes IV. Actas del SPIE. Vol. 2825. págs. 109–119. Código Bibliográfico :1996SPIE.2825..109G. doi :10.1117/12.255224. S2CID  121560110.
  48. ^ Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). "Dimensión fractal en el cerebelo humano medida mediante imágenes por resonancia magnética". Revista biofísica . 85 (6): 4041–6. Bibcode :2003BpJ....85.4041L. doi :10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704 . PMID  14645092. 
  49. ^ Smith, TG; Lange, GD; Marks, WB (1996). "Métodos fractales y resultados en morfología celular: dimensiones, lacunaridad y multifractales". Journal of Neuroscience Methods . 69 (2): 123–136. doi :10.1016/S0165-0270(96)00080-5. PMID  8946315. S2CID  20175299.
  50. ^ Li, J.; Du, Q.; Sun, C. (2009). "Un método mejorado de conteo de cajas para la estimación de la dimensión fractal de imágenes". Reconocimiento de patrones . 42 (11): 2460–9. Código Bibliográfico :2009PatRe..42.2460L. doi :10.1016/j.patcog.2009.03.001.
  51. ^ Burns, T.; Rajan, R. (2015). "Burns & Rajan (2015) Combinación de medidas de complejidad de datos de EEG: la multiplicación de medidas revela información previamente oculta. F1000Research. 4:137". F1000Research . 4 : 137. doi : 10.12688/f1000research.6590.1 . PMC 4648221 . PMID  26594331. 
  52. ^ Dubuc, B.; Quiniou, J.; Roques-Carmes, C.; Tricot, C.; Zucker, S. (1989). "Evaluación de la dimensión fractal de los perfiles". Physical Review A . 39 (3): 1500–12. Bibcode :1989PhRvA..39.1500D. doi :10.1103/PhysRevA.39.1500. PMID  9901387.
  53. ^ Roberts, A.; Cronin, A. (1996). "Estimación no sesgada de dimensiones multifractales de conjuntos de datos finitos". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 233 (3–4): 867–878. arXiv : chao-dyn/9601019 . Código Bibliográfico :1996PhyA..233..867R. doi :10.1016/S0378-4371(96)00165-3. S2CID  14388392.
  54. ^ Shanker, O. (2006). "Matrices aleatorias, funciones zeta generalizadas y autosimilitud de distribuciones cero". Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (45): 13983–97. Bibcode :2006JPhA...3913983S. doi :10.1088/0305-4470/39/45/008.
  55. ^ Burns, T.; Rajan, R. (2015). "Burns & Rajan (2015) Combinación de medidas de complejidad de datos de EEG: la multiplicación de medidas revela información previamente oculta. F1000Research. 4:137". F1000Research . 4 : 137. doi : 10.12688/f1000research.6590.1 . PMC 4648221 . PMID  26594331. 
  56. ^ Kryven, I.; Lazzari, S.; Storti, G. (2014). "Modelado del equilibrio poblacional de agregación y coalescencia en sistemas coloidales". Teoría y simulaciones macromoleculares . 23 (3): 170–181. doi :10.1002/mats.201300140.

Lectura adicional

Enlaces externos