En matemáticas , la teoría de catástrofes es una rama de la teoría de la bifurcación en el estudio de los sistemas dinámicos ; también es un caso especial particular de la teoría de la singularidad más general en geometría .
La teoría de la bifurcación estudia y clasifica los fenómenos caracterizados por cambios repentinos en el comportamiento que surgen de pequeños cambios en las circunstancias, analizando cómo la naturaleza cualitativa de las soluciones de las ecuaciones depende de los parámetros que aparecen en la ecuación. Esto puede conducir a cambios repentinos y dramáticos, por ejemplo, la imprevisibilidad del momento y la magnitud de un deslizamiento de tierra .
La teoría de catástrofes se originó con el trabajo del matemático francés René Thom en la década de 1960, y se volvió muy popular debido a los esfuerzos de Christopher Zeeman en la década de 1970. Considera el caso especial donde el equilibrio estable de largo plazo puede identificarse como el mínimo de una función potencial suave y bien definida ( función de Lyapunov ). Pequeños cambios en ciertos parámetros de un sistema no lineal pueden hacer que los equilibrios aparezcan o desaparezcan, o que cambien de atracción a repulsión y viceversa, lo que lleva a cambios grandes y repentinos del comportamiento del sistema. Sin embargo, examinada en un espacio de parámetros más grande , la teoría de catástrofes revela que tales puntos de bifurcación tienden a ocurrir como parte de estructuras geométricas cualitativas bien definidas.
A finales de los años 1970, las aplicaciones de la teoría de catástrofes a áreas fuera de su ámbito comenzaron a ser criticadas, especialmente en biología y ciencias sociales. [1] [2] Zahler y Sussmann, en un artículo de 1977 en Nature , se refirieron a tales aplicaciones como "caracterizadas por razonamiento incorrecto, suposiciones inverosímiles, consecuencias erróneas y afirmaciones exageradas". [3] Como resultado, la teoría de catástrofes se ha vuelto menos popular en sus aplicaciones. [4]
La teoría de catástrofes analiza los puntos críticos degenerados de la función potencial, es decir, los puntos en los que no sólo la primera derivada, sino también una o más derivadas superiores de la función potencial son cero. Estos puntos se denominan gérmenes de las geometrías de catástrofes. La degeneración de estos puntos críticos se puede desdoblar expandiendo la función potencial como una serie de Taylor en pequeñas perturbaciones de los parámetros.
Cuando los puntos degenerados no son meramente accidentales, sino que son estructuralmente estables , los puntos degenerados existen como centros organizadores para estructuras geométricas particulares de menor degeneración, con características críticas en el espacio de parámetros que los rodea. Si la función potencial depende de dos o menos variables activas, y cuatro o menos parámetros activos, entonces sólo hay siete estructuras genéricas para estas geometrías de bifurcación, con formas estándar correspondientes en las que la serie de Taylor alrededor de los gérmenes de catástrofe puede transformarse por difeomorfismo (una transformación suave cuya inversa también es suave). [ cita requerida ] A continuación se presentan estos siete tipos fundamentales, con los nombres que les dio Thom.
La teoría de catástrofes estudia los sistemas dinámicos que describen la evolución [5] de una variable de estado a lo largo del tiempo :
En la ecuación anterior, se denomina función potencial y, a menudo, es un vector o un escalar que parametriza la función potencial. El valor de puede cambiar con el tiempo y también se puede denominar variable de control . En los siguientes ejemplos, los parámetros como son dichos controles.
Cuando a < 0 , el potencial V tiene dos extremos: uno estable y otro inestable. Si el parámetro a se incrementa lentamente, el sistema puede seguir el punto mínimo estable. Pero en a = 0, los extremos estable e inestable se encuentran y se aniquilan. Este es el punto de bifurcación. En a > 0 ya no hay una solución estable. Si se sigue un sistema físico a través de una bifurcación de pliegues, se descubre que cuando a llega a 0, la estabilidad de la solución a < 0 se pierde de repente y el sistema hará una transición repentina a un comportamiento nuevo y muy diferente. Este valor de bifurcación del parámetro a se denomina a veces " punto de inflexión ".
La geometría de cúspide es muy común cuando se explora lo que le sucede a una bifurcación de pliegue si se agrega un segundo parámetro, b , al espacio de control. Al variar los parámetros, se descubre que ahora hay una curva (azul) de puntos en el espacio ( a , b ) donde se pierde la estabilidad, donde la solución estable saltará repentinamente a un resultado alternativo.
Pero en una geometría de cúspide, la curva de bifurcación se repite sobre sí misma, dando lugar a una segunda rama en la que esta solución alternativa pierde estabilidad y dará un salto hacia atrás hasta el conjunto de soluciones original. Al aumentar b repetidamente y luego disminuirlo, se pueden observar bucles de histéresis , ya que el sistema sigue alternativamente una solución, salta a la otra, sigue la otra de vuelta y luego salta de nuevo a la primera.
Sin embargo, esto sólo es posible en la región del espacio de parámetros a < 0. A medida que a aumenta, los bucles de histéresis se hacen cada vez más pequeños, hasta que por encima de a = 0 desaparecen por completo (la catástrofe de la cúspide), y sólo hay una solución estable.
También se puede considerar lo que sucede si se mantiene b constante y se varía a . En el caso simétrico b = 0 , se observa una bifurcación en horquilla a medida que a se reduce, con una solución estable dividiéndose repentinamente en dos soluciones estables y una solución inestable a medida que el sistema físico pasa a a < 0 a través del punto cúspide (0,0) (un ejemplo de ruptura espontánea de la simetría ). Lejos del punto cúspide, no hay un cambio repentino en una solución física que se esté siguiendo: al pasar por la curva de bifurcaciones de pliegues, todo lo que sucede es que una segunda solución alternativa se vuelve disponible.
Una sugerencia famosa es que la catástrofe de la cúspide se puede utilizar para modelar el comportamiento de un perro estresado, que puede responder acobardándose o enfadándose. [6] La sugerencia es que con un estrés moderado ( a > 0 ), el perro exhibirá una transición suave de respuesta de acobardado a enojado, dependiendo de cómo se lo provoque. Pero los niveles de estrés más altos corresponden a moverse a la región ( a < 0 ). Luego, si el perro comienza acobardado, permanecerá acobardado a medida que se irrita cada vez más, hasta que alcanza el punto de "pliegue", cuando repentinamente, de manera discontinua, pasará al modo enojado. Una vez en modo "enojado", permanecerá enojado, incluso si el parámetro de irritación directa se reduce considerablemente.
Un sistema mecánico simple, la "Máquina de Catástrofes Zeeman", ilustra muy bien una catástrofe de cúspide. En este dispositivo, variaciones suaves en la posición del extremo de un resorte pueden causar cambios repentinos en la posición de rotación de una rueda acoplada. [7]
La falla catastrófica de un sistema complejo con redundancia paralela se puede evaluar en función de la relación entre las tensiones locales y externas. El modelo de la mecánica de fractura estructural es similar al comportamiento de la catástrofe de cúspide. El modelo predice la capacidad de reserva de un sistema complejo.
Otras aplicaciones incluyen la transferencia de electrones de la esfera exterior que se encuentra frecuentemente en sistemas químicos y biológicos, [8] el modelado de la dinámica de los núcleos de condensación de nubes en la atmósfera, [9] y el modelado de precios inmobiliarios. [10]
Las bifurcaciones de pliegues y la geometría de cúspides son, con diferencia, las consecuencias prácticas más importantes de la teoría de catástrofes. Son patrones que se repiten una y otra vez en la física, la ingeniería y el modelado matemático. Producen los fenómenos de lente gravitacional fuerte y proporcionan a los astrónomos uno de los métodos utilizados para detectar agujeros negros y la materia oscura del universo, a través del fenómeno de lente gravitacional que produce múltiples imágenes de cuásares distantes . [11]
Las restantes geometrías de catástrofes simples son muy especializadas en comparación y se presentan aquí sólo por valor de curiosidad.
El espacio de parámetros de control es tridimensional. El conjunto de bifurcaciones en el espacio de parámetros está formado por tres superficies de bifurcaciones de pliegues, que se encuentran en dos líneas de bifurcaciones de cúspides, que a su vez se encuentran en un único punto de bifurcación en cola de golondrina.
A medida que los parámetros pasan por la superficie de bifurcaciones de pliegues, desaparecen un mínimo y un máximo de la función potencial. En las bifurcaciones de cúspide, dos mínimos y un máximo son reemplazados por un mínimo; más allá de ellos, las bifurcaciones de pliegues desaparecen. En el punto de cola de golondrina, dos mínimos y dos máximos se encuentran en un único valor de x . Para valores de a > 0 , más allá de la cola de golondrina, hay un par máximo-mínimo, o ninguno en absoluto, dependiendo de los valores de b y c . Dos de las superficies de bifurcaciones de pliegues, y las dos líneas de bifurcaciones de cúspide donde se encuentran para a < 0 , desaparecen por lo tanto en el punto de cola de golondrina, para ser reemplazadas por una única superficie de bifurcaciones de pliegues restante. La última pintura de Salvador Dalí , La cola de golondrina , se basó en esta catástrofe.
Dependiendo de los valores de los parámetros, la función potencial puede tener tres, dos o un mínimo local diferente, separados por los lugares geométricos de las bifurcaciones de los pliegues. En el punto de mariposa, las diferentes superficies de 3 bifurcaciones de los pliegues, las superficies de 2 bifurcaciones de las cúspides y las líneas de bifurcaciones de las colas de golondrina se encuentran y desaparecen, dejando una única estructura de cúspide restante cuando a > 0 .
Las catástrofes umbilicales son ejemplos de catástrofes de corank 2. Se pueden observar en óptica en las superficies focales creadas por la luz que se refleja en una superficie en tres dimensiones y están íntimamente relacionadas con la geometría de superficies casi esféricas: punto umbilical . Thom propuso que la catástrofe umbilical hiperbólica modelaba la ruptura de una ola y la umbilical elíptica modelaba la creación de estructuras similares a cabellos.
Vladimir Arnold dio a las catástrofes la clasificación ADE , debido a una conexión profunda con los grupos de Lie simples . [ cita requerida ]
Hay objetos en la teoría de la singularidad que corresponden a la mayoría de los otros grupos de Lie simples.
Como predice la teoría de catástrofes, las singularidades son genéricas y estables bajo perturbación. Esto explica por qué las líneas y superficies brillantes son estables bajo perturbación. Las cáusticas que se ven en el fondo de una piscina, por ejemplo, tienen una textura distintiva y solo tienen unos pocos tipos de puntos singulares, aunque la superficie del agua está en constante cambio. [12]
El borde del arcoíris , por ejemplo, tiene una catástrofe de plegamiento. Debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, la catástrofe tiene detalles de difracción finos descritos por la función de Airy . Este es un resultado genérico y no depende de la forma precisa de la gota de agua, por lo que el borde del arcoíris siempre tiene la forma de una función de Airy. [13] [14] La misma catástrofe de plegamiento de la función de Airy se puede ver en la dispersión nuclear-nuclear ("arcoíris nuclear"). [15]
La catástrofe de la cúspide es la siguiente más sencilla de observar. Debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, la catástrofe tiene finos detalles de difracción descritos por la función de Pearcey . [16] También se han observado catástrofes de orden superior, como la cola de golondrina y la mariposa. [17]
