Álgebra de Azumaya

En matemáticas , un álgebra de Azumaya es una generalización de álgebras simples centrales a álgebras donde no es necesario que haya un campo . Esta noción fue introducida en un artículo de 1951 de Goro Azumaya , para el caso en el que hay un anillo local conmutativo . La noción se desarrolló aún más en la teoría de anillos y en la geometría algebraica , donde Alexander Grothendieck la convirtió en la base de su teoría geométrica del grupo de Brauer en los seminarios de Bourbaki de 1964-1965. Actualmente existen varios puntos de acceso a las definiciones básicas. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

sobre un anillo

Un álgebra de Azumaya ^{[1] [2]} sobre un anillo conmutativo es un -álgebra que obedece cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$

1. Existe un -álgebra tal que el producto tensorial de -álgebras es equivalente a Morita . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B\otimes _{R}A}$ ${\displaystyle R}$
2. El -álgebra es equivalente a Morita , donde es el álgebra opuesta a . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {op} }\otimes _{R}A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle A}$
3. El centro de es , y es separable . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$
4. ${\displaystyle A}$es finitamente generado , fiel y proyectivo como un módulo, y el producto tensorial es isomorfo a través del envío del mapa al endomorfismo de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}A^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle {\text{End}}_{R}(A)}$ ${\displaystyle a\otimes b}$ ${\displaystyle x\mapsto axb}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos sobre un campo

Sobre un campo , las álgebras de Azumaya están completamente clasificadas por el teorema de Artin-Wedderburn ya que son iguales que las álgebras centrales simples . Estas son álgebras isomorfas al anillo de matriz para algunas álgebras de división cuyo centro es justo . Por ejemplo, las álgebras de cuaterniones proporcionan ejemplos de álgebras centrales simples. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos sobre anillos locales

Dado un anillo conmutativo local , un -álgebra es Azumaya si y solo si está libre de rango finito positivo como un -módulo, y el álgebra es un álgebra central simple sobre , por lo tanto, todos los ejemplos provienen de álgebras centrales simples sobre . ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}(R/{\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

Álgebras cíclicas

Existe una clase de álgebras de Azumaya llamadas álgebras cíclicas que generan todas las clases de similitud de álgebras de Azumaya sobre un campo , de ahí todos los elementos del grupo de Brauer (definido a continuación). Dada una extensión de grado del campo de Galois cíclico finito , para todos y cada uno de los generadores hay un anillo polinómico retorcido , también denotado , generado por un elemento tal que ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\text{Br}}(K)}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b\in K^{*}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}$ ${\displaystyle L[x]_{\sigma }}$ ${\displaystyle A(\sigma ,b)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{n}=b}$

y se cumple la siguiente propiedad de conmutación:

${\displaystyle l\cdot x=\sigma (x)\cdot l.}$

Como espacio vectorial sobre , tiene base con multiplicación dada por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L[x]_{\sigma }}$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}}$

${\displaystyle x^{i}\cdot x^{j}={\begin{cases}x^{i+j}&{\text{ if }}i+j<n\\x^{i+j-n}b&{\text{ if }}i+j\geq n\\\end{cases}}}$

Tenga en cuenta que, dada una variedad geométricamente integral ^[3] , también hay un álgebra cíclica asociada para la extensión del campo cociente . ${\displaystyle X/K}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}(X_{L})/{\text{Frac}}(X)}$

grupo brauer de un anillo

Sobre los campos, existe una clasificación cohomológica de las álgebras de Azumaya utilizando la cohomología de Étale . De hecho, este grupo, llamado grupo de Brauer , también puede definirse como las clases de similitud ^{[1] : 3} de las álgebras de Azumaya sobre un anillo , donde los anillos son similares si existe un isomorfismo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A,A'}$

${\displaystyle A\otimes _{R}M_{n}(R)\cong A'\otimes _{R}M_{m}(R)}$

de anillos para algunos números naturales . Entonces, esta equivalencia es de hecho una relación de equivalencia, y si , , entonces , mostrando ${\displaystyle n,m}$ ${\displaystyle A_{1}\sim A_{1}'}$ ${\displaystyle A_{2}\sim A_{2}'}$ ${\displaystyle A_{1}\otimes _{R}A_{2}\sim A_{1}'\otimes _{R}A_{2}'}$

${\displaystyle [A_{1}]\otimes [A_{2}]=[A_{1}\otimes _{R}A_{2}]}$

es una operación bien definida. Esto forma una estructura de grupo en el conjunto de tales clases de equivalencia llamada grupo de Brauer , denotado . Otra definición la da el subgrupo de torsión del grupo de cohomología etale. ${\displaystyle {\text{Br}}(R)}$

${\displaystyle {\text{Br}}_{\text{coh}}(R):={\text{H}}_{et}^{2}({\text{Spec}}(R),\mathbb {G} _{m})_{\text{tors}}}$

que se denomina grupo cohomológico de Brauer . Estas dos definiciones coinciden cuando es un campo. ${\displaystyle R}$

Grupo Brauer usando cohomología de Galois

Existe otra definición equivalente del grupo de Brauer utilizando la cohomología de Galois . Para una extensión de campo existe un grupo de Brauer cohomológico definido como ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(E/F):=H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })}$

y el grupo cohomológico de Brauer para se define como ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(F)={\underset {E/F}{\text{colim}}}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })}$

donde el colimit se toma sobre todas las extensiones finitas del campo de Galois.

Cálculo para un campo local.

Sobre un campo local no arquimediano , como los números p -ádicos , la teoría de campos de clases locales da el isomorfismo de los grupos abelianos: ^{[4] pg 193} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

${\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(F)\cong \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Esto se debe a que, dadas las extensiones del campo abeliano, existe una secuencia corta y exacta de grupos de Galois. ${\displaystyle E_{2}/E_{1}/F}$

${\displaystyle 0\to {\text{Gal}}(E_{2}/E_{1})\to {\text{Gal}}(E_{2}/F)\to {\text{Gal}}(E_{1}/F)\to 0}$

y de la teoría de campos de clases locales, existe el siguiente diagrama conmutativo: ^[5]

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{2}/F),E_{1}^{\times })&\to &H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{1}/F),E_{1}^{\times })\\\downarrow &&\downarrow \\\left({\frac {1}{[E_{2}:E_{1}]}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} &\to &\left({\frac {1}{[E_{1}:F]}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \end{matrix}}}$

donde los mapas verticales son isomorfismos y los mapas horizontales son inyecciones.

n -torsión para un campo

Recordemos que existe la secuencia de Kummer ^[6]

${\displaystyle 1\to \mu _{n}\to \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {\cdot n} \mathbb {G} _{m}\to 1}$

dando una secuencia larga y exacta en cohomología para un campo . Dado que el teorema 90 de Hilbert implica , hay una secuencia exacta corta asociada ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H^{1}(F,\mathbb {G} _{m})=0}$

${\displaystyle 0\to H_{et}^{2}(F,\mu _{n})\to {\text{Br}}(F)\xrightarrow {\cdot n} {\text{Br}}(F)\to 0}$

mostrando el segundo grupo de cohomología etale con coeficientes en las raíces enésimas de la unidad es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$

${\displaystyle H_{et}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}.}$

Generadores de n -clases de torsión en el grupo Brauer sobre un campo

El símbolo de Galois , o símbolo de residuo de norma, es un mapa del grupo de teoría K de Milnor de torsión al grupo de cohomología etale , denotado por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\otimes \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}$

${\displaystyle R_{n,F}:K_{2}^{M}(F)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}$^[6]

Proviene de la composición del producto copa en cohomología etale con el isomorfismo 90 del teorema de Hilbert.

${\displaystyle \chi _{n,F}:F^{*}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\to H_{\text{et}}^{1}(F,\mu _{n})}$

por eso

${\displaystyle R_{n,F}(\{a,b\})=\chi _{n,F}(a)\cup \chi _{n,F}(b)}$

Resulta que este mapa factoriza a través de , cuya clase para está representada por un álgebra cíclica . Para la extensión de Kummer donde , tome un generador del grupo cíclico y construya . Existe una construcción alternativa, aunque equivalente, a través de la cohomología de Galois y la cohomología de etale. Considere la secuencia corta y exacta de módulos triviales ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle [A(\sigma ,b)]}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E=F({\sqrt[{n}]{a}})}$ ${\displaystyle \sigma \in {\text{Gal}}(E/F)}$ ${\displaystyle [A(\sigma ,b)]}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {F}}/F)}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\to 0}$

La secuencia larga y exacta produce un mapa.

${\displaystyle H_{\text{Gal}}^{1}(F,\mathbb {Z} /n)\xrightarrow {\delta } H_{\text{Gal}}^{2}(F,\mathbb {Z} )}$

Por el carácter único

${\displaystyle \chi :{\text{Gal}}(E/F)\to \mathbb {Z} /n}$

con , hay un ascensor único ${\displaystyle \chi (\sigma )=1}$

${\displaystyle {\overline {\chi }}:{\text{Gal}}({\overline {F}}/F)\to \mathbb {Z} /n}$

y

${\displaystyle \delta ({\overline {\chi }})\cup (b)=[A(\sigma ,b)]\in {\text{Br}}(F)}$

tenga en cuenta que la clase es del mapa del teorema 90 de Hilberts . Entonces, dado que existe una raíz primitiva de unidad , también hay una clase ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle \chi _{n,F}(b)}$ ${\displaystyle \zeta \in \mu _{n}\subset F}$

${\displaystyle \delta ({\overline {\chi }})\cup (b)\cup (\zeta )\in H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}$

Resulta que esta es precisamente la clase . Debido al teorema del isomorfismo del residuo de norma , es un isomorfismo y las clases de torsión son generadas por las álgebras cíclicas . ${\displaystyle R_{n,F}(\{a,b\})}$ ${\displaystyle R_{n,F}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}}$ ${\displaystyle [A(\sigma ,b)]}$

Teorema de Skolem-Noether

Uno de los resultados estructurales importantes de las álgebras de Azumaya es el teorema de Skolem-Noether : dado un anillo conmutativo local y un álgebra de Azumaya , los únicos automorfismos son internos. Es decir, el siguiente mapa es sobreyectivo: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\to A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{cases}A^{*}\to {\text{Aut}}(A)\\a\mapsto (x\mapsto a^{-1}xa)\end{cases}}}$

¿Dónde está el grupo de unidades? Esto es importante porque se relaciona directamente con la clasificación cohomológica de clases de similitud de las álgebras de Azumaya sobre un esquema. En particular, implica que el álgebra de Azumaya tiene un grupo de estructura para algunos , y el grupo de cohomología de Čech ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\check {H}}^{1}((X)_{et},{\text{PGL}}_{n})}$

da una clasificación cohomológica de tales paquetes. Entonces, esto puede estar relacionado con el uso de la secuencia exacta. ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})}$

${\displaystyle 1\to \mathbb {G} _{m}\to {\text{GL}}_{n}\to {\text{PGL}}_{n}\to 1}$

Resulta que la imagen de es un subgrupo del subgrupo de torsión . ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})_{tors}}$

en un esquema

Un álgebra de Azumaya en un esquema X con estructura de haz , según el seminario original de Grothendieck, es un haz de -álgebras que es étale localmente isomorfa a un haz de álgebra matricial; Sin embargo, se debe agregar la condición de que cada haz de álgebra matricial sea de rango positivo. Esta definición convierte el álgebra de Azumaya en una "forma retorcida" de la gavilla . Milne, Étale Cohomology , parte en cambio de la definición de que es un haz de -álgebras cuyo tallo en cada punto es un álgebra de Azumaya sobre el anillo local en el sentido dado anteriormente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle M_{n}({\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Dos álgebras de Azumaya y son equivalentes si existen haces localmente libres y de rango positivo finito en cada punto tales que ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}$

${\displaystyle A_{1}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{1})\simeq A_{2}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{2}),}$^{[  dieciséis}

¿Dónde está la gavilla de endomorfismo de ? El grupo de Brauer de (un análogo del grupo de Brauer de un campo) es el conjunto de clases de equivalencia de las álgebras de Azumaya. La operación de grupo viene dada por el producto tensorial y la inversa viene dada por el álgebra opuesta. Tenga en cuenta que esto es distinto del grupo cohomológico de Brauer que se define como . ${\displaystyle \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})}$

Ejemplo sobre especificación ( Z [1/ n ])

La construcción de un álgebra de cuaterniones sobre un campo se puede globalizar considerando el álgebra no conmutativa ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} [1/n])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/n]}$

${\displaystyle A_{a,b}={\frac {\mathbb {Z} [1/n]\langle i,j,k\rangle }{i^{2}-a,j^{2}-b,ij-k,ji+k}}}$

luego, como un haz de -álgebras, tiene la estructura de un álgebra de Azumaya. La razón para restringir al conjunto afín abierto es porque el álgebra de cuaterniones es un álgebra de división sobre los puntos y solo si el símbolo de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a,b}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} [1/n])\hookrightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (p)}$

${\displaystyle (a,b)_{p}=1}$

lo cual es cierto en todos menos en un número finito de primos.

Ejemplo sobre P n

Las álgebras de Azumaya se pueden construir como para un álgebra de Azumaya sobre un campo . Por ejemplo, la gavilla de endomorfismo es la gavilla de matriz. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {E}})\otimes _{k}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)}$

${\displaystyle {\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b))={\begin{pmatrix}{\mathcal {O}}&{\mathcal {O}}(b-a)\\{\mathcal {O}}(a-b)&{\mathcal {O}}\end{pmatrix}}}$

por lo tanto , se puede construir un álgebra de Azumaya a partir de este haz tensorizado con un álgebra de Azumaya , como un álgebra de cuaterniones. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

Aplicaciones

Ha habido aplicaciones importantes de las álgebras de Azumaya en geometría diofántica , siguiendo el trabajo de Yuri Manin . La obstrucción de Manin al principio de Hasse se define utilizando el grupo de esquemas de Brauer.

Ver también

• gerbe
• Teoría del campo de clases
• Teoría K algebraica
• Cohomología motívica
• Teorema del isomorfismo del residuo de norma

Referencias

1. Milne, James S. (1980). Étale cohomología (PDF) . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08238-3. OCLC  5028959. Archivado desde el original (PDF) el 21 de junio de 2020.
2. Borceux, Francisco; Vitale, Enrico (2002). «Categorías de Azumaya» (PDF) . Estructuras categóricas aplicadas . 10 : 449–467.
3. lo que significa que es una variedad integral cuando se extiende al cierre algebraico de su campo base
4. Serre, Jean-Pierre. (1979). Campos locales. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. ISBN 978-1-4757-5673-9. OCLC  859586064.
5. "Conferencias sobre teoría de campos de clases cohomológicas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 22 de junio de 2020.
6. Srinivas, V. (1994). "8. El teorema de Merkurjev-Suslin". Teoría K algebraica (Segunda ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston. págs. 145-193. ISBN 978-0-8176-4739-1. OCLC  853264222.

Grupo de Brauer y álgebras de Azumaya

• Milne, Juan. Cohomología etale. Capítulo IV
• Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974), Théorie de la descente et algèbres d'Azumaya , Lecture Notes in Mathematics, vol. 389, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0057799, MR  0417149, Zbl  0284.13002
• Hilo de Mathoverflow sobre "Ejemplos explícitos de álgebras de Azumaya"

Álgebras de división

• Knus, Max-Albert (1991), Formas cuadráticas y hermitianas sobre anillos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlín, etc.: Springer-Verlag , ISBN 3-540-52117-8, Zbl  0756.11008
• Saltman, David J. (1999). Conferencias sobre álgebras de división . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 94. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0979-2. Zbl  0934.16013.