En lógica matemática , el álgebra de Lindenbaum-Tarski (o álgebra de Lindenbaum ) de una teoría lógica T consiste en las clases de equivalencia de oraciones de la teoría (es decir, el cociente , bajo la relación de equivalencia ~ definida de modo que p ~ q exactamente cuando p y q son demostrablemente equivalentes en T ). Es decir, dos oraciones son equivalentes si la teoría T prueba que cada una implica a la otra. El álgebra de Lindenbaum-Tarski es, por tanto, el álgebra del cociente obtenida al factorizar el álgebra de fórmulas mediante esta relación de congruencia .
El álgebra recibe su nombre de los lógicos Adolf Lindenbaum y Alfred Tarski . A partir del año académico 1926-1927, Lindenbaum fue pionero en su método en el seminario de lógica matemática de Jan Łukasiewicz , [1] [2] y el método se popularizó y generalizó en las décadas posteriores a través del trabajo de Tarski. [3] El álgebra de Lindenbaum-Tarski se considera el origen de la lógica algebraica moderna . [4]
Las operaciones en un álgebra de Lindenbaum–Tarski A se heredan de las de la teoría subyacente T . Estas suelen incluir la conjunción y la disyunción , que están bien definidas en las clases de equivalencia. Cuando la negación también está presente en T , entonces A es un álgebra de Boole , siempre que la lógica sea clásica . Si la teoría T consiste en las tautologías proposicionales , el álgebra de Lindenbaum–Tarski es el álgebra de Boole libre generada por las variables proposicionales .
Las álgebras de Heyting y las álgebras interiores son las álgebras de Lindenbaum-Tarski para la lógica intuicionista y la lógica modal S4 , respectivamente.
Una lógica para la cual el método de Tarski es aplicable, se llama algebraizable . Sin embargo, hay una serie de lógicas donde este no es el caso, por ejemplo las lógicas modales S1 , S2 o S3 , que carecen de la regla de necesidad (⊢φ implica ⊢□φ), por lo que ~ (definido arriba) no es una congruencia (porque ⊢φ→ψ no implica ⊢□φ→□ψ). Otro tipo de lógica donde el método de Tarski es inaplicable son las lógicas de relevancia , porque dados dos teoremas una implicación de uno en el otro puede no ser en sí misma un teorema en una lógica de relevancia. [4] El estudio del proceso (y noción) de algebraización como tema de interés por sí mismo, no necesariamente por el método de Tarski, ha llevado al desarrollo de la lógica algebraica abstracta .