Turbulencia cuántica

Turbulencia cuántica ^{[1] [2]} es el nombre que se le da al flujo turbulento –el movimiento caótico de un fluido a altos caudales– de fluidos cuánticos , como los superfluidos . La idea de que podría ser posible una forma de turbulencia en un superfluido a través de las líneas de vórtice cuantificadas fue sugerida por primera vez por Richard Feynman . La dinámica de los fluidos cuánticos se rige por la mecánica cuántica , en lugar de la física clásica que gobierna los fluidos clásicos (ordinarios) . Algunos ejemplos de fluidos cuánticos incluyen helio superfluido ( 4 He y pares de Cooper de 3 He ), condensados ​​de Bose-Einstein (BEC), condensados ​​de polariton y pasta nuclear que se teoriza que existe dentro de estrellas de neutrones . Los fluidos cuánticos existen a temperaturas inferiores a la temperatura crítica a la que tiene lugar la condensación de Bose-Einstein ^{[3] .} ${\displaystyle T_{c}}$

Propiedades generales de los superfluidos.

Fig 1. El diagrama esquemático de un fluido (azul) en un recipiente cilíndrico. Izquierda: la curva traza un camino cerrado en una región simplemente conectada. El camino se puede reducir al punto y, por lo tanto, se puede aplicar el teorema de Stokes. Para un fluido cuántico, esto indica que la circulación desaparece. Derecha: la curva traza un camino cerrado en una región multiconexa (es decir, con agujeros). El camino no se puede reducir debido al agujero y, por lo tanto, el teorema de Stokes no se cumple, lo que lleva a una circulación cuantificada distinta de cero. Para un fluido cuántico, esto sugiere que las estructuras de vórtice actúan como "agujeros". ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

Fig 2. Izquierda: Esquema simple de una línea recta de vórtice en un espacio tridimensional, con circulación positiva. Medio: velocidad azimutal frente al radio. (i) muestra la velocidad del fluido de rotación de un cuerpo sólido. (ii) muestra la velocidad del fluido de un vórtice en fluidos tanto clásicos como cuánticos. (iii) una combinación de (i) y (ii) para formar un modelo de vórtice de Rankine para un tornado con un núcleo de tamaño . Derecha: densidad numérica frente al radio de un fluido cuántico con vórtice . El agotamiento de la densidad se puede observar en un radio pequeño . La cantidad representa la densidad del fluido lo suficientemente lejos del núcleo del vórtice . ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r<a_{0}}$ ${\displaystyle n_{s}}$ ${\displaystyle r>a_{0}}$

Fig 3. Izquierda: Esquema de un anillo de vórtice de radio que se mueve a una velocidad . Centro: esquema tridimensional de un anillo de vórtice cuántico. La velocidad del anillo es generada por el propio anillo, que se impulsa a sí mismo a una velocidad inversamente proporcional al radio del anillo. El grosor del anillo está muy exagerado para poder visualizar la forma toroidal. En realidad, para el helio II el espesor es de aproximadamente . Derecha: el perfil de velocidad del anillo de vórtice frente a su tamaño. Se puede ver una relación inversa. Esto sugiere que los anillos más pequeños se mueven a una velocidad mucho más rápida, mientras que los anillos más grandes se mueven a una velocidad mucho más lenta. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle v_{R}}$ ${\displaystyle 10^{-10}{\text{m}}}$

La turbulencia de los fluidos cuánticos se ha estudiado principalmente en dos fluidos cuánticos: el helio líquido y los condensados ​​atómicos. Se han realizado observaciones experimentales en los dos isótopos estables del helio, el ⁴ He común y el raro ³ He. Este último isótopo tiene dos fases, denominadas fase A y fase B. La fase A es fuertemente anisotrópica y, aunque tiene propiedades hidrodinámicas muy interesantes, los experimentos de turbulencia se han realizado casi exclusivamente en la fase B. El helio se licua a una temperatura de aproximadamente 4K. A esta temperatura, el fluido se comporta como un fluido clásico con una viscosidad extraordinariamente pequeña, denominado helio I. Después de un enfriamiento adicional, el helio I sufre una condensación de Bose-Einstein en un superfluido, denominado helio II. La temperatura crítica para la condensación de helio de Bose-Einstein es 2,17 K (a la presión de vapor saturado ), mientras que para ^{el 3} He-B sólo es de unos pocos mK . ^[4] ${\displaystyle T_{c}}$

Aunque en los condensados ​​atómicos no hay tanta evidencia experimental de turbulencia como en el helio, se han realizado experimentos con rubidio , sodio , cesio , litio y otros elementos. La temperatura crítica para estos sistemas es del orden de microkelvin.

Hay dos propiedades fundamentales de los fluidos cuánticos que los distinguen de los fluidos clásicos: superfluidez y circulación cuantificada.

superfluidez

La superfluidez surge como consecuencia de la relación de dispersión de las excitaciones elementales, y los fluidos que exhiben este comportamiento fluyen sin viscosidad . Esta es una propiedad vital para la turbulencia cuántica, ya que la viscosidad en los fluidos clásicos provoca la disipación de la energía cinética en calor, amortiguando el movimiento del fluido. Landau predijo que si un superfluido fluye más rápido que una cierta velocidad crítica (o alternativamente, un objeto se mueve más rápido que en un fluido estático), se emiten excitaciones térmicas (rotones) a medida que se vuelve energéticamente favorable para generar cuasipartículas, lo que hace que el fluido ya no muestre superfluido. propiedades. Para el helio II, esta velocidad crítica es . ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}\approx 60{\text{m/s}}}$

Circulación cuantificada

La propiedad de circulación cuantificada surge como consecuencia de la existencia y unicidad de una función de onda macroscópica compleja , que afecta la vorticidad (rotación local) de una manera muy profunda, haciéndola crucial para la turbulencia cuántica. ${\displaystyle \Psi }$

La velocidad y la densidad del fluido se pueden recuperar de la función de onda escribiéndola en forma polar , donde es la magnitud de y es la fase. La velocidad del fluido es entonces y la densidad numérica es . La densidad de masa está relacionada con la densidad numérica por , donde es la masa de un bosón . ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=|\Psi (\mathbf {x} ,t)|e^{i\phi (\mathbf {x} ,t)}}$ ${\displaystyle |\Psi |}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=(\hbar /m)\nabla \phi }$ ${\displaystyle n(\mathbf {x} ,t)=|\Psi |^{2}}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=mn}$ ${\displaystyle m}$

La circulación se define como la integral de línea a lo largo de un camino cerrado simple dentro del fluido. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {dr} }$

Para una superficie simplemente conexa , el teorema de Stokes se cumple y la circulación desaparece, ya que la velocidad se puede expresar como el gradiente de la fase. Para una superficie con múltiples conexiones, la diferencia de fase entre un punto inicial arbitrario en la curva y el punto final (igual que el punto inicial cerrado) debe ser , donde para que la función de onda tenga un solo valor. Esto conduce a un valor cuantificado para la circulación. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2\pi q}$ ${\displaystyle q=0,1,2,\cdots }$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\hbar }{m}}\oint _{C}\nabla S\cdot \mathbf {dr} =q\kappa }$

donde es el cuanto de circulación y el número entero es la carga (o número de devanado) del vórtice. Los vórtices con carga múltiple ( ) en el helio II son inestables y por esta razón en la mayoría de las aplicaciones prácticas . Es energéticamente favorable que el fluido forme vórtices con una sola carga en lugar de un solo vórtice de carga , por lo que un vórtice con carga múltiple se dividiría en vórtices con una sola carga. Bajo ciertas condiciones, es posible generar ciertos vórtices con una carga superior a 1. ${\displaystyle \kappa =h/m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Propiedades de las líneas de vórtice

Las líneas de vórtice son defectos de líneas topológicas de la fase. Su nucleación hace que la región del fluido cuántico se convierta en una región multiconectada. Como se muestra en la Fig. 2, el agotamiento de la densidad se puede observar cerca del eje, en la línea del vórtice. El tamaño del núcleo del vórtice varía entre los diferentes fluidos cuánticos. El tamaño del núcleo del vórtice es aproximado para el helio II, el ³ He-B y los condensados ​​atómicos típicos . El sistema de vórtice más simple en un fluido cuántico consta de una única línea recta de vórtice; el campo de velocidades de tal configuración es puramente azimutal dado por . Esta es la misma fórmula que para una solución clásica de línea de vórtice de la ecuación de Euler; sin embargo, clásicamente, este modelo es físicamente poco realista ya que la velocidad diverge como . Esto lleva a la idea del vórtice de Rankine como se muestra en la figura 2, que combina la rotación de un cuerpo sólido para movimientos pequeños y de vórtice para valores grandes de , y es un modelo más realista de los vórtices clásicos ordinarios. ${\displaystyle \rho =0}$ ${\displaystyle a_{0}=10^{-10}{\text{m}}}$ ${\displaystyle a_{0}=10^{-8}{\text{m}}}$ ${\displaystyle a_{0}=10^{-4}{\text{m}}}$ ${\displaystyle v_{\theta }=\kappa /{2\pi r}}$ ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Se pueden establecer muchas similitudes con los vórtices en los fluidos clásicos, por ejemplo, el hecho de que las líneas de vórtice obedecen al teorema de circulación de Kelvin clásico : la circulación se conserva y las líneas de vórtice deben terminar en límites o existir en forma de bucles cerrados. En el límite de temperatura cero, un punto en una línea de vórtice viajará de acuerdo con el campo de velocidad que se genera en ese punto por las otras partes de la línea de vórtice, siempre que la línea de vórtice no sea recta (un vórtice recto aislado no se mueve ). La velocidad también puede ser generada por cualquier otra línea de vórtice en el fluido, un fenómeno también presente en los fluidos clásicos. Un ejemplo simple de esto es un anillo de vórtice (un vórtice en forma de toro) que se mueve a una velocidad autoinducida inversamente proporcional al radio del anillo , donde . ^[5] Todo el anillo se mueve a una velocidad ${\displaystyle v_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R>>a_{0}}$

${\displaystyle v_{R}={\frac {\kappa }{4\pi R}}\left[\ln {\left({\frac {8R}{a_{0}}}\right)}-{\frac {1}{2}}\right]}$

Ondas Kelvin y reconexiones de vórtices

Fig 4. Izquierda: Esquema de una onda Kelvin con amplitud y longitud de onda . Derecha: una configuración de vórtice recta que ha sido perturbada hasta convertirse en una configuración de vórtice curvada. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$

Fig 5. Esquema de la reconexión de dos vórtices. Las flechas en los vórtices representan la dirección de la vorticidad en la línea del vórtice. Izquierda: Antes de la reconexión. Medio: Se está produciendo la reconexión del vórtice. Derecha: después de la reconexión.

Los vórtices en los fluidos cuánticos sustentan las ondas Kelvin, que son perturbaciones helicoidales de una línea de vórtice que se aleja de su configuración recta y que giran a una velocidad angular , con ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega \approx {\frac {\kappa k^{2}}{4\pi }}\ln {\left({\frac {1}{ka_{0}}}\right)}}$

Aquí donde está la longitud de onda y el vector de onda. ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

Los vórtices que viajan en fluidos cuánticos pueden interactuar entre sí, lo que resulta en reconexiones de líneas de vórtice y, en última instancia, cambia la topología de la configuración del vórtice cuando chocan, como sugiere Richard Feynman. ^[6] A temperaturas distintas de cero, las líneas de vórtice dispersan las excitaciones térmicas, lo que crea una fuerza de fricción con el componente fluido normal (nube térmica para condensados ​​atómicos). Este fenómeno conduce a la disipación de energía cinética. Por ejemplo, los anillos de vórtice se reducirán y las ondas Kelvin disminuirán en amplitud.

Red de vórtice

Fig 6. Esquema de un recipiente cilíndrico que gira a una velocidad de , formando una red de vórtices de seis líneas rectas de vórtices. ${\displaystyle \Omega }$

Las redes de vórtice son configuraciones laminares (ordenadas) de líneas de vórtice que se pueden crear girando el sistema. Para un recipiente cilíndrico de radio , se puede derivar una condición para la formación de una red de vórtice minimizando la expresión , donde es la energía libre, es el momento angular del fluido y es la rotación, con magnitud y dirección axial. La velocidad crítica para la aparición de una red de vórtices es entonces . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F'=F-\mathbf {L} _{v}\cdot \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{v}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega _{c}^{1}={\frac {\kappa }{R^{2}}}\ln {\left({\frac {R}{a_{0}}}\right)}}$

Exceder esta velocidad permite que se forme un vórtice en el fluido. Se pueden formar estados con más vórtices aumentando aún más la rotación, más allá de las siguientes velocidades críticas . Los vórtices se organizan en configuraciones ordenadas que se denominan redes de vórtices. ${\displaystyle \Omega _{c}^{2},\,\Omega _{c}^{3},\cdots }$

Dos naturaleza fluida

Fig 7. Fracciones de los componentes representadas frente a la temperatura, que muestra la mezcla de fluido normal y superfluido en helio II, donde es la fracción superfluida y la fracción de fluido normal. Para temperaturas superiores a la temperatura crítica, el fluido normal constituye todo el fluido. ${\displaystyle \rho _{s}/\rho }$ ${\displaystyle \rho _{n}/\rho }$

A temperaturas distintas de cero , se deben tener en cuenta los efectos térmicos. Para gases atómicos a temperaturas distintas de cero, una fracción de los átomos no son parte del condensado, sino que forman una nube térmica enrarecida (gran recorrido medio libre) que coexiste con el condensado (que, en primera aproximación, puede identificarse con el componente superfluido). Dado que el helio es un líquido, no un gas diluido como los condensados ​​atómicos, existe una interacción mucho más fuerte entre los átomos y el condensado es sólo una parte del componente superfluido. Las excitaciones térmicas (que consisten en fonones y rotones) forman un componente de fluido viscoso (trayecto medio libre muy corto, análogo al fluido viscoso clásico regido por la ecuación de Navier-Stokes ), llamado fluido normal que coexiste con el componente superfluido. Esto forma la base de la teoría de los dos fluidos de Tisza y Landau que describe el helio II como la mezcla de componentes superfluidos co-penetrantes y fluidos normales, con una densidad total dictada por la ecuación . La tabla muestra las propiedades clave de los componentes del fluido normal y superfluido: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =\rho _{n}+\rho _{s}}$

Las proporciones relativas de los dos componentes cambian con la temperatura, desde un flujo de fluido totalmente normal a la temperatura de transición ( y ), hasta un flujo de superfluido completo en el límite de temperatura cero ( y ). A velocidades pequeñas, las ecuaciones de dos fluidos son ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle \rho _{n}/\rho \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \rho _{s}/\rho \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \rho _{s}/\rho \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \rho _{n}/\rho \rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho _{s}\mathbf {v} _{s}+\rho _{n}\mathbf {v} _{n})=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho S)}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho S\mathbf {v} _{n})=0}$

${\displaystyle \rho _{s}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} _{s}}{\partial t}}+(\mathbf {v} _{s}\cdot \nabla )\mathbf {v} _{s}\right]=-{\frac {\rho _{s}}{\rho }}\nabla P+\rho _{s}S\nabla T}$

${\displaystyle \rho _{n}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} _{n}}{\partial t}}+(\mathbf {v} _{n}\cdot \nabla )\mathbf {v} _{n}\right]=-{\frac {\rho _{n}}{\rho }}\nabla P-\rho _{s}S\nabla T+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} _{n}}$

donde aquí está la presión, es la entropía por unidad de masa y es la viscosidad del componente del fluido normal como se indica en la tabla anterior. La primera de estas ecuaciones puede identificarse como la ecuación de conservación de la masa , mientras que la segunda ecuación puede identificarse como la conservación de la entropía. Los resultados de estas ecuaciones dan lugar a los fenómenos de segundo sonido y contraflujo térmico. A grandes velocidades, el superfluido se vuelve turbulento y aparecen líneas de vórtice; a velocidades aún mayores, tanto el fluido normal como el superfluido se vuelven turbulentos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu }$

Turbulencia clásica vs cuántica

Fig 8. Diagrama esquemático de la cascada de energía de Kolmogorov dentro de un túnel de viento. La inyección de aire se produce en el tamaño del túnel de viento. La cantidad , el número de onda de Kolmogorov, es el valor en el espacio k asociado a la escala de longitud de Kolmogorov , el punto en el que la energía cinética turbulenta se disipa en calor. ${\displaystyle k_{D}=2\pi /D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k_{\eta }}$

Los experimentos y las soluciones numéricas muestran que la turbulencia cuántica es una maraña aparentemente aleatoria de líneas de vórtice dentro de un fluido cuántico. El estudio de la turbulencia cuántica tiene como objetivo explorar dos cuestiones principales:

1. ¿Los enredos de vórtices son realmente aleatorios o contienen algunas propiedades características o estructuras organizadas?
2. ¿Cómo se compara la turbulencia cuántica con la turbulencia clásica?

Para comprender la turbulencia cuántica es útil establecer una conexión con la turbulencia de los fluidos clásicos. La turbulencia de los fluidos clásicos es un fenómeno cotidiano, que se puede observar fácilmente en el flujo de un arroyo o río, como lo hizo por primera vez Leonardo da Vinci en sus famosos bocetos. Al abrir un grifo de agua, uno nota que al principio el agua fluye de manera regular (llamado flujo laminar), pero si el grifo se abre a velocidades de flujo más altas, el flujo se adorna con protuberancias irregulares, dividiéndose de manera impredecible en múltiples. hebras mientras salpica en un torrente en constante cambio, conocido como flujo turbulento. Leonardo da Vinci observó y anotó por primera vez en sus cuadernos privados que los flujos turbulentos de fluidos clásicos incluyen áreas de fluido en circulación llamadas vórtices (o remolinos).

El caso más simple de turbulencia clásica es el de la turbulencia isotrópica homogénea (HIT) mantenida en un estado estacionario estadístico. Estas turbulencias se pueden crear dentro de un túnel de viento , por ejemplo un canal con flujo de aire impulsado por un ventilador de un lado a otro. A menudo está equipado con una malla para crear un flujo de aire turbulento. Un estado estadísticamente estable garantiza que las principales propiedades del flujo se estabilicen aunque fluctúen localmente. Debido a la presencia de viscosidad, sin el suministro continuo de energía, la turbulencia del flujo decaerá debido a las fuerzas de fricción. En el túnel de viento, la energía la proporciona constantemente el ventilador. Es útil introducir el concepto de distribución de energía en las escalas de longitud , el vector de onda y el número de onda . En una dimensión, el número de onda se puede relacionar con la longitud de onda simplemente usando . La energía total por unidad de masa está dada por ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle E_{tot}}$

${\displaystyle E_{tot}={\frac {1}{\mathcal {V}}}\int _{\mathcal {V}}{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{2}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k}$

¿Dónde está el espectro de energía , que esencialmente representa la distribución de la energía cinética turbulenta sobre los números de onda? Lewis Fry Richardson señaló de manera memorable la noción de una cascada de energía , donde tiene lugar una transferencia de energía desde vórtices de gran escala a vórtices de menor escala, que eventualmente conducen a una disipación viscosa . La disipación ocurre en las escalas de longitud de disipación (denominada escala de longitud de Kolmogorov), donde está la viscosidad cinemática. Gracias al trabajo pionero de Andrey Kolmogorov , se descubrió que el espectro de energía adopta la forma ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =(\nu ^{3}/\varepsilon )^{1/4}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}}$

¿Dónde está la tasa de disipación de energía por unidad de volumen ? La constante es una constante adimensional que toma el valor . En el espacio k el valor asociado a la escala de longitud de Kolmogorov es el número de onda de Kolmogorov , donde se produce la disipación viscosa. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle -\mathrm {d} E/\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\approx 1.5}$ ${\displaystyle k_{\eta }}$

Cascada de Kolmogorov en fluidos cuánticos

Figura 9a. Enredo de vórtices simulado numéricamente que representa la turbulencia cuántica de Kolmogorov. Las líneas finas representan líneas de vórtice dentro de un contenedor cúbico. La barra de colores ^{[7] [8]} representa la cantidad de interacción no local, es decir, la cantidad en la que una sección de la línea de vórtice se ve afectada por las otras líneas de vórtice que la rodean. (Crédito AW Baggaley)

Fig 9. Diagrama esquemático del espectro de energía de la turbulencia de Kolmogorov a temperaturas muy pequeñas. La cascada de energía está presente en escalas de longitud grandes, y se puede observar una cascada de ondas Kelvin en escalas de longitud muy pequeñas que sufre emisión de sonido. Se produce una acumulación de cuellos de botella alrededor de la escala de longitud cuántica . ^[9] ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle \ell }$

Para temperaturas lo suficientemente bajas como para que los efectos de la mecánica cuántica gobiernen el fluido, la turbulencia cuántica es una maraña aparentemente caótica de líneas de vórtice con una topología muy nudosa, que se mueven entre sí y se reconectan cuando chocan. En un superfluido puro, no existe un componente normal que transporte la entropía del sistema y por lo tanto el fluido fluye sin viscosidad, lo que resulta en la falta de una escala de disipación . De manera análoga a los fluidos clásicos, se puede introducir una escala de longitud cuántica (y el valor correspondiente en el espacio k ) reemplazando la viscosidad cinemática en la escala de longitud de Kolmogorov con el cuanto de circulación . ^[2] Para escalas mayores que , una pequeña polarización de las líneas del vórtice permite el estiramiento necesario para sostener una cascada de energía de Kolmogorov. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \ell }$

Se han realizado experimentos en helio II superfluido para crear turbulencias, que se comportan según la cascada de Kolmogorov. Un ejemplo de esto es el caso de dos hélices contrarrotativas, ^[10] donde tanto por encima como por debajo de la temperatura crítica se observó un espectro de energía de Kolmogorov que es indistinguible de los observados en la turbulencia de los fluidos clásicos. Para temperaturas más altas, la existencia del componente fluido normal conduce a la presencia de fuerzas viscosas y una eventual disipación de calor que calienta el sistema. Como consecuencia de esta fricción, los vórtices se vuelven más suaves y las ondas Kelvin que surgen debido a las reconexiones de los vórtices son más suaves que en la turbulencia cuántica de baja temperatura. La turbulencia de Kolmogorov surge en fluidos cuánticos para la entrada de energía a escalas de gran longitud, donde el espectro de energía sigue el rango inercial . Para escalas de longitud menores que , el espectro de energía sigue un régimen. ^[11] ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle k_{D}<k<k_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k^{-1}}$

Para temperaturas en el límite cero, las ondas Kelvin no amortiguadas dan como resultado que aparezcan más torceduras en las formas de los vórtices. Para escalas de longitud grandes, la turbulencia cuántica se manifiesta como una cascada de energía de Kolmogorov (las simulaciones numéricas que utilizan la ecuación de Gross-Pitaevskii ^[12] y el modelo de filamento de vórtice confirmaron este efecto ^{[13] [14]} ), seguida del espectro de energía . Al carecer de disipación térmica, es intuitivo suponer que la turbulencia cuántica en el límite de baja temperatura no decae como lo haría a temperaturas más altas; sin embargo, la evidencia experimental demostró que este no era el caso: la turbulencia cuántica decae incluso a temperaturas muy bajas. Las ondas Kelvin interactúan y crean ondas Kelvin más cortas, hasta que son lo suficientemente cortas como para permitir la emisión de sonido (fonones), lo que da como resultado la conversión de energía cinética en calor y, por tanto, la disipación de energía. Este proceso, que transfiere energía a escalas de longitud cada vez más pequeñas con números de onda mayores que los que se denominan cascada de ondas Kelvin, se desarrolla en vórtices individuales. ^{[15] [16]} Por lo tanto, la turbulencia cuántica de baja temperatura debería consistir en una doble cascada: un régimen de Kolmogorov (una cascada de remolinos) en el rango inercial , seguido de una meseta de cuello de botella, seguida de la cascada de ondas Kelvin (una cascada de ondas) que obedece a la misma ley pero con diferente origen físico. Esto es un consenso actual, pero hay que subrayar que surge únicamente de la teoría y de simulaciones numéricas: actualmente no hay evidencia experimental directa de la cascada de ondas Kelvin debido a la dificultad de observar y medir a escalas de longitud tan pequeñas. ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle k_{D}<k<k_{\ell }}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$

Turbulencia de vino

Figura 9b. Enredo de vórtices simulado numéricamente que representa la turbulencia cuántica vinen. Las líneas finas representan líneas de vórtice dentro de un contenedor cúbico. La barra de colores ^{[7] [8]} representa la cantidad de interacción no local, es decir, la cantidad en la que una sección de la línea de vórtice se ve afectada por las otras líneas de vórtice que la rodean. (Crédito AW Baggaley)

Fig 10. Diagrama esquemático del espectro de energía de la turbulencia vinen. Se puede observar un régimen para números de onda muy grandes, con el pico del espectro de energía ocurriendo en el número de onda asociado a la escala de longitud cuántica . La línea verde representa un régimen de comparación. ${\displaystyle k^{-1}}$ ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$

La turbulencia de Vinen se puede generar en un fluido cuántico mediante la inyección de anillos de vórtice en el sistema, lo que se ha observado tanto numérica como experimentalmente. También se ha observado en simulaciones numéricas de turbulento Helio II impulsado por un pequeño flujo de calor y en simulaciones numéricas de condensados ​​atómicos de Bose-Einstein atrapados; se ha encontrado incluso en estudios numéricos de modelos superfluidos del universo primitivo. ^[7] A diferencia del régimen de Kolmogorov, que parece tener una contraparte clásica, la turbulencia de Vinen no ha sido identificada en la turbulencia clásica.

La turbulencia de Vinen se produce con entradas de energía muy bajas en el sistema, lo que impide la formación de estructuras parcialmente polarizadas a gran escala que prevalecen en la turbulencia de Kolmogorov, como se muestra en la figura 9a. La polarización parcial contribuye en gran medida a la cantidad de interacciones no locales entre las líneas de vórtice, como se puede ver en la figura. En marcado contraste, la figura 9b muestra el régimen de turbulencia de Vinen, donde hay muy poca interacción no local. El espectro de energía de la turbulencia de Vinen alcanza su punto máximo en las escalas intermedias , en lugar de en escalas de gran longitud . En la Fig. 10 se puede ver que para escalas de longitud pequeñas la turbulencia sigue el comportamiento típico de un vórtice aislado. Como resultado de estas propiedades, la turbulencia de Vinen aparece como un flujo casi completamente aleatorio con una cascada de energía muy débil o insignificante. ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle k_{D}}$ ${\displaystyle k^{-1}}$

Decadencia de la turbulencia cuántica

A partir de las diferentes firmas, las turbulencias de Kolmogorov y Vinen siguen leyes de potencia relacionadas con su decadencia temporal. Para el régimen de Kolmogorov, después de eliminar el forzamiento que sostiene la turbulencia en un estado estacionario estadístico, se observa una caída de la energía y de la densidad de la línea del vórtice (definida como la longitud del vórtice por unidad de volumen). La turbulencia de Vinen decae temporalmente a un ritmo más lento que la turbulencia de Kolmogorov: la energía decae y la densidad de la línea del vórtice es . ${\displaystyle E(t)\sim t^{-2}}$ ${\displaystyle L(t)\sim t^{-3/2}}$ ${\displaystyle E(t)\sim t^{-1}}$ ${\displaystyle L(t)\sim t^{-1}}$

Turbulencia en condensados ​​atómicos.

Las simulaciones por computadora han jugado un papel particularmente importante en el desarrollo de la comprensión teórica de la turbulencia cuántica ^{[17] [18] [19]}

La turbulencia en los condensados ​​atómicos se ha estudiado muy recientemente, lo que significa que hay menos información disponible. ^{[20] [21]} Los condensados ​​atómicos turbulentos contienen un número mucho menor de vórtices en comparación con la turbulencia en el helio. Debido al pequeño tamaño de los condensados ​​atómicos típicos, no existe una gran separación a escala de longitud entre el tamaño del sistema y el tamaño entre vórtices y, por lo tanto, el espacio k está restringido. Las simulaciones numéricas sugieren que es más probable que aparezcan turbulencias en el régimen de Vinen. ^{[11] [13] [15] [22]} Los experimentos realizados en Cambridge también han encontrado la aparición de escalas de turbulencia de ondas. ^{[23] [24] [14]}

Generación y detección de turbulencias cuánticas.

Generación física de turbulencia cuántica.

Fig 11. Una maraña de vórtices simulada que representa la turbulencia cuántica en un volumen cúbico y muestra los vórtices cuantificados.

Hay una gran cantidad de métodos que se pueden utilizar para generar una maraña de vórtices (visualizada en la figura 11) en el laboratorio. Aquí se enumeran según el fluido cuántico en el que se pueden generar.

QT en helio II

• De repente arrastrando una rejilla en la muestra de fluido en reposo ^{[25] [26]}
• Mover el fluido a lo largo de tuberías o canales mediante fuelles o bombas, creando un túnel de viento superfluido (el experimento TOUPIE en Grenoble ^[27] )
• Girar una o dos hélices dentro de un contenedor; la configuración de dos hélices contrarrotativas se denomina "flujo de von Karman" (por ejemplo, el experimento SHREK en Grenoble) ^[25]
• Crear ondas de choque y cavitación mediante ultrasonidos enfocados localmente (esto permite la generación de turbulencias cuánticas lejos de los límites) ^{[28] [29]}
• Horquillas o alambres oscilantes/vibrantes ^[30]
• Aplicando un flujo de calor (también denominado "contraflujo térmico " ^[31] ): el prototipo del experimento es un canal que está abierto a un baño de helio en un extremo y el opuesto está cerrado y tiene una resistencia . Una corriente eléctrica pasa a través de la resistencia y genera calor óhmico ; el calor es transportado desde el calentador hacia el baño por el componente fluido normal, mientras que el superfluido se mueve hacia el calentador de modo que el flujo de masa neto es cero cuando el canal está cerrado. De esta manera se establece una velocidad relativa (contracorriente) de los dos componentes del fluido que es proporcional al calor aplicado. Por encima de un pequeño valor crítico de la velocidad de contracorriente se genera una maraña de vórtices turbulentos. ${\displaystyle v_{ns}=|v_{n}-v_{s}|}$
• Inyectar anillos de vórtice (los anillos se generan inyectando electrones que forman una pequeña burbuja de unos 16 Angstroms de tamaño que son acelerados por un campo eléctrico, hasta que, al superar la velocidad crítica, el anillo de vórtice se nuclea) ^[32]

QT en ³ He-B y condensados ​​atómicos

En ³ He-B, la vibración de los cables puede generar turbulencias cuánticas. ^[33] Para los condensados ​​atómicos, la turbulencia cuántica se puede generar agitando u oscilando la trampa que confina el BEC ^{[24] [23]} y imprimiendo la fase de los vórtices cuánticos.

Detección de turbulencia cuántica.

En la turbulencia clásica, normalmente se mide la velocidad, ya sea en una posición fija frente al tiempo (típico de los experimentos físicos) o al mismo tiempo en muchas posiciones (típico de las simulaciones numéricas). La turbulencia cuántica se caracteriza por una maraña desordenada de líneas de vórtice discretas (individuales).

En helio II existen técnicas para medir la densidad de las líneas de vórtice (la longitud de las líneas de vórtice por unidad de volumen en función de la detección de la segunda atenuación del sonido). La distancia promedio entre líneas de vórtice, se puede encontrar en términos de la densidad de líneas de vórtice como . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell =1/{\sqrt {L}}}$

Detección en helio II

• Medición de la atenuación de segundas ondas sonoras.
• Medición de gradientes de temperatura o presión ^[34]
• Medición de iones atrapados en los vórtices ^[35]
• Utilizar partículas trazadoras (pequeñas esferas de vidrio o plástico/bolas de nieve de hidrógeno sólido) de un tamaño del orden de una micra y luego obtener imágenes de ellas mediante láseres. Las técnicas que se pueden utilizar son PIV (velocimetría de imagen de partículas) o PTV (velocimetría de seguimiento de partículas). Más recientemente, se han utilizado moléculas excimer de helio ^{[36] [37] [38]}
• Uso de horquillas oscilantes ^[29]
• Usando voladizos ^[39]
• Usando alambres calientes criogénicos ^[40]

Detección en ³ He-B y condensados ​​atómicos.

La turbulencia cuántica se puede detectar en ³ He-B de dos maneras: resonancia magnética nuclear (RMN) ^[41] y mediante dispersión de cuasipartículas térmicas de Andreev. ^[42] Para los condensados ​​atómicos, es típico que el condensado deba expandirse (apagando el potencial de captura) para que sea lo suficientemente grande como para tomar una imagen. Este procedimiento tiene el inconveniente de que provoca la destrucción del condensado. El resultado conduce a una imagen bidimensional que permite el estudio de la turbulencia cuántica bidimensional, pero impone una restricción al estudiar la turbulencia cuántica tridimensional utilizando este método. Se han observado vórtices cuánticos individuales en 3 dimensiones, moviéndose y reconectándose mediante una técnica que extrae pequeñas fracciones del condensado a la vez, lo que permite observar una secuencia temporal de la misma configuración de vórtice.

Ver también

• Helio-4 superfluido
• Fenómenos cuánticos macroscópicos
• Vórtice cuántico
• Hidrodinámica cuántica
• Turbulencia cuántica 2D

Referencias

1. Barenghi, CF; Skrbek, L.; Sreenivasan, KR (25 de marzo de 2014). "Introducción a la turbulencia cuántica". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 111 (Suplemento 1): 4647–4652. doi : 10.1073/pnas.1400033111 . PMC  3970860 . PMID  24704870.
2. Skrbek, L.; Schmoranzer, D.; Midlik, Š.; Sreenivasan, KR (20 de abril de 2021). "Fenomenología de la turbulencia cuántica en helio superfluido". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 118 (16): e2018406118. Código Bib : 2021PNAS..11818406S. doi : 10.1073/pnas.2018406118 . ISSN  0027-8424. PMC 8072252 . PMID  33790051. 
3. Annett, JF (25 de marzo de 2004). Superconductividad, Superfluidos y Condensados. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850756-7.
4. Barenghi, CF; Parker, NG (2016). Introducción a los fluidos cuánticos. Springer Breves en Física. Cham: Editorial Internacional Springer. arXiv : 1605.09580 . Bibcode : 2016pqf..libro.....B. doi :10.1007/978-3-319-42476-7. ISBN 978-3-319-42474-3. S2CID  118543203.
5. Barenghi, CF; Donnelly, RJ (octubre de 2009). "Anillos de vórtice en sistemas clásicos y cuánticos". Investigación en dinámica de fluidos . 41 (5): 051401. doi : 10.1088/0169-5983/41/5/051401. ISSN  0169-5983. S2CID  123246632.
6. RP Feynman (1955). "Aplicación de la mecánica cuántica al helio líquido". II. Avances en Física de Bajas Temperaturas . vol. 1. Ámsterdam: Editorial de Holanda Septentrional.
7. Galantucci, L .; Barenghi, CF; Parker, NG; Baggaley, AW (6 de abril de 2021). "La helicidad de mesoescala distingue a Vinen de la turbulencia de Kolmogorov en helio-II". Revisión física B. 103 (14): 144503. arXiv : 1805.09005 . Código Bib : 2021PhRvB.103n4503G. doi : 10.1103/PhysRevB.103.144503. S2CID  234355425.
8. Sherwin-Robson, LK; Barenghi, CF; Baggaley, AW (23 de marzo de 2015). "Dinámica local y no local en turbulencia superfluida". Revisión física B. 91 (10): 104517. arXiv : 1409.1443 . Código Bib : 2015PhRvB..91j4517S. doi : 10.1103/PhysRevB.91.104517. S2CID  118650626.
9. Krstulovic, G. (9 de noviembre de 2012). "Cascada de ondas Kelvin y disipación en vórtices de superfluidos de baja temperatura". Revisión física E. 86 (5): 055301. arXiv : 1209.3210 . Código bibliográfico : 2012PhRvE..86e5301K. doi : 10.1103/PhysRevE.86.055301. PMID  23214835. S2CID  31414715.
10. Maurer, J.; Tabeling, P. (1 de julio de 1998). "Investigación local de turbulencia superfluida". EPL (Letras de Eurofísica) . 43 (1): 29. Código bibliográfico : 1998EL.....43...29M. doi :10.1209/epl/i1998-00314-9. ISSN  0295-5075. S2CID  250831521.
11. Baggaley, AW; Laurie, J.; Barenghi, CF (14 de noviembre de 2012). "Fluctuaciones de densidad de vórtices, espectros de energía y regiones vórtices en turbulencia superfluida". Cartas de revisión física . 109 (20): 205304. arXiv : 1207.7296 . Código Bib : 2012PhRvL.109t5304B. doi : 10.1103/PhysRevLett.109.205304. PMID  23215501.
12. Noré, C.; Abid, M.; Brachet, ME (19 de mayo de 1997). "Turbulencia de Kolmogorov en superflujos de baja temperatura". Cartas de revisión física . 78 (20): 3896–3899. Código bibliográfico : 1997PhRvL..78.3896N. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.3896.
13. Tsubota, M.; Araki, T.; Nemirovskii, SK (1 de noviembre de 2000). "Dinámica de maraña de vórtices sin fricción mutua en superfluido ${}^{4}\mathrm{He}$". Revisión física B. 62 (17): 11751–11762. arXiv : cond-mat/0005280 . doi : 10.1103/PhysRevB.62.11751. S2CID  118937769.
14. Araki, T.; Tsubota, M.; Nemirovskii, SK (16 de septiembre de 2002). "Espectro energético de turbulencia superfluida sin componente de fluido normal". Cartas de revisión física . 89 (14): 145301. arXiv : cond-mat/0201405 . Código bibliográfico : 2002PhRvL..89n5301A. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.145301. PMID  12366052. S2CID  39668537.
15. Kivotides, D.; Vassilicos, JC; Samuels, CC; Barenghi, CF (2 de abril de 2001). "Cascada de ondas Kelvin en turbulencia superfluida". Cartas de revisión física . 86 (14): 3080–3083. Código Bib : 2001PhRvL..86.3080K. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3080. PMID  11290112.
16. di Leoni, ordenador personal; Mininni, PD; Brachet, ME (26 de mayo de 2017). "Mecanismos de disipación y cascada dual en turbulencia cuántica helicoidal". Revisión física A. 95 (5): 053636. arXiv : 1705.03525 . Código Bib : 2017PhRvA..95e3636C. doi : 10.1103/PhysRevA.95.053636. hdl : 11336/52186 . S2CID  119217270.
17. Schwartz, KW (1983). "Velocidad crítica para una maraña de vórtices autosostenida en helio superfluido". Cartas de revisión física . 50 (5): 364. Código bibliográfico : 1983PhRvL..50..364S. doi :10.1103/PhysRevLett.50.364.
18. Aarts, RGKM y de Waele, ATAM (1994). "Investigación numérica de las propiedades de flujo del He II". Revisión física B. 50 (14): 10069–10079. Código bibliográfico : 1994PhRvB..5010069A. doi : 10.1103/PhysRevB.50.10069. PMID  9975090.
19. de Waele, ATAM y Aarts, RGKM (1994). "Ruta hacia la reconexión del vórtice". Cartas de revisión física . 72 (4): 482–485. Código bibliográfico : 1994PhRvL..72..482D. doi : 10.1103/PhysRevLett.72.482. PMID  10056444.
20. Blanco, aire acondicionado; Anderson, BP; Bagnato, VS (25 de marzo de 2014). "Vórtices y turbulencias en condensados ​​atómicos atrapados". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 111 (Suplemento_1): 4719–4726. doi : 10.1073/pnas.1312737110 . ISSN  0027-8424. PMC 3970853 . PMID  24704880. 
21. Tsatsos, MC; Tavares, PES; Cidrim, A.; Fritsch, AR; Caracanhas, MA; dos Santos, FEA; Barenghi, CF; Bagnato, VS (marzo de 2016). "Turbulencia cuántica en condensados ​​atómicos de Bose-Einstein atrapados". Informes de Física . 622 : 1–52. arXiv : 1512.05262 . Código Bib : 2016PhR...622....1T. doi :10.1016/j.physrep.2016.02.003. S2CID  55570454.
22. Cidrim, A.; Blanco, aire acondicionado; Allen, AJ; Bagnato, VS; Barenghi, CF (21 de agosto de 2017). "Turbulencia de Vinen a través de la desintegración de vórtices multicargados en condensados ​​atómicos de Bose-Einstein atrapados". Revisión física A. 96 (2): 023617. arXiv : 1704.06759 . Código bibliográfico : 2017PhRvA..96b3617C. doi : 10.1103/PhysRevA.96.023617. S2CID  119079470.
23. Navón, N.; Gaunt, AL; Smith, RP; Hadzibabic, Z. (noviembre de 2016). "Aparición de una cascada turbulenta en un gas cuántico". Naturaleza . 539 (7627): 72–75. arXiv : 1609.01271 . Código Bib :2016Natur.539...72N. doi : 10.1038/naturaleza20114. ISSN  0028-0836. PMID  27808196. S2CID  4449347.
24. Henn, EAL; Semán, JA; Roati, G.; Magalhães, KMF; Bagnato, VS (20 de julio de 2009). "Aparición de turbulencia en un condensado oscilante de Bose-Einstein". Cartas de revisión física . 103 (4): 045301. arXiv : 0904.2564 . Código bibliográfico : 2009PhRvL.103d5301H. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.045301. PMID  19659367. S2CID  25507605.
25. Smith, señor; Donnelly, RJ; Goldenfeld, N.; Vinen, WF (18 de octubre de 1993). "Decadencia de vorticidad en turbulencia homogénea". Cartas de revisión física . 71 (16): 2583–2586. Código bibliográfico : 1993PhRvL..71.2583S. doi : 10.1103/PhysRevLett.71.2583. ISSN  0031-9007. PMID  10054718.
26. Stalp, SR; Skrbek, L.; Donnelly, RJ (14 de junio de 1999). "Decadencia de la turbulencia de la red en un canal finito". Cartas de revisión física . 82 (24): 4831–4834. Código bibliográfico : 1999PhRvL..82.4831S. doi : 10.1103/PhysRevLett.82.4831.
27. Salort, J.; Baudet, C.; Castaing, B.; Chabaud, B.; Daviaud, F.; Didelot, T.; Diribarne, P.; Dubrulle, B .; Gagne, Y.; Gauthier, F.; Girard, A. (1 de diciembre de 2010). "Espectros de velocidades turbulentas en flujos superfluidos". Física de Fluidos . 22 (12): 125102–125102–9. arXiv : 1202.0643 . Código Bib : 2010PhFl...22l5102S. doi :10.1063/1.3504375. ISSN  1070-6631. S2CID  118453462.
28. Pinzón, RD; Kagiwada, R.; Barmatz, M.; Rudnick, I. (15 de junio de 1964). "Cavitación en helio líquido". Revisión física . 134 (6A): A1425 – A1428. Código bibliográfico : 1964PhRv..134.1425F. doi :10.1103/PhysRev.134.A1425. OSTI  4881344.
29. Schwarz, KW; Smith, CW (30 de marzo de 1981). "Estudio de iones pulsados ​​de turbulencia generada por ultrasonidos en 4He superfluido". Letras de Física A. 82 (5): 251–254. Código bibliográfico : 1981PhLA...82..251S. doi :10.1016/0375-9601(81)90200-0. ISSN  0375-9601.
30. Schmoranzer, D.; Král'ová, M.; Pilcová, V.; Vinen, WF; Skrbek, L. (28 de junio de 2010). "Experimentos relacionados con el flujo inducido por un diapasón de cuarzo vibrante y estructuras similares en un fluido clásico". Revisión física E. 81 (6): 066316. Código bibliográfico : 2010PhRvE..81f6316S. doi : 10.1103/PhysRevE.81.066316. ISSN  1539-3755. PMID  20866531.
31. Vinen, WF; Shoenberg, D. (24 de abril de 1957). "Fricción mutua en una corriente de calor en helio líquido II I. Experimentos sobre corrientes de calor estacionarias". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 240 (1220): 114-127. Código Bib : 1957RSPSA.240..114V. doi :10.1098/rspa.1957.0071. S2CID  94773152.
32. Walmsley, primer ministro; Golov, AI (17 de junio de 2008). "Tipos cuánticos y cuasiclásicos de turbulencia superfluida". Cartas de revisión física . 100 (24): 245301. arXiv : 0802.2444 . Código Bib : 2008PhRvL.100x5301W. doi :10.1103/PhysRevLett.100.245301. PMID  18643594. S2CID  30411193.
33. Bradley, DI; Clubb, HACER; Pescador, SN; Guénault, AM; Haley, RP; Matthews, CJ; Pickett, GR; Tsepelin, V.; Zaki, K. (23 de enero de 2006). "Desintegración de la turbulencia cuántica pura en superfluido $^{3}\mathrm{He}\mathrm{\text{\ensuremath{-}}}\mathrm{B}$". Cartas de revisión física . 96 (3): 035301. arXiv : 0706.0621 . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.035301. PMID  16486721. S2CID  9778797.
34. Walstrom, PL; Weisend II, JG; Maddocks, JR; Van Sciver, SW (1 de febrero de 1988). "Caída de presión de flujo turbulento en varios componentes del sistema de transferencia He II". Criogenia . 28 (2): 101-109. Código Bib : 1988Cryo...28..101W. doi :10.1016/0011-2275(88)90054-9. ISSN  0011-2275.
35. Milliken, FP; Schwarz, KW; Smith, CW (26 de abril de 1982). "Desintegración libre de la turbulencia superfluida". Cartas de revisión física . 48 (17): 1204-1207. Código bibliográfico : 1982PhRvL..48.1204M. doi :10.1103/PhysRevLett.48.1204.
36. Bewley, médico de cabecera; Lathrop, DP; Sreenivasan, KR (junio de 2006). "Visualización de vórtices cuantificados". Naturaleza . 441 (7093): 588. Bibcode :2006Natur.441..588B. doi : 10.1038/441588a . ISSN  1476-4687. PMID  16738652.
37. Chagovets, televisión; Van Sciver, SW (1 de octubre de 2011). "Un estudio de contraflujo térmico mediante velocimetría de seguimiento de partículas". Física de Fluidos . 23 (10): 107102–107102–5. Código bibliográfico : 2011PhFl...23j7102C. doi : 10.1063/1.3657084. ISSN  1070-6631.
38. Mantía, M. La; Duda, D.; Rotter, M.; Skrbek, L. (febrero de 2013). "Aceleraciones lagrangianas de partículas en turbulencia superfluida". Revista de mecánica de fluidos . 717 . Código Bib : 2013JFM...717R...9L. doi :10.1017/jfm.2013.31. ISSN  0022-1120. S2CID  123402428.
39. Salort, J.; Monfardini, A.; Roche, P.-E. (01 de diciembre de 2012). "Anemómetro en voladizo basado en un microresonador superconductor: Aplicación a la turbulencia de superfluidos". Revisión de Instrumentos Científicos . 83 (12): 125002–125002–6. Código Bib : 2012RScI...83l5002S. doi : 10.1063/1.4770119. ISSN  0034-6748. PMID  23278018.
40. Diribarne, P.; Thibault, P.; Roche, P. (1 de octubre de 2019). "Alambre caliente en forma de nanopartículas para anemometría de ultra alta resolución en helio criogénico". Revisión de Instrumentos Científicos . 90 (10): 105004. Código bibliográfico : 2019RScI...90j5004D. doi : 10.1063/1.5116852. ISSN  0034-6748. S2CID  209972973.
41. Finne, AP; Araki, T.; Blaauwgeers, R.; Eltsov, VB; Kopnin, NB; Krusius, M.; Skrbek, L.; Tsubota, M.; Volovik, GE (agosto de 2003). "Un criterio intrínseco independiente de la velocidad para la turbulencia superfluida". Naturaleza . 424 (6952): 1022–1025. arXiv : cond-mat/0304586 . Código Bib : 2003Natur.424.1022F. doi : 10.1038/naturaleza01880. ISSN  1476-4687. PMID  12944960. S2CID  11251284.
42. Pescador, SN; Jackson, MJ; Sergeev, YA; Tsepelin, V. (25 de marzo de 2014). "Reflexión de Andreev, una herramienta para investigar la dinámica de los vórtices y la turbulencia cuántica en 3He-B". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 111 (Suplemento 1): 4659–4666. doi : 10.1073/pnas.1312543110 . PMC 3970857 . PMID  24704872.