Torsión analítica

Invariante topológico de variedades que permite distinguir variedades homotópicamente equivalentes

En matemáticas, la torsión de Reidemeister (o R-torsión , o torsión de Reidemeister–Franz ) es un invariante topológico de variedades introducido por Kurt Reidemeister (Reidemeister 1935) para 3-variedades y generalizado a dimensiones superiores por Wolfgang Franz  (1935) y Georges de Rham  (1936). La torsión analítica (o torsión de Ray–Singer ) es un invariante de variedades de Riemann definido por Daniel B. Ray e Isadore M. Singer  (1971, 1973a, 1973b) como un análogo analítico de la torsión de Reidemeister. Jeff Cheeger  (1977, 1979) y Werner Müller  (1978) demostraron la conjetura de Ray y Singer de que la torsión de Reidemeister y la torsión analítica son la misma para las variedades riemannianas compactas.

La torsión de Reidemeister fue el primer invariante en topología algebraica que podía distinguir entre variedades cerradas que son homotópicamente equivalentes pero no homeomorfas , y por lo tanto puede verse como el nacimiento de la topología geométrica como un campo distinto. Puede usarse para clasificar espacios de lentes .

La torsión de Reidemeister está estrechamente relacionada con la torsión de Whitehead ; véase (Milnor 1966). También ha dado una importante motivación a la topología aritmética ; véase (Mazur). Para trabajos más recientes sobre torsión, véanse los libros (Turaev 2002) y (Nicolaescu 2002, 2003).

Definición de torsión analítica

Si M es una variedad riemanniana y E un fibrado vectorial sobre M , entonces hay un operador laplaciano que actúa sobre las k -formas con valores en E . Si los valores propios en las k -formas son λ _j entonces la función zeta ζ _k se define como

${\displaystyle \zeta _{k}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}$

para s grande, y esto se extiende a todos los complejos s por continuación analítica . El determinante regularizado zeta del laplaciano que actúa sobre las formas k es

${\displaystyle \Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))}$

que es formalmente el producto de los valores propios positivos del laplaciano que actúa sobre las formas k . La torsión analítica T ( M , E ) se define como

${\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.}$

Definición de torsión de Reidemeister

Sea un complejo CW finito conexo con grupo fundamental y recubrimiento universal , y sea una representación ortogonal de dimensión finita . Supóngase que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :=\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0}$

para todo n. Si fijamos una base celular para y una base ortogonal para , entonces es un complejo de cadena libre contráctil de base finita . Sea cualquier contracción de cadena de D _* , es decir para todo . Obtenemos un isomorfismo con , . Definimos la torsión de Reidemeister ${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}}$ ${\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}}$ ${\displaystyle D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,{\text{odd}}}\,D_{n}}$ ${\displaystyle D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}}$

${\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}$

donde A es la matriz de con respecto a las bases dadas. La torsión de Reidemeister es independiente de la elección de la base celular para , la base ortogonal para y la contracción de la cadena . ${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}}$ ${\displaystyle \rho (X;U)}$ ${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \gamma _{*}}$

Sea una variedad compacta y suave, y sea una representación unimodular. tiene una triangulación suave. Para cualquier elección de un volumen , obtenemos un invariante . Entonces llamamos al número real positivo torsión de Reidemeister de la variedad con respecto a y . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu \in \det H_{*}(M)}$ ${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$

Una breve historia de la torsión de Reidemeister

La torsión de Reidemeister fue utilizada por primera vez para clasificar combinatoriamente espacios de lentes tridimensionales en (Reidemeister 1935) por Reidemeister, y en espacios de dimensiones superiores por Franz. La clasificación incluye ejemplos de variedades tridimensionales equivalentes por homotopía que no son homeomorfas : en ese momento (1935) la clasificación solo alcanzaba hasta el homeomorfismo PL , pero más tarde EJ Brody (1960) demostró que, de hecho, se trataba de una clasificación hasta el homeomorfismo .

JHC Whitehead definió la "torsión" de una equivalencia de homotopía entre complejos finitos. Esta es una generalización directa del concepto de Reidemeister, Franz y de Rham; pero es un invariante más delicado. La torsión de Whitehead proporciona una herramienta clave para el estudio de variedades combinatorias o diferenciables con un grupo fundamental no trivial y está estrechamente relacionada con el concepto de "tipo de homotopía simple", véase (Milnor 1966)

En 1960, Milnor descubrió la relación de dualidad de los invariantes de torsión de las variedades y demostró que el polinomio de Alexander (retorcido) de los nudos es la torsión de Reidemeister de su complemento de nudo en . (Milnor 1962) Para cada q, la dualidad de Poincaré induce ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle P_{o}}$

${\displaystyle P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}$

y luego obtenemos

${\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).}$

En ellos juega un papel central la representación del grupo fundamental de complemento de nudos, que establece la relación entre la teoría de nudos y los invariantes de torsión.

Teorema de Cheeger-Müller

Sea una variedad de Riemann compacta orientable de dimensión n y una representación del grupo fundamental de en un espacio vectorial real de dimensión N. Entonces podemos definir el complejo de De Rham ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}$

y el adjunto formal y debido a la planitud de . Como es habitual, también obtenemos el laplaciano de Hodge en las formas p ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle E_{q}}$

${\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.}$

Suponiendo que , el Laplaciano es entonces un operador elíptico semipositivo positivo simétrico con espectro de puntos puros ${\displaystyle \partial M=0}$

${\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .}$

Como antes, podemos definir una función zeta asociada con el Laplaciano en ${\displaystyle \Delta _{q}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{q}(E)}$

${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}$

donde es la proyección de sobre el espacio del núcleo del laplaciano . Además, Seeley (1967) demostró que se extiende a una función meromórfica de la cual es holomorfa en . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L^{2}\Lambda (E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)}$ ${\displaystyle \Delta _{q}}$ ${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )}$ ${\displaystyle s\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle s=0}$

Como en el caso de una representación ortogonal, definimos la torsión analítica por ${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)}$

${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}$

En 1971, DB Ray e IM Singer conjeturaron que para cualquier representación unitaria . Esta conjetura de Ray-Singer fue finalmente demostrada, de forma independiente, por Cheeger (1977, 1979) y Müller (1978). Ambos enfoques se centran en el logaritmo de las torsiones y sus trazas. Esto es más fácil para variedades de dimensión impar que en el caso de dimensión par, lo que implica dificultades técnicas adicionales. Este teorema de Cheeger-Müller (que establece que las dos nociones de torsión son equivalentes), junto con el teorema de Atiyah-Patodi-Singer , proporcionó más tarde la base para la teoría de perturbaciones de Chern-Simons . ${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )}$ ${\displaystyle \rho }$

Posteriormente, J. M. Bismut y Weiping Zhang dieron una demostración del teorema de Cheeger-Müller para representaciones arbitrarias. Su demostración utiliza la deformación de Witten.

Referencias

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