Teoría de Iwasawa

Estudio de objetos de interés aritmético sobre infinitas torres de campos numéricos.

En teoría de números , la teoría de Iwasawa es el estudio de objetos de interés aritmético sobre infinitas torres de campos numéricos . Comenzó como una teoría del módulo de Galois de grupos de clases ideales , iniciada por Kenkichi Iwasawa  (1959) (岩澤 健吉), como parte de la teoría de campos ciclotómicos . A principios de la década de 1970, Barry Mazur consideró generalizaciones de la teoría de Iwasawa a variedades abelianas . Más recientemente (principios de la década de 1990), Ralph Greenberg propuso una teoría de Iwasawa sobre los motivos .

Formulación

Iwasawa trabajó con las llamadas extensiones: extensiones infinitas de un campo numérico con un grupo de Galois isomorfo al grupo aditivo de enteros p-ádicos para algún primo p . (Estos se llamaban extensiones en los primeros artículos. ^[1] ) Cada subgrupo cerrado de tiene la forma , según la teoría de Galois, una extensión es lo mismo que una torre de campos. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle F_{\infty }/F}$

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }}$

de modo que Iwasawa estudió los módulos clásicos de Galois haciendo preguntas sobre la estructura de los módulos. ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{\infty }.}$

De manera más general, la teoría de Iwasawa plantea preguntas sobre la estructura de los módulos de Galois sobre extensiones con el grupo de Galois y un grupo de Lie p-ádico .

Ejemplo

Sea un número primo y sea el campo generado por las raíces enésimas de la unidad. Iwasawa consideró la siguiente torre de campos numéricos: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

¿Dónde está el campo generado al unir las raíces p ^{n +1} -st de la unidad y ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

El hecho de que eso implica, según la teoría de Galois infinita, que para obtener un módulo de Galois interesante, Iwasawa tomó el grupo de clases ideal de , y sea su parte de torsión p . Siempre hay mapas de normas , y esto nos da los datos de un sistema inverso . si establecemos ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$ ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

entonces no es difícil ver en la construcción del límite inverso que es un módulo sobre. De hecho, es un módulo sobre el álgebra de Iwasawa . Este es un anillo local regular bidimensional , y esto hace posible describir módulos sobre él. A partir de esta descripción es posible recuperar información sobre la parte p del grupo de clase de ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$ ${\displaystyle K.}$

La motivación aquí es que Kummer ya había identificado la torsión p en el grupo de clases ideal de como el principal obstáculo para la demostración directa del último teorema de Fermat . ${\displaystyle K}$

Conexiones con el análisis p-ádico

Desde este comienzo en la década de 1950, se ha construido una teoría sustancial. Se notó una conexión fundamental entre la teoría del módulo y las funciones L p-ádicas que fueron definidas en la década de 1960 por Kubota y Leopoldt. Estos últimos comienzan a partir de los números de Bernoulli y utilizan la interpolación para definir análogos p-ádicos de las funciones L de Dirichlet . Quedó claro que la teoría tenía perspectivas de avanzar finalmente a partir de los resultados centenarios de Kummer sobre números primos regulares .

Iwasawa formuló la conjetura principal de la teoría de Iwasawa como una afirmación de que dos métodos para definir funciones L p-ádicas (por teoría de módulos, por interpolación) deberían coincidir, en la medida en que eso estuviera bien definido. Esto fue demostrado por Mazur y Wiles (1984) para y para todos los campos de números totalmente reales de Wiles (1990). Estas pruebas se basaron en la prueba de Ken Ribet del inverso del teorema de Herbrand (el llamado teorema de Herbrand-Ribet ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Karl Rubin encontró una prueba más elemental del teorema de Mazur-Wiles utilizando los sistemas de Euler de Kolyvagin , descritos en Lang (1990) y Washington (1997), y posteriormente demostró otras generalizaciones de la conjetura principal para campos cuadráticos imaginarios.

Generalizaciones

Se pueden variar el grupo de Galois de la torre infinita, el campo inicial y el tipo de módulo aritmético estudiado. En cada caso, existe una conjetura principal que vincula la torre con una función L p -ádica.

En 2002, Christopher Skinner y Eric Urban demostraron una conjetura principal para GL (2). En 2010, publicaron una preimpresión (Skinner & Urban 2010).

Ver también

• Teorema de Ferrero-Washington
• Módulo Tate de un campo numérico.

Referencias

Fuentes

• Coates, J .; Sujatha, R. (2006), Campos ciclotómicos y valores Zeta , Monografías de Springer en Matemáticas, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl  1100.11002
• Greenberg, Ralph (2001), "Teoría de Iwasawa --- pasado y presente", en Miyake, Katsuya (ed.), Teoría de campos de clases --- su centenario y perspectiva (Tokio, 1998) , Adv. Semental. Matemáticas puras, vol. 30, Tokio: Matemáticas. Soc. Japón, págs. 335–385, ISBN 978-4-931469-11-2, SEÑOR  1846466, Zbl  0998.11054
• Iwasawa, Kenkichi (1959), "Sobre Γ-extensiones de campos numéricos algebraicos", Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN  0002 -9904, señor  0124316, Zbl  0089.02402
• Kato, Kazuya (2007), "Teoría y generalizaciones de Iwasawa" (PDF) , en Sanz-Solé, Marta ; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (eds.), Congreso Internacional de Matemáticos. vol. Yo , Eur. Matemáticas. Soc., Zúrich, págs. 335–357, doi :10.4171/022-1/14, ISBN 978-3-03719-022-7, MR  2334196, archivado desde el original (PDF) el 22 de septiembre de 2017 , consultado el 8 de mayo de 2011
• Lang, Serge (1990), Campos ciclotómicos I y II, Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 121, con un apéndice de Karl Rubin (segunda ed. combinada), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl  0704.11038
• Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Campos de clase de extensiones abelianas de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, Bibcode :1984InMat..76..179M, doi :10.1007/BF01388599, ISSN  0020-9910, Señor  0742853, S2CID  122576427, Zbl  0545.12005
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2008), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323 (Segunda ed.), Berlín: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4, SEÑOR  2392026, Zbl  1136.11001
• Rubin, Karl (1991), "Las 'principales conjeturas' de la teoría de Iwasawa para campos cuadráticos imaginarios", Inventiones Mathematicae , 103 (1): 25–68, Bibcode :1991InMat.103...25R, doi :10.1007/BF01239508, ISSN  0020-9910, S2CID  120179735, Zbl  0737.11030
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), Las principales conjeturas de Iwasawa para GL2 (PDF) , p. 219
• Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos, Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 83 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
• Wiles, Andrew (1990), "La conjetura de Iwasawa para campos totalmente reales", Annals of Mathematics , 131 (3): 493–540, doi :10.2307/1971468, JSTOR  1971468, Zbl  0719.11071.

Citas

1. Greenberg, Ralph. «Recuerdos del profesor Iwasawa» . Consultado el 25 de septiembre de 2021 .

Otras lecturas

• de Shalit, Ehud (1987), Teoría de Iwasawa de curvas elípticas con multiplicación compleja. Funciones p -ádicas L , Perspectivas en Matemáticas, vol. 3, Boston, etc.: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl  0674.12004

enlaces externos

• "Teoría de Iwasawa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]