En matemáticas, el álgebra de Iwasawa Λ( G ) de un grupo profinito G es una variación del anillo de grupo de G con coeficientes p -ádicos que tienen en cuenta la topología de G. Más precisamente, Λ( G ) es el límite inverso de los anillos de grupo Z p ( G / H ) cuando H pasa por los subgrupos normales abiertos de G . Las álgebras de Iwasawa conmutativas fueron introducidas por Iwasawa (1959) en su estudio de las extensiones Z p en la teoría de Iwasawa , y las álgebras de Iwasawa no conmutativas de grupos analíticos p -ádicos compactos fueron introducidas por Lazard (1965).
En el caso especial en que el grupo profinito G es isomorfo al grupo aditivo del anillo de números enteros p -ádicos Z p , el álgebra de Iwasawa Λ( G ) es isomorfa al anillo de la serie de potencias formales Z p [[ T ]] en una variable sobre Z p . El isomorfismo se da identificando 1 + T con un generador topológico de G . Este anillo es un anillo local regular noetheriano completo bidimensional y, en particular, un dominio de factorización único .
Del teorema de preparación de Weierstrass para series de potencias formales sobre un anillo local completo se deduce que los ideales primos de este anillo son los siguientes:
El rango de un módulo finitamente generado es el número de veces que el módulo Z p [[ T ]] aparece en él. Esto está bien definido y es aditivo para secuencias exactas cortas de módulos finitamente generados. El rango de un módulo finitamente generado es cero si y solo si el módulo es un módulo de torsión, lo que sucede si y solo si el soporte tiene dimensión como máximo 1.
Muchos de los módulos sobre esta álgebra que aparecen en la teoría de Iwasawa son módulos de torsión finitamente generados. La estructura de dichos módulos puede describirse de la siguiente manera. Un cuasi-isomorfismo de módulos es un homomorfismo cuyo núcleo y co-núcleo son ambos grupos finitos, en otras palabras, módulos con soporte vacío o el ideal primo de altura 2. Para cualquier módulo de torsión finitamente generado hay un cuasi-isomorfismo a una suma finita de módulos de la forma Z p [[ T ]]/( f n ) donde f es un generador de un ideal primo de altura 1. Además, el número de veces que aparece cualquier módulo Z p [[ T ]]/( f ) en el módulo está bien definido e independiente de la serie de composición. Por lo tanto, el módulo de torsión tiene una serie de potencias característica , una serie de potencias formal dada por el producto de la serie de potencias f n , que está definida de forma única hasta la multiplicación por una unidad. El ideal generado por la serie de potencias característica se denomina ideal característico del módulo de Iwasawa. De manera más general, cualquier generador del ideal característico se denomina serie de potencia característica.
El μ-invariante de un módulo de torsión finitamente generado es el número de veces que el módulo Z p [[ T ]]/( p ) aparece en él. Este invariante es aditivo en secuencias exactas cortas de módulos de torsión finitamente generados (aunque no es aditivo en secuencias exactas cortas de módulos finitamente generados). Se anula si y solo si el módulo de torsión finitamente generado se genera finitamente como un módulo sobre el subanillo Z p . El λ-invariante es la suma de los grados de los polinomios distinguidos que aparecen. En otras palabras, si el módulo es pseudoisomorfo a
donde f j son polinomios distinguidos, entonces
y
En términos de la serie de potencias características, el μ-invariante es el mínimo de las valoraciones ( p -ádicas) de los coeficientes y el λ-invariante es la potencia de T en la que ese mínimo ocurre por primera vez.
Si el rango, el invariante μ y el invariante λ de un módulo finitamente generado se anulan, el módulo es finito (y viceversa); en otras palabras, su grupo abeliano subyacente es un p -grupo abeliano finito. Estos son los módulos finitamente generados cuyo soporte tiene dimensión como máximo 0. Dichos módulos son artinianos y tienen una longitud bien definida, que es finita y aditiva en secuencias exactas cortas.
Escriba ν n para el elemento 1+γ+γ 2 +...+γ p n –1 donde γ es un generador topológico de Γ. Iwasawa (1959) demostró que si X es un módulo de torsión finitamente generado sobre el álgebra de Iwasawa y X /ν n X tiene orden p e n entonces
para n suficientemente grande, donde μ, λ y c dependen solo de X y no de n . El argumento original de Iwasawa era ad hoc, y Serre (1958) señaló que el resultado de Iwasawa podía deducirse a partir de resultados estándar sobre la estructura de módulos sobre anillos noetherianos integralmente cerrados como el álgebra de Iwasawa.
En particular, esto se aplica al caso en que e n es la mayor potencia de p que divide el orden del grupo de clases ideal del campo ciclotómico generado por las raíces de la unidad de orden p n +1 . El teorema de Ferrero-Washington establece que μ=0 en este caso.
Las álgebras de Iwasawa más generales son de la forma
donde G es un grupo de Lie p -ádico compacto. El caso anterior corresponde a . Una clasificación de módulos hasta el pseudoisomorfismo es posible en el caso [1]
Para G no conmutativo , los módulos se clasifican hasta los llamados módulos pseudonulos. [2]
![{\displaystyle \bigoplus _{i}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(p^{\mu _{i}})\oplus \bigoplus _{j}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(f_{j}^{m_{j}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e346a9f9e913908518a469476a4ec63921fbdfe)
![{\displaystyle \Lambda (G):=\varprojlim _{H}\mathbf {Z} _{p}[G/H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd197090cbed7863bc4e4658868a577b70fa876)
