Divergencia de la suma de los recíprocos de los primos

Theorem in number theory

La suma de los recíprocos de los primos crece sin límite. El eje x está en escala logarítmica, lo que muestra que la divergencia es muy lenta. La función roja es un límite inferior que también diverge.

La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge ; es decir:

$${\displaystyle \sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty }$$

Esto fue demostrado por Leonhard Euler en 1737, ^[1] y refuerza el resultado de Euclides del siglo III a. C. de que hay infinitos números primos y la prueba de Nicole Oresme del siglo XIV de la divergencia de la suma de los recíprocos de los números enteros (serie armónica) .

Existen diversas pruebas del resultado de Euler, incluida una cota inferior para las sumas parciales que establece que para todos los números naturales n . El logaritmo natural doble ( log log ) indica que la divergencia podría ser muy lenta, lo que de hecho es el caso. Véase constante de Meissel-Mertens . $${\displaystyle \sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \log \log(n+1)-\log {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

La serie armónica

En primer lugar, describiremos cómo Euler descubrió originalmente el resultado. Estaba considerando la serie armónica $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty }$$

Ya había utilizado la siguiente " fórmula del producto " para demostrar la existencia de infinitos números primos.

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}}$$

Aquí se toma el producto del conjunto de todos los números primos.

Estos productos infinitos se denominan hoy productos de Euler . El producto anterior es un reflejo del teorema fundamental de la aritmética . Euler observó que si solo hubiera un número finito de primos, entonces el producto de la derecha convergería claramente, contradiciendo la divergencia de la serie armónica.

Pruebas

Prueba de Euler

La prueba de Euler funciona tomando primero el logaritmo natural de cada lado y luego utilizando la expansión de la serie de Taylor para log x así como la suma de una serie convergente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\log \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\\[5pt]&=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=A+{\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\[5pt]&=A+K\end{aligned}}}$$

para una constante fija K < 1 . Entonces, utilizando la siguiente relación:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\log \infty ,}$$

de los cuales, como se muestra en un trabajo posterior de 1748, ^[2] el lado derecho se puede obtener fijando x = 1 en la expansión de la serie de Taylor

$${\displaystyle \log \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}.}$$

De este modo, $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\log \log \infty .}$$

Es casi seguro que Euler quiso decir que la suma de los recíprocos de los primos menores que n es asintótica a log log n cuando n tiende al infinito. Resulta que esto es así, y una versión más precisa de este hecho fue rigurosamente demostrada por Franz Mertens en 1874. ^[3] De este modo, Euler obtuvo un resultado correcto por medios cuestionables.

Prueba de Erdös mediante estimaciones superiores e inferiores

La siguiente prueba por contradicción proviene de Paul Erdős .

Sea p _i el i- ésimo número primo. Supongamos que la suma de los recíprocos de los primos converge .

Entonces existe un entero positivo más pequeño k tal que

$${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)}$$

Para un entero positivo x , sea M _x el conjunto de aquellos n en {1, 2, ..., x } que no son divisibles por ningún primo mayor que p _k (o equivalentemente todos los n ≤ x que son un producto de potencias de primos p _i ≤ p _k ). Ahora derivaremos una estimación superior y una estimación inferior para | M _x | , el número de elementos en M _x . Para  x grandes , estos límites resultarán contradictorios.

Estimación superior

Cada n en M _x se puede escribir como n = m ² r con enteros positivos m y r , donde r es libre de cuadrados . Dado que solo los k primos p ₁ , ..., p _k pueden aparecer (con exponente 1) en la factorización prima de  r , hay como máximo 2 ^k posibilidades diferentes para  r . Además, hay como máximo √ x valores posibles para  m . Esto nos da la estimación superior $${\displaystyle |M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)}$$

Estimación más baja

Los restantes x  − | M _x | números en el conjunto diferencia {1, 2, ..., x } \ M _x son todos divisibles por un primo mayor que p _k . Sea N _{i , x} el conjunto de aquellos n en {1, 2, ..., x } que son divisibles por el i ésimo primo p _i . Entonces $${\displaystyle \{1,2,\ldots ,x\}\setminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x}}$$

Dado que el número de números enteros en N _{i , x} es como máximo ⁠incógnita/yo_​⁠ (en realidad cero para p _i > x ), obtenemos $${\displaystyle x-|M_{x}|\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}}$$

Usando (1), esto implica $${\displaystyle {\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)}$$

Esto produce una contradicción: cuando x ≥ 2 ^{2 k + 2} , las estimaciones (2) y (3) no pueden ser válidas, porque ⁠incógnita/2⁠ ≥ 2 ^k √ x .

Prueba de que la serie exhibe crecimiento logarítmico

Aquí hay otra prueba que en realidad da una estimación más baja para las sumas parciales; en particular, muestra que estas sumas crecen al menos tan rápido como log log n . La prueba se debe a Ivan Niven, ^[4] adaptado de la idea de expansión del producto de Euler . En lo que sigue, una suma o producto tomado sobre p siempre representa una suma o producto tomado sobre un conjunto específico de primos.

La prueba se basa en las cuatro desigualdades siguientes:

• Todo entero positivo i puede expresarse de forma única como el producto de un entero libre de cuadrados y un cuadrado como consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Comience con donde los β son 0 (la potencia correspondiente del primo q es par) o 1 (la potencia correspondiente del primo q es impar). Factorice una copia de todos los primos cuyo β es 1, dejando un producto de primos a potencias pares, en sí mismo un cuadrado. Reetiquetado: donde el primer factor, un producto de primos a la primera potencia, es libre de cuadrados. Invirtiendo todos los i se obtiene la desigualdad $${\displaystyle i=q_{1}^{2{\alpha }_{1}+{\beta }_{1}}\cdot q_{2}^{2{\alpha }_{2}+{\beta }_{2}}\cdots q_{r}^{2{\alpha }_{r}+{\beta }_{r}},}$$ $${\displaystyle i=(p_{1}p_{2}\cdots p_{s})\cdot b^{2},}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leq \left(\prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)=A\cdot B.}$$

Para ver esto, note que y Es decir, es uno de los sumandos en el producto desarrollado A . Y como es uno de los sumandos de B , cada sumando está representado en uno de los términos de AB cuando se multiplica. La desigualdad se deduce. $${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{p_{1}p_{2}\cdots p_{s}}}\cdot {\frac {1}{b^{2}}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{p_{2}}}\right)\ldots \left(1+{\frac {1}{p_{s}}}\right)&=\left({\frac {1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {1}{p_{s}}}\right)+\ldots \\&={\frac {1}{p_{1}p_{2}\cdots p_{s}}}+\ldots .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1/(p_{1}p_{2}\cdots p_{s})}$ ${\displaystyle 1/b^{2}}$ ${\displaystyle 1/i}$

• La estimación superior para el logaritmo natural $${\displaystyle {\begin{aligned}\log(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i}}}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}}$$
• La estimación inferior 1 + x < exp( x ) para la función exponencial , que es válida para todos los x > 0 .
• Sea n ≥ 2. El límite superior (usando una suma telescópica ) para las sumas parciales (la convergencia es todo lo que realmente necesitamos) $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n}\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2}}}}\right)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4}}}}\,>\,{\frac {1}{k^{2}}}}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3}}\end{aligned}}}$$

Combinando todas estas desigualdades, vemos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\log(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}\exp \left({\frac {1}{p}}\right)\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}}$$

Dividiendo por ⁠5/3⁠ y tomando el logaritmo natural de ambos lados da $${\displaystyle \log \log(n+1)-\log {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}}$$

como desee.  QED

Usando

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

(ver el problema de Basilea ), el logaritmo constante anterior5/3⁠ = 0,51082... se puede mejorar a logaritmo ⁠π2^​/6⁠ = 0,4977... ; de hecho resulta que $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=M}$$

donde M = 0,261497... es la constante de Meissel-Mertens (algo análoga a la mucho más famosa constante de Euler-Mascheroni ).

Prueba de la desigualdad de Dusart

De la desigualdad de Dusart , obtenemos $${\displaystyle p_{n}<n\log n+n\log \log n\quad {\mbox{for }}n\geq 6}$$

Luego, mediante la prueba integral de convergencia , se demuestra que la serie de la izquierda diverge. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\log n+n\log \log n}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\log n}}=\infty \end{aligned}}}$$

Demostración geométrica y de series armónicas

La siguiente prueba es una modificación de James A. Clarkson . ^[5]

Definir la cola k -ésima

$${\displaystyle x_{k}=\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}.}$$

Entonces, para , la expansión de contiene al menos un término para cada recíproco de un entero positivo con factores primos exactos (contando multiplicidades) solo del conjunto . Se deduce que la serie geométrica contiene al menos un término para cada recíproco de un entero positivo no divisible por ningún . Pero como siempre satisface este criterio, ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle (x_{k})^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{p_{k+1},p_{k+2},\cdots \}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }(x_{k})^{i}}$ ${\displaystyle p_{n},n\leq k}$ ${\displaystyle 1+j(p_{1}p_{2}\cdots p_{k})}$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(x_{k})^{i}>\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{1+j(p_{1}p_{2}\cdots p_{k})}}>{\frac {1}{1+p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j}}=\infty }$$

por la divergencia de la serie armónica . Esto demuestra que para todo , y puesto que las colas de una serie convergente deben converger a cero, esto demuestra la divergencia. ${\displaystyle x_{k}\geq 1}$ ${\displaystyle k}$

Sumas parciales

Aunque las sumas parciales de los recíprocos de los números primos eventualmente exceden cualquier valor entero, nunca son iguales a un número entero.

Una prueba ^[6] es por inducción: La primera suma parcial es ⁠1/2⁠ , que tiene la forma ⁠extraño/incluso⁠ . Si la n- ésima suma parcial (para n ≥ 1 ) tiene la forma ⁠extraño/incluso⁠ , entonces la ( n + 1) suma es

$${\displaystyle {\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text{even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}}$$

como el ( n + 1) º primo p _{n + 1} es impar; ya que esta suma también tiene un ⁠extraño/incluso⁠ forma, esta suma parcial no puede ser un número entero (porque 2 divide al denominador pero no al numerador), y la inducción continúa.

Otra prueba reescribe la expresión para la suma de los primeros n recíprocos de los primos (o, de hecho, la suma de los recíprocos de cualquier conjunto de primos) en términos del mínimo común denominador , que es el producto de todos estos primos. Entonces, cada uno de estos primos divide a todos menos uno de los términos del numerador y, por lo tanto, no divide al numerador en sí; pero cada primo divide al denominador. Por lo tanto, la expresión es irreducible y no es entera.

Véase también

• Teorema de Euclides que dice que hay infinitos números primos
• Conjunto pequeño (combinatoria)
• Teorema de Brun , sobre la suma convergente de los recíprocos de los primos gemelos
• Lista de sumas de recíprocos

Referencias

1. Euler, Leonhard (1737). "Variae observaciones circa series infinitas" [Observaciones varias sobre series infinitas]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 9 : 160–188.
2. Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum . Tomus Primus [ Introducción al análisis infinito. Volumen I ]. Lausana: Bousquet. pag. 228, ej. 1.
3. Mertens, F. (1874). "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie". J. Reina Angew. Matemáticas. 78 : 46–62.
4. Niven, Ivan, "Una prueba de la divergencia de Σ 1/ p ", The American Mathematical Monthly , vol. 78, n.º 3 (marzo de 1971), pp. 272-273. La prueba de media página está ampliada por William Dunham en Euler: The Master of Us All , pp. 74-76.
5. Clarkson, James (1966). "Sobre la serie de recíprocos primos" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 17 : 541.
6. Lord, Nick (2015). "Pruebas rápidas de que ciertas sumas de fracciones no son números enteros". The Mathematical Gazette . 99 : 128–130. doi :10.1017/mag.2014.16. S2CID  123890989.

Fuentes

• Dunham, William (1999). Euler: el maestro de todos nosotros . MAA . Págs. 61–79. ISBN. 0-88385-328-0.

Enlaces externos

• Caldwell, Chris K. "Hay infinitos números primos, pero ¿qué tan grande debe ser ese infinito?".