La sacudida (también conocida como sacudida ) es la tasa de cambio de la aceleración de un objeto a lo largo del tiempo. Es una cantidad vectorial (que tiene magnitud y dirección). La sacudida se denota más comúnmente con el símbolo j y se expresa en m/s 3 ( unidades SI ) o gravedades estándar por segundo ( g 0 /s).
Como vector, el tirón j se puede expresar como la primera derivada de la aceleración , la segunda derivada de la velocidad y la tercera derivada de la posición :
j ( t ) = re a ( t ) re t = re 2 v ( t ) re t 2 = re 3 r ( t ) re t 3 {\displaystyle \mathbf {j} (t)={\frac {\mathrm {d} \ mathbf {a} (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t^{2 }}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{3}}}}
Dónde:
Las ecuaciones diferenciales de tercer orden de la forma a veces se denominan ecuaciones de tirón . Cuando se convierten a un sistema equivalente de tres ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias de primer orden , las ecuaciones de sacudida son la configuración mínima para soluciones que muestran un comportamiento caótico . Esta condición genera interés matemático en los sistemas idiotas . En consecuencia, los sistemas que involucran derivadas de cuarto orden o superiores se denominan sistemas hiperjerk . [1]
La posición del cuerpo humano se controla equilibrando las fuerzas de los músculos antagonistas . Al equilibrar una fuerza determinada, como sostener un peso, la circunvolución poscentral establece un circuito de control para lograr el equilibrio deseado . Si la fuerza cambia demasiado rápido, los músculos no pueden relajarse o tensarse lo suficientemente rápido y se sobrepasan en cualquier dirección, provocando una pérdida temporal de control. El tiempo de reacción para responder a los cambios de fuerza depende de las limitaciones fisiológicas y del nivel de atención del cerebro: un cambio esperado se estabilizará más rápidamente que una disminución o un aumento repentino de la carga.
Para evitar que los pasajeros del vehículo pierdan el control sobre el movimiento del cuerpo y se lesionen, es necesario limitar la exposición tanto a la fuerza máxima (aceleración) como a la sacudida máxima, ya que se necesita tiempo para ajustar la tensión muscular y adaptarse incluso a cambios de estrés limitados. Los cambios bruscos de aceleración pueden provocar lesiones como el latigazo cervical . [2] Una sacudida excesiva también puede provocar una conducción incómoda, incluso en niveles que no causen lesiones. Los ingenieros dedican un esfuerzo de diseño considerable a minimizar los "movimientos bruscos" en ascensores , tranvías y otros medios de transporte.
Por ejemplo, considere los efectos de la aceleración y la sacudida cuando se viaja en un automóvil:
Para una masa constante m , la aceleración a es directamente proporcional a la fuerza F según la segunda ley del movimiento de Newton : F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
En la mecánica clásica de cuerpos rígidos, no existen fuerzas asociadas con las derivadas de la aceleración; sin embargo, los sistemas físicos experimentan oscilaciones y deformaciones como resultado de las sacudidas. Al diseñar el Telescopio Espacial Hubble , la NASA estableció límites tanto para la sacudida como para el rebote . [3]
La fuerza de Abraham-Lorentz es la fuerza de retroceso sobre una partícula cargada que se acelera y emite radiación. Esta fuerza es proporcional al tirón de la partícula y al cuadrado de su carga . La teoría del absorbente de Wheeler-Feynman es una teoría más avanzada, aplicable en un entorno relativista y cuántico, y que tiene en cuenta la autoenergía .
Las discontinuidades en la aceleración no ocurren en entornos del mundo real debido a la deformación , los efectos de la mecánica cuántica y otras causas. Sin embargo, una discontinuidad de salto en la aceleración y, en consecuencia, una sacudida ilimitada son factibles en un entorno idealizado, como una masa puntual idealizada que se mueve a lo largo de una trayectoria enteramente continua y suave por partes . La discontinuidad del salto ocurre en puntos donde el camino no es suave. Extrapolando a partir de estos entornos idealizados, se pueden describir, explicar y predecir cualitativamente los efectos del tirón en situaciones reales.
La discontinuidad del salto en la aceleración se puede modelar utilizando una función delta de Dirac en tirón, escalada a la altura del salto. La integración del tirón a lo largo del tiempo a través del delta de Dirac produce la discontinuidad del salto.
Por ejemplo, considere un camino a lo largo de un arco de radio r , que se conecta tangencialmente a una línea recta. Todo el camino es continuo y sus piezas son lisas. Ahora supongamos que una partícula puntual se mueve con rapidez constante a lo largo de esta trayectoria, por lo que su aceleración tangencial es cero. La aceleración centrípeta dada por v 2/r es normal al arco y hacia adentro. Cuando la partícula pasa por la conexión de piezas, experimenta una discontinuidad de salto en la aceleración dada por v 2/r , y sufre una sacudida que puede modelarse mediante un delta de Dirac, escalado a la discontinuidad del salto.
Para ver un ejemplo más tangible de aceleración discontinua, considere un sistema resorte-masa ideal con la masa oscilando sobre una superficie idealizada con fricción. La fuerza sobre la masa es igual a la suma vectorial de la fuerza del resorte y la fuerza de fricción cinética . Cuando la velocidad cambia de signo (en los desplazamientos máximo y mínimo ), la magnitud de la fuerza sobre la masa cambia en el doble de la magnitud de la fuerza de fricción, porque la fuerza del resorte es continua y la fuerza de fricción invierte la dirección con la velocidad. El salto de aceleración es igual a la fuerza sobre la masa dividida por la masa. Es decir, cada vez que la masa pasa por un desplazamiento mínimo o máximo, la masa experimenta una aceleración discontinua y el tirón contiene un delta de Dirac hasta que la masa se detiene. La fuerza de fricción estática se adapta a la fuerza residual del resorte, estableciendo un equilibrio con fuerza neta cero y velocidad cero.
Consideremos el ejemplo de un automóvil que frena y desacelera. Las pastillas de freno generan fuerzas de fricción cinéticas y pares de frenado constantes en los discos (o tambores ) de las ruedas. La velocidad de rotación disminuye linealmente hasta cero con una desaceleración angular constante. La fuerza de fricción, el par y la desaceleración del automóvil llegan repentinamente a cero, lo que indica un delta de Dirac en la sacudida física. El delta de Dirac es suavizado por el entorno real, cuyos efectos acumulativos son análogos a la amortiguación de la sacudida fisiológicamente percibida. Este ejemplo ignora los efectos del deslizamiento de los neumáticos, el hundimiento de la suspensión, la deflexión real de todos los mecanismos idealmente rígidos, etc.
Otro ejemplo de tirón significativo, análogo al primero, es el corte de una cuerda con una partícula en su extremo. Suponga que la partícula oscila en una trayectoria circular con aceleración centrípeta distinta de cero. Cuando se corta la cuerda, la trayectoria de la partícula cambia abruptamente a una trayectoria recta y la fuerza en dirección hacia adentro cambia repentinamente a cero. Imaginemos una fibra monomolecular cortada por un láser; la partícula experimentaría tasas de sacudidas muy altas debido al tiempo de corte extremadamente corto.
Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo en un sistema de referencia inercial . Si su posición angular en función del tiempo es θ ( t ) , la velocidad angular, la aceleración y la sacudida se pueden expresar de la siguiente manera:
La aceleración angular es igual al par que actúa sobre el cuerpo, dividido por el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación momentáneo. Un cambio en el par da como resultado una sacudida angular.
El caso general de un cuerpo rígido giratorio se puede modelar utilizando la teoría cinemática de tornillo , que incluye un vector axial , velocidad angular Ω ( t ) , y un vector polar , velocidad lineal v ( t ) . A partir de esto, la aceleración angular se define como
y el tirón angular está dado por
tomando la aceleración angular de Aceleración angular#Partícula en tres dimensiones como , obtenemos
reemplazando podemos tener el último elemento como y finalmente obtenemos
o viceversa, reemplazando con :
Por ejemplo, considere una unidad de Ginebra , un dispositivo utilizado para crear una rotación intermitente de una rueda motriz (la rueda azul en la animación) mediante la rotación continua de una rueda motriz (la rueda roja en la animación). Durante un ciclo de la rueda motriz, la posición angular θ de la rueda motriz cambia 90 grados y luego permanece constante. Debido al espesor finito de la horquilla de la rueda motriz (la ranura para el pasador motriz), este dispositivo genera una discontinuidad en la aceleración angular α y un tirón angular ilimitado ζ en la rueda motriz.
Jerk no impide que la unidad Geneva se utilice en aplicaciones como proyectores de películas y cámaras . En los proyectores de películas, la película avanza fotograma a fotograma, pero el funcionamiento del proyector tiene poco ruido y es muy fiable debido a la baja carga de película (sólo se impulsa una pequeña sección de película que pesa unos pocos gramos), la velocidad moderada (2,4 m/s), y la baja fricción.
Con los sistemas de transmisión por levas , el uso de una leva doble puede evitar la sacudida de una sola leva; sin embargo, la cámara dual es más voluminosa y cara. El sistema de doble leva tiene dos levas en un eje que desplazan un segundo eje en una fracción de revolución. El gráfico muestra transmisiones escalonadas de un sexto y un tercio de rotación por revolución del eje motriz. No hay juego radial porque dos brazos de la rueda escalonada están siempre en contacto con la doble leva. Generalmente, se pueden usar contactos combinados para evitar la sacudida (y el desgaste y el ruido) asociados con un solo seguidor (como un solo seguidor que se desliza a lo largo de una ranura y cambia su punto de contacto de un lado de la ranura al otro se puede evitar utilizando dos seguidores deslizándose por la misma ranura, de un lado cada uno).
Una masa elásticamente deformable se deforma bajo una fuerza aplicada (o aceleración); la deformación es función de su rigidez y de la magnitud de la fuerza. Si el cambio de fuerza es lento, la sacudida es pequeña y la propagación de la deformación se considera instantánea en comparación con el cambio de aceleración. El cuerpo distorsionado actúa como si estuviera en un régimen cuasiestático , y sólo una fuerza cambiante (sacudida distinta de cero) puede provocar la propagación de ondas mecánicas (u ondas electromagnéticas para una partícula cargada); por lo tanto, para sacudidas distintas de cero a altas, se debe considerar una onda de choque y su propagación a través del cuerpo.
La propagación de la deformación se muestra en el gráfico "Patrones de ondas de compresión" como una onda plana de compresión a través de un material elásticamente deformable. También se muestran, para la sacudida angular, las ondas de deformación que se propagan en un patrón circular, lo que provoca un esfuerzo cortante y posiblemente otros modos de vibración . El reflejo de las ondas a lo largo de los límites provoca patrones de interferencia constructiva (no representados), produciendo tensiones que pueden exceder los límites del material. Las ondas de deformación pueden provocar vibraciones, lo que puede provocar ruido, desgaste y fallos, especialmente en casos de resonancia.
El gráfico titulado "Poste con parte superior masiva" muestra un bloque conectado a un poste elástico y una parte superior masiva. El poste se dobla cuando el bloque acelera, y cuando la aceleración se detiene, la parte superior oscilará ( amortiguada ) bajo el régimen de rigidez del poste. Se podría argumentar que una sacudida (periódica) mayor podría provocar una amplitud de oscilación mayor porque las oscilaciones pequeñas se amortiguan antes del refuerzo mediante una onda de choque. También se puede argumentar que una sacudida mayor podría aumentar la probabilidad de excitar un modo resonante porque los componentes de onda más grandes de la onda de choque tienen frecuencias y coeficientes de Fourier más altos .
Para reducir la amplitud de las ondas de tensión y vibraciones excitadas, se pueden limitar las sacudidas dando forma al movimiento y haciendo que la aceleración sea continua con pendientes lo más planas posible. Debido a las limitaciones de los modelos abstractos, los algoritmos para reducir las vibraciones incluyen derivadas más altas, como el rebote , o sugieren regímenes continuos tanto para la aceleración como para la sacudida. Un concepto para limitar la sacudida es dar forma a la aceleración y desaceleración de forma sinusoidal con aceleración cero en el medio (consulte el gráfico titulado "Perfil de aceleración sinusoidal"), haciendo que la velocidad parezca sinusoidal con una velocidad máxima constante. El tirón, sin embargo, seguirá siendo discontinuo en los puntos donde la aceleración entra y sale de las fases cero.
Las carreteras y vías están diseñadas para limitar las sacudidas provocadas por los cambios en su curvatura. Los estándares de diseño para trenes de alta velocidad varían de 0,2 m/s 3 a 0,6 m/s 3 . [4] Las curvas de transición de pista limitan la sacudida al pasar de una línea recta a una curva, o viceversa. Recuerde que en un movimiento con rapidez constante a lo largo de un arco, la aceleración es cero en la dirección tangencial y distinta de cero en la dirección normal hacia adentro. Las curvas de transición aumentan gradualmente la curvatura y, en consecuencia, la aceleración centrípeta.
Una espiral de Euler , la curva de transición teóricamente óptima, aumenta linealmente la aceleración centrípeta y produce una sacudida constante (ver gráfico). En aplicaciones del mundo real, el plano de la vía está inclinado ( cant ) a lo largo de las secciones curvas. La pendiente provoca aceleración vertical, que es una consideración de diseño para el desgaste de la vía y el terraplén. La Wiener Kurve (curva vienesa) es una curva patentada diseñada para minimizar este desgaste. [5] [6]
Las montañas rusas [2] también están diseñadas con transiciones de vías para limitar las sacudidas. Al entrar en un bucle, los valores de aceleración pueden alcanzar alrededor de 4 g (40 m/s 2 ), y circular en este entorno de alta aceleración sólo es posible en las transiciones de pista. Las curvas en forma de S, como las en forma de ocho, también utilizan transiciones de pista para un recorrido suave.
En el control de movimiento , el diseño se centra en el movimiento lineal y recto, con la necesidad de mover un sistema de una posición estable a otra (movimiento punto a punto). La preocupación de diseño desde la perspectiva del tirón es el tirón vertical; la sacudida de la aceleración tangencial es efectivamente cero ya que el movimiento lineal no es rotacional.
Las aplicaciones de control de movimiento incluyen ascensores de pasajeros y herramientas de mecanizado. Limitar la sacudida vertical se considera esencial para la comodidad de viajar en ascensor. [7] ISO 8100-34 [8] especifica métodos de medición para la calidad de funcionamiento del ascensor con respecto a sacudidas, aceleración, vibración y ruido; sin embargo, la norma no especifica niveles de calidad de conducción aceptable o inaceptable. Se informa [9] que la mayoría de los pasajeros califican una sacudida vertical de 2 m/s 3 como aceptable y 6 m/s 3 como intolerable. Para hospitales, el límite recomendado es 0,7 m/s 3 .
Un objetivo principal del diseño para el control de movimiento es minimizar el tiempo de transición sin exceder los límites de velocidad, aceleración o sacudidas. Considere un perfil de control de movimiento de tercer orden con fases de rampa y desaceleración cuadráticas en velocidad (ver figura).
Este perfil de movimiento consta de los siguientes siete segmentos:
El período de tiempo del segmento cuatro (velocidad constante) varía con la distancia entre las dos posiciones. Si esta distancia es tan pequeña que omitir el segmento cuatro no sería suficiente, entonces los segmentos dos y seis (aceleración constante) podrían reducirse igualmente y no se alcanzaría el límite de velocidad constante. Si esta modificación no reduce suficientemente la distancia recorrida, entonces los segmentos uno, tres, cinco y siete podrían acortarse en la misma cantidad, y no se alcanzarían los límites de aceleración constante.
Se utilizan otras estrategias de perfil de movimiento, como minimizar el cuadrado de la sacudida para un tiempo de transición determinado [10] y, como se analizó anteriormente, perfiles de aceleración de forma sinusoidal. Los perfiles de movimiento están diseñados para aplicaciones específicas que incluyen máquinas, transporte de personas, polipastos de cadena, automóviles y robótica.
Jerk es una consideración importante en los procesos de fabricación . Los cambios rápidos en la aceleración de una herramienta de corte pueden provocar un desgaste prematuro de la herramienta y provocar cortes desiguales; en consecuencia, los controladores de movimiento modernos incluyen funciones de limitación de tirones. En ingeniería mecánica, la sacudida, además de la velocidad y la aceleración, se considera en el desarrollo de perfiles de leva debido a implicaciones tribológicas y la capacidad del cuerpo accionado para seguir el perfil de leva sin vibraciones . [11] A menudo se considera una sacudida cuando la vibración es una preocupación. Un dispositivo que mide la sacudida se llama "medidor de sacudidas".
También se han denominado otras derivadas temporales, como chasquido o rebote (cuarta derivada), crujido (quinta derivada) y pop (sexta derivada). [12] [13] Sin embargo, las derivadas temporales de posiciones de orden superior a cuatro aparecen raramente. [14]
Los términos chasquido , crujido y pop —para las derivadas cuarta, quinta y sexta de posición—se inspiraron en las mascotas publicitarias Snap, Crackle y Pop . [13]
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)Los nombres comunes para las tres primeras derivadas son velocidad, aceleración y sacudida. Los nombres no tan comunes para los siguientes tres derivados son chasquido, crujido y pop.
Snap [la cuarta derivada] a veces también se llama rebote. Las derivadas de la quinta y sexta vez a veces se denominan de manera un tanto jocosa crujido y pop.