Espiral de Euler

Una espiral de Euler es una curva cuya curvatura cambia linealmente con su longitud (la curvatura de una curva circular es igual al recíproco del radio). Esta curva también se conoce como clotoide o espiral de Cornu . ^[1]^[2] El comportamiento de las integrales de Fresnel se puede ilustrar mediante una espiral de Euler, una conexión realizada por primera vez por Marie Alfred Cornu en 1874. ^[3] La espiral de Euler es un tipo de superespiral que tiene la propiedad de una función de curvatura monótona. ^[4]

La espiral de Euler tiene aplicaciones en los cálculos de difracción . También se utiliza ampliamente en la ingeniería ferroviaria y de carreteras para diseñar curvas de transición entre secciones rectas y curvas de vías férreas o carreteras. También se encuentra una aplicación similar en los circuitos integrados fotónicos . El principio de variación lineal de la curvatura de la curva de transición entre una tangente y una curva circular define la geometría de la espiral de Euler:

Su curvatura comienza con cero en la sección recta (la tangente) y aumenta linealmente con la longitud de su curva.
Donde la espiral de Euler se encuentra con la curva circular, su curvatura se vuelve igual a la de esta última.

Historia

La espiral tiene múltiples nombres que reflejan su descubrimiento y aplicación en múltiples campos. Los tres campos principales fueron los resortes elásticos ("espiral de Euler", 1744), los cálculos gráficos en difracción de luz ("espiral de Cornu", 1874) y las transiciones ferroviarias ("la espiral de transición ferroviaria", 1890). ^[2]

El trabajo de Leonhard Euler sobre la espiral surgió después de que James Bernoulli planteara un problema en la teoría de la elasticidad: ¿qué forma debe tener un resorte de alambre precurvado para que, al aplanarlo presionando el extremo libre, se convierta en una línea recta? Euler estableció las propiedades de la espiral en 1744, señalando en ese momento que la curva debe tener dos límites, puntos alrededor de los cuales la curva se enrosca una y otra vez, pero que nunca alcanza. Treinta y ocho años después, en 1781, informó de su descubrimiento de la fórmula para el límite (por "feliz casualidad"). ^[2]

Augustin Fresnel , que trabajaba en 1818 en la difracción de la luz, desarrolló la integral de Fresnel que define la misma espiral. No conocía las integrales de Euler ni su conexión con la teoría de la elasticidad. En 1874, Alfred Marie Cornu demostró que la intensidad de la difracción podía leerse en un gráfico de la espiral elevando al cuadrado la distancia entre dos puntos del gráfico. En su semblanza de Cornu, Henri Poincaré elogió las ventajas de la "espiral de Cornu" sobre la "desagradable multitud de fórmulas integrales peludas". Ernesto Cesàro eligió llamar a la misma curva "clotoide" en honor a Cloto , una de las tres Parcas que tejen el hilo de la vida en la mitología griega . ^[2]

El tercer descubrimiento independiente se produjo en el siglo XIX, cuando varios ingenieros ferroviarios buscaron una fórmula para la curvatura gradual de la forma de las vías. En 1880, Arthur Newell Talbot elaboró las fórmulas integrales y su solución, a la que llamó "espiral de transición ferroviaria". La conexión con el trabajo de Euler no se hizo hasta 1922. ^[2]

Desconociendo la solución de la geometría de Euler, William Rankine citó la curva cúbica (una curva polinómica de grado 3), que es una aproximación de la espiral de Euler para pequeños cambios angulares, de la misma manera que una parábola es una aproximación a una curva circular. ^{[ cita requerida ]}

Aplicaciones

Curva de transición de la pista

Animación que representa la evolución de una espiral de Cornu con el círculo tangencial con el mismo radio de curvatura que en su punta, también conocido como círculo osculador .

Para desplazarse por una trayectoria circular, un objeto debe estar sujeto a una aceleración centrípeta (por ejemplo: la Luna gira alrededor de la Tierra debido a la gravedad; un automóvil gira sus ruedas delanteras hacia adentro para generar una fuerza centrípeta). Si un vehículo que viaja por una trayectoria recta pasara repentinamente a una trayectoria circular tangencial, necesitaría que la aceleración centrípeta cambiara repentinamente en el punto tangente de cero al valor requerido; esto sería difícil de lograr (piense en un conductor que mueve instantáneamente el volante de la línea recta a la posición de giro, y el automóvil lo hace realmente), lo que genera tensión mecánica en las piezas del vehículo y causa mucha incomodidad (debido al tirón lateral ).

En los primeros ferrocarriles, esta aplicación instantánea de fuerza lateral no era un problema, ya que se empleaban velocidades bajas y curvas de radio amplio (las fuerzas laterales sobre los pasajeros y el balanceo lateral eran pequeñas y tolerables). A medida que las velocidades de los vehículos ferroviarios aumentaron con el paso de los años, se hizo evidente que era necesaria una servidumbre, de modo que la aceleración centrípeta aumentara suavemente con la distancia recorrida. Dada la expresión de la aceleración centrípeta $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠versión 2/a⁠$ , la solución obvia es proporcionar una curva de servidumbre cuya curvatura $,$ $1 / R ⁠$ , aumenta linealmente con la distancia recorrida.

Óptica

En óptica , se utiliza el término espiral de Cornu. ^[5]^{: 432} La espiral de Cornu se puede utilizar para describir un patrón de difracción . ^[6] Considere una onda plana con amplitud fasorial $E 0 e - jkz$ que es difractada por un "filo de cuchillo" de altura $h$ por encima de $x = 0$ en el plano $z = 0.$ Entonces el campo de onda difractada se puede expresar como donde $Fr($ $x$ $)$ es la función integral de Fresnel , que forma la espiral de Cornu en el plano complejo. $\mathbf {E} (x,z)=E_{0}e^{-jkz}{\frac {\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} \left({\sqrt { \frac {2}{\lambda z}}}(hx)\right)}{\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} (-\infty )}},$

Por lo tanto, para simplificar el cálculo de la atenuación de la onda plana a medida que se difracta desde el borde de la cuchilla, se puede utilizar el diagrama de una espiral de Cornu representando las cantidades $Fr(a) - Fr(b)$ como las distancias físicas entre los puntos representados por $Fr(a)$ y $Fr(b)$ para $a$ y $b$ apropiados . Esto facilita un cálculo aproximado de la atenuación de la onda plana por el borde de la cuchilla de altura $h$ en una ubicación $(x, z)$ más allá del borde de la cuchilla.

Óptica integrada

Las curvas con un radio de curvatura que varía continuamente siguiendo la espiral de Euler también se utilizan para reducir las pérdidas en los circuitos integrados fotónicos , ya sea en guías de onda monomodo , ^[7]^[8] para suavizar el cambio abrupto de curvatura y suprimir el acoplamiento a los modos de radiación, o en guías de onda multimodo, ^[9] para suprimir el acoplamiento a modos de orden superior y garantizar un funcionamiento monomodo eficaz. Una aplicación pionera y muy elegante de la espiral de Euler a las guías de onda se había realizado ya en 1957, ^[10] con una guía de onda de metal hueca para microondas. Allí la idea era explotar el hecho de que una guía de onda de metal recta se puede doblar físicamente para adoptar de forma natural una forma de curva gradual parecida a una espiral de Euler.

Integral de trayectoria de Feynman

En la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica, la amplitud de probabilidad de propagación entre dos puntos se puede visualizar conectando flechas de fase de acción para cada paso de tiempo entre los dos puntos. Las flechas se mueven en espiral alrededor de cada punto final formando lo que se denomina una espiral de Cornu. ^[11]

Carreras de autos

El autor de deportes de motor Adam Brouillard ha demostrado el uso de la espiral de Euler para optimizar la línea de carrera durante la parte de entrada en una curva. ^[12]

Tipografía y dibujo vectorial digital

En 2007, Raph Levien publicó Spiro como un conjunto de herramientas para el diseño de curvas, especialmente el diseño de fuentes, ^[13]^[14] bajo una licencia libre. Este conjunto de herramientas se implementó con bastante rapidez en la herramienta de diseño de fuentes Fontforge y en el programa de dibujo vectorial digital Inkscape .

Proyección de mapas

Cortar una esfera a lo largo de una espiral con ancho $⁠$ $1 / norte ⁠$ y aplanar la forma resultante produce una espiral de Euler cuando $n$ tiende al infinito.^[15] Si la esfera es el globo , esto produce una proyección cartográfica cuya distorsión tiende a cero cuando $n$ tiende al infinito.^[16]

Formas de bigotes

Las formas naturales de los bigotes de las ratas se pueden aproximar bien mediante segmentos de espirales de Euler; para una sola rata, todos los bigotes se pueden aproximar como segmentos de la misma espiral. ^[17] Los dos parámetros de la ecuación de Cesáro para un segmento de espiral de Euler podrían brindar información sobre el mecanismo de queratinización del crecimiento de los bigotes. ^[18]

Formulación

Símbolos

Derivación

El gráfico de la derecha ilustra una espiral de Euler utilizada como curva de transición entre dos curvas dadas, en este caso una línea recta (el eje $x$ negativo ) y un círculo. La espiral comienza en el origen en la dirección $x$ positiva y gira gradualmente en sentido antihorario para formar un círculo.

La espiral es un pequeño segmento de la espiral de Euler de doble extremo anterior en el primer cuadrante.

A partir de la definición de la curvatura, es decir, Escribimos en el formato, donde o así Ahora Si Entonces Así ${\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{ds}}\propto s$ ${\begin{aligned}Rs={\text{constante}}&=R_{c}s_{o}\\{\frac {d\theta }{ds}}&={\frac {s}{R_{c}s_{o}}}\end{aligned}}$ ${\frac {d\theta}{ds}}=2a^{2}s$ $2a^{2}={\frac {1}{R_{c}s_{o}}}$ $a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}s_{o}}}}$ $\theta = (como)^{2}$ $x=\int _{0}^{L}\cos \theta \,ds=\int _{0}^{L}\cos \left[\left(as\right)^{2}\right]\,ds$ $s'=as$ $ds={\frac {ds'}{a}}$ ${\begin{aligned}x&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&=\int _{0}^{L}\sin \theta \,ds\\&=\int _{0}^{L}\sin \left[\left(as\right)^{2}\right]\,ds\\&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin \left({s}^{2}\right)\,ds\end{aligned}}$

Expansión de la integral de Fresnel

Si $a = 1$ , que es el caso de la curva de Euler normalizada, entonces las coordenadas cartesianas se dan mediante integrales de Fresnel (o integrales de Euler): ${\begin{aligned}C(L)&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\S(L)&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}$

Normalización

Para una curva de Euler dada con: o entonces donde $2RL=2R_{c}L_{s}={\frac {1}{a^{2}}}$ ${\frac {1}{R}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}=2a^{2}L$ ${\begin{aligned}x&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}L'&=aL\\a&={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}.\end{aligned}}$

El proceso de obtención de la solución de $(x, y)$ de una espiral de Euler puede describirse así:

Mapa $L$ de la espiral de Euler original multiplicando por el factor a $L$ $' de$ la espiral de Euler normalizada;
Hallar $(x', y')$ a partir de las integrales de Fresnel; y
Mapa $(x', y')$ a $(x, y)$ escalando hacia arriba (desnormalizando) con el factor $⁠$ $1 / a ⁠$ . Tenga en cuenta que $⁠$ $1 / a ⁠ > 1$ .

En el proceso de normalización, Entonces ${\begin{aligned}R'_{c}&={\frac {R_{c}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}={\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}\\L'_{s}&={\frac {L_{s}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}={\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}\end{aligned}}$ $2R'_{c}L'_{s}=2{\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}{\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}={\frac {2}{2}}=1$

Generalmente, la normalización reduce $L'$ a un valor pequeño (menor que 1) y da como resultado buenas características de convergencia de la integral de Fresnel manejables con solo unos pocos términos (al precio de una mayor inestabilidad numérica del cálculo, especialmente para valores $θ$ mayores ).

Ilustración

Dado: Entonces y ${\begin{aligned}R_{c}&=300\,\mathrm {m} \\L_{s}&=100\,\mathrm {m} \end{aligned}}$ $\theta _{s}={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}={\frac {100}{2\times 300}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {radián}$ $2R_{c}L_{s}=60\,000$

Reducimos la espiral de Euler en √60 000 , es decir 100√ 6 a la espiral de Euler normalizada que tiene: y ${\begin{aligned}R'_{c}&={\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\L'_{s}&={\ tfrac {1}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\2R'_{c}L'_{s}&=2\times {\tfrac {3}{\sqrt {6} }}\times {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\\&=1\end{aligned}}$ $\theta _{s}={\frac {L'_{s}}{2R'_{c}}}={\frac {\frac {1}{\sqrt {6}}}{2\times {\frac {3}{\sqrt {6}}}}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {radián}$

Los dos ángulos $θ s$ son iguales, lo que confirma que las espirales de Euler originales y normalizadas son geométricamente similares. El lugar geométrico de la curva normalizada se puede determinar a partir de la integral de Fresnel, mientras que el lugar geométrico de la espiral de Euler original se puede obtener ampliando o desnormalizando.

Otras propiedades de las espirales de Euler normalizadas

Las espirales de Euler normalizadas se pueden expresar como: o como series de potencias : ${\begin{aligned}x&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}x&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {s^{4i+1}}{4i+1}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {L^{4i+1}}{4i+1}}\\y&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {s^{4i+3}}{4i+3}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {L^{4i+3}}{4i+3}}\end{aligned}}$

La espiral de Euler normalizada convergerá a un único punto en el límite a medida que el parámetro L se acerca al infinito, lo que puede expresarse como: ${\begin{aligned}x^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\\y^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\end{aligned}}$

Las espirales de Euler normalizadas tienen las siguientes propiedades: y ${\begin{aligned}2R_{c}L_{s}&=1\\\theta _{s}&={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}=L_{s}^{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\theta &=\theta _{s}\cdot {\frac {L^{2}}{L_{s}^{2}}}=L^{2}\\{\frac {1}{R}}&={\frac {d\theta }{dL}}=2L\end{aligned}}$

Tenga en cuenta que $2 R c L s = 1$ también significa $⁠$ $1 / Rc ⁠ = 2 L s$ , de acuerdo con el último enunciado matemático.

Véase también

Lista de espirales

Referencias

^ Von Seggern, David H. (1994). Manual práctico de diseño y generación de curvas . Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 978-0-8493-8916-0.
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Lectura adicional

Kellogg, Norman Benjamin (1907). La curva de transición o curva de ajuste (3.ª ed.). Nueva York: McGraw.
R. Nave, La espiral de Cornu, Hyperphysics (2002) (Utiliza πt²/2 en lugar de t².)
Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas. Nueva York: Dover, 1972. (Véase el capítulo 7)
"Formas de bucles de montaña rusa" . Consultado el 12 de noviembre de 2010 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Espiral de Cornu". MathWorld .
Espiral de Euler en curvas matemáticas 2D
Ejemplo interactivo con JSXGraph