Derivadas superiores del vector de posición con respecto al tiempo
En física , las derivadas cuarta, quinta y sexta de la posición se definen como derivadas del vector de posición con respecto al tiempo ; las derivadas primera, segunda y tercera son velocidad , aceleración y tirón , respectivamente. Las derivadas de orden superior son menos comunes que las tres primeras; [1] [2] por lo tanto, sus nombres no están tan estandarizados, aunque el concepto de trayectoria de ajuste mínima se ha utilizado en robótica y está implementado en MATLAB . [3]
La cuarta derivada se conoce como snap , lo que lleva a que las derivadas quinta y sexta se denominen "a veces de manera algo jocosa" [ 4] crackle y pop , inspirados en las mascotas de Rice Krispies Snap, Crackle y Pop . [5] La cuarta derivada también se denomina jounce . [4]
El chasquido, [6] o rebote, [2] es la cuarta derivada del vector de posición con respecto al tiempo , o la tasa de cambio del tirón con respecto al tiempo. [4] De manera equivalente, es la segunda derivada de la aceleración o la tercera derivada de la velocidad , y se define por cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes: En ingeniería civil , el diseño de vías ferroviarias y carreteras implica la minimización del chasquido, particularmente alrededor de curvas con diferentes radios de curvatura . Cuando el chasquido es constante, el tirón cambia linealmente, lo que permite un aumento suave en la aceleración radial , y cuando, como se prefiere, el chasquido es cero, el cambio en la aceleración radial es lineal. La minimización o eliminación del chasquido se realiza comúnmente utilizando una función clotoide matemática . Minimizar el chasquido mejora el rendimiento de las máquinas herramienta y las montañas rusas. [1]
Las siguientes ecuaciones se utilizan para el ajuste constante:
dónde
es un chasquido constante,
es un tirón inicial,
es un idiota final,
es la aceleración inicial,
es la aceleración final,
es la velocidad inicial,
es la velocidad final,
es la posición inicial,
es la posición final,
es el tiempo entre el estado inicial y el final.
La notación (utilizada por Visser [4] ) no debe confundirse con el vector de desplazamiento comúnmente denotado de manera similar.
Las dimensiones del chasquido son la distancia por cuarta potencia del tiempo (LT −4 ). La unidad SI correspondiente es el metro por segundo elevado a la cuarta potencia, m/s 4 , m⋅s −4 .
Quinta derivada
La quinta derivada del vector de posición con respecto al tiempo a veces se denomina crujido. [5] Es la tasa de cambio del chasquido con respecto al tiempo. [5] [4] El crujido se define mediante cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes:
Las siguientes ecuaciones se utilizan para el crepitar constante:
dónde
:crujido constante,
:chasquido inicial,
:chasquido final,
: tirón inicial,
: último tirón,
:aceleración inicial,
:aceleración final,
:velocidad inicial,
:velocidad final,
:posición inicial,
:posición final,
:tiempo entre el estado inicial y el final.
Las dimensiones del crujido son LT −5 . La unidad SI correspondiente es m/s 5 .
Sexta derivada
La sexta derivada del vector de posición con respecto al tiempo a veces se denomina pop. [5] Es la tasa de cambio del crujido con respecto al tiempo. [5] [4] El pop se define mediante cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes:
Las siguientes ecuaciones se utilizan para pop constante:
dónde
:pop constante,
:crujido inicial,
:crepitar final,
:chasquido inicial,
:chasquido final,
: tirón inicial,
: último tirón,
:aceleración inicial,
:aceleración final,
:velocidad inicial,
:velocidad final,
:posición inicial,
:posición final,
:tiempo entre el estado inicial y el final.
Las dimensiones de pop son LT −6 . La unidad SI correspondiente es m/s 6 .
Referencias
^ ab Eager, David; Pendrill, Ann-Marie; Reistad, Nina (13 de octubre de 2016). "Más allá de la velocidad y la aceleración: sacudidas, chasquidos y derivadas superiores". Revista Europea de Física . 37 (6): 065008. Bibcode :2016EJPh...37f5008E. doi : 10.1088/0143-0807/37/6/065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN 0143-0807. S2CID 19486813.
^ abc Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (noviembre de 1998). "¿Cuál es el término utilizado para la tercera derivada de la posición?". Usenet Physics and Relativity FAQ . Departamento de Matemáticas, Universidad de California, Riverside . Consultado el 24 de octubre de 2015 .
^ "Documentación de MATLAB: minsnappolytraj".
^ abcdefg Visser, Matt (31 de marzo de 2004). "Jerk, snap and the cosmological equation of state". Gravedad clásica y cuántica . 21 (11): 2603–2616. arXiv : gr-qc/0309109 . Bibcode :2004CQGra..21.2603V. doi :10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN 0264-9381. S2CID 250859930. El chasquido [la cuarta derivada temporal] también se denomina a veces rebote. Las derivadas quinta y sexta temporales se denominan a veces, de manera un tanto jocosa, crujido y estallido.
^ abcdef Thompson, Peter M. (5 de mayo de 2011). "Snap, Crackle, and Pop" (PDF) . AIAA Info . Hawthorne, California: Systems Technology. p. 1. Archivado desde el original el 26 de junio de 2018 . Consultado el 3 de marzo de 2017 . Los nombres comunes para las primeras tres derivadas son velocidad, aceleración y tirón. Los nombres no tan comunes para las siguientes tres derivadas son chasquido, crujido y estallido.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
^ Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011). "Generación y control de trayectorias de ajuste mínimo para cuadricópteros". Conferencia internacional IEEE sobre robótica y automatización de 2011. págs. 2520–2525. doi :10.1109/ICRA.2011.5980409. ISBN978-1-61284-386-5.S2CID18169351 .
Enlaces externos
La definición del diccionario de jounce en Wikcionario