Cuarta, quinta y sexta derivadas de la posición

Derivadas superiores del vector de posición con respecto al tiempo

Derivadas temporales de la posición

En física , las derivadas cuarta, quinta y sexta de la posición se definen como derivadas del vector de posición con respecto al tiempo ; las derivadas primera, segunda y tercera son velocidad , aceleración y tirón , respectivamente. Las derivadas de orden superior son menos comunes que las tres primeras; ^{[1] [2]} por lo tanto, sus nombres no están tan estandarizados, aunque el concepto de trayectoria de ajuste mínima se ha utilizado en robótica y está implementado en MATLAB . ^[3]

La cuarta derivada se conoce como snap , lo que lleva a que las derivadas quinta y sexta se denominen "a veces de manera algo jocosa" [ ^4] crackle y pop , inspirados en las mascotas de Rice Krispies Snap, Crackle y Pop . ^[5] La cuarta derivada también se denomina jounce . ^[4]

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}Cuarta derivada(chasquido/rebote)

El chasquido, ^[6] o rebote, ^[2] es la cuarta derivada del vector de posición con respecto al tiempo , o la tasa de cambio del tirón con respecto al tiempo. ^[4] De manera equivalente, es la segunda derivada de la aceleración o la tercera derivada de la velocidad , y se define por cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes: En ingeniería civil , el diseño de vías ferroviarias y carreteras implica la minimización del chasquido, particularmente alrededor de curvas con diferentes radios de curvatura . Cuando el chasquido es constante, el tirón cambia linealmente, lo que permite un aumento suave en la aceleración radial , y cuando, como se prefiere, el chasquido es cero, el cambio en la aceleración radial es lineal. La minimización o eliminación del chasquido se realiza comúnmente utilizando una función clotoide matemática . Minimizar el chasquido mejora el rendimiento de las máquinas herramienta y las montañas rusas. ^[1] $${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.}$$

Las siguientes ecuaciones se utilizan para el ajuste constante: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle {\vec {s}}}$es un chasquido constante,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$es un tirón inicial,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$es un idiota final,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$es la aceleración inicial,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$es la aceleración final,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$es la velocidad inicial,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$es la velocidad final,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$es la posición inicial,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$es la posición final,
• ${\displaystyle t}$es el tiempo entre el estado inicial y el final.

La notación (utilizada por Visser ^[4] ) no debe confundirse con el vector de desplazamiento comúnmente denotado de manera similar. ${\displaystyle {\vec {s}}}$

Las dimensiones del chasquido son la distancia por cuarta potencia del tiempo (LT ⁻⁴ ). La unidad SI correspondiente es el metro por segundo elevado a la cuarta potencia, m/s ⁴ , m⋅s ⁻⁴ .

Quinta derivada

La quinta derivada del vector de posición con respecto al tiempo a veces se denomina crujido. ^[5] Es la tasa de cambio del chasquido con respecto al tiempo. ^{[5] [4]} El crujido se define mediante cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes: $${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$$

Las siguientes ecuaciones se utilizan para el crepitar constante: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ :crujido constante,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ :chasquido inicial,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ :chasquido final,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : tirón inicial,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : último tirón,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ :aceleración inicial,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ :aceleración final,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ :velocidad inicial,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ :velocidad final,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ :posición inicial,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ :posición final,
• ${\displaystyle t}$ :tiempo entre el estado inicial y el final.

Las dimensiones del crujido son LT ⁻⁵ . La unidad SI correspondiente es m/s ⁵ .

Sexta derivada

La sexta derivada del vector de posición con respecto al tiempo a veces se denomina pop. ^[5] Es la tasa de cambio del crujido con respecto al tiempo. ^{[5] [4]} El pop se define mediante cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes:

$${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$$

Las siguientes ecuaciones se utilizan para pop constante: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle {\vec {p}}}$ :pop constante,
• ${\displaystyle {\vec {c}}_{0}}$ :crujido inicial,
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ :crepitar final,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ :chasquido inicial,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ :chasquido final,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : tirón inicial,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : último tirón,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ :aceleración inicial,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ :aceleración final,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ :velocidad inicial,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ :velocidad final,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ :posición inicial,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ :posición final,
• ${\displaystyle t}$ :tiempo entre el estado inicial y el final.

Las dimensiones de pop son LT ⁻⁶ . La unidad SI correspondiente es m/s ⁶ .

Referencias

1. Eager, David; Pendrill, Ann-Marie; Reistad, Nina (13 de octubre de 2016). "Más allá de la velocidad y la aceleración: sacudidas, chasquidos y derivadas superiores". Revista Europea de Física . 37 (6): 065008. Bibcode :2016EJPh...37f5008E. doi : 10.1088/0143-0807/37/6/065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN  0143-0807. S2CID  19486813.
2. Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (noviembre de 1998). "¿Cuál es el término utilizado para la tercera derivada de la posición?". Usenet Physics and Relativity FAQ . Departamento de Matemáticas, Universidad de California, Riverside . Consultado el 24 de octubre de 2015 .
3. "Documentación de MATLAB: minsnappolytraj".
4. Visser, Matt (31 de marzo de 2004). "Jerk, snap and the cosmological equation of state". Gravedad clásica y cuántica . 21 (11): 2603–2616. arXiv : gr-qc/0309109 . Bibcode :2004CQGra..21.2603V. doi :10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN  0264-9381. S2CID  250859930. El chasquido [la cuarta derivada temporal] también se denomina a veces rebote. Las derivadas quinta y sexta temporales se denominan a veces, de manera un tanto jocosa, crujido y estallido.
5. Thompson, Peter M. (5 de mayo de 2011). "Snap, Crackle, and Pop" (PDF) . AIAA Info . Hawthorne, California: Systems Technology. p. 1. Archivado desde el original el 26 de junio de 2018 . Consultado el 3 de marzo de 2017 . Los nombres comunes para las primeras tres derivadas son velocidad, aceleración y tirón. Los nombres no tan comunes para las siguientes tres derivadas son chasquido, crujido y estallido.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
6. Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011). "Generación y control de trayectorias de ajuste mínimo para cuadricópteros". Conferencia internacional IEEE sobre robótica y automatización de 2011. págs. 2520–2525. doi :10.1109/ICRA.2011.5980409. ISBN 978-1-61284-386-5.S2CID18169351  .​

Enlaces externos

• La definición del diccionario de jounce en Wikcionario