Relación masa-luminosidad

Ecuación en astrofísica estelar

En astrofísica , la relación masa-luminosidad es una ecuación que da la relación entre la masa de una estrella y su luminosidad , observada por primera vez por Jakob Karl Ernst Halm . ^[1] La relación está representada por la ecuación: donde L _⊙ y M _⊙ son la luminosidad y la masa del Sol y 1 < a < 6 . ^[2] El valor a  = 3,5 se utiliza comúnmente para las estrellas de la secuencia principal . ^[3] Esta ecuación y el valor habitual de a  = 3,5 solo se aplican a las estrellas de la secuencia principal con masas 2 M _⊙ < M < 55 M _⊙ y no se aplican a las gigantes rojas o enanas blancas. A medida que una estrella se acerca a la luminosidad de Eddington, entonces a  = 1. $${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a}}$$

En resumen, las relaciones para estrellas con diferentes rangos de masa son, en buena aproximación, las siguientes: ^{[2] [4] [5]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 0.23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}&(M<0.43M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}&(0.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 1.4\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}&(2M_{\odot }<M<55M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 32000{\frac {M}{M_{\odot }}}&(M>55M_{\odot })\end{aligned}}}$$

Para las estrellas con masas menores a 0,43 M _⊙ , la convección es el único proceso de transporte de energía, por lo que la relación cambia significativamente. Para las estrellas con masas M  > 55 M _⊙ la relación se aplana y se convierte en L  ∝  M ^[2] pero de hecho esas estrellas no duran porque son inestables y pierden materia rápidamente por los intensos vientos solares. Se puede demostrar que este cambio se debe a un aumento en la presión de radiación en estrellas masivas. ^[2] Estas ecuaciones se determinan empíricamente determinando la masa de las estrellas en sistemas binarios a los que se conoce la distancia mediante mediciones de paralaje estándar u otras técnicas. Después de que se grafican suficientes estrellas, las estrellas formarán una línea en un gráfico logarítmico y la pendiente de la línea da el valor adecuado de a .

Otra forma, válida para estrellas de secuencia principal de tipo K , que evita la discontinuidad en el exponente ha sido dada por Cuntz y Wang; ^[6] se lee: con ( M en M _⊙ ). Esta relación se basa en datos de Mann y colaboradores, ^[7] quienes usaron espectros de resolución moderada de enanas cercanas de K tardío y M con paralajes conocidos y radios determinados interferométricamente para refinar sus temperaturas y luminosidades efectivas. Esas estrellas también se han usado como muestra de calibración para objetos candidatos de Kepler . Además de evitar la discontinuidad en el exponente en M  = 0.43 M _⊙ , la relación también recupera a  = 4.0 para M  ≃ 0.85 M _⊙ . $${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\approx \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a(M)}\qquad \qquad (0.20M_{\odot }<M<0.85M_{\odot })}$$ $${\displaystyle a(M)=-141.7\cdot M^{4}+232.4\cdot M^{3}-129.1\cdot M^{2}+33.29\cdot M+0.215}$$

La relación masa/luminosidad es importante porque se puede utilizar para encontrar la distancia a sistemas binarios que están demasiado lejos para las mediciones de paralaje normales, utilizando una técnica llamada " paralaje dinámico ". ^[8] En esta técnica, se estiman las masas de las dos estrellas en un sistema binario, generalmente en términos de la masa del Sol. Luego, utilizando las leyes de mecánica celeste de Kepler , se calcula la distancia entre las estrellas. Una vez que se encuentra esta distancia, la distancia se puede encontrar a través del arco subtendido en el cielo, dando una medición de distancia preliminar. A partir de esta medición y las magnitudes aparentes de ambas estrellas, se pueden encontrar las luminosidades y, utilizando la relación masa-luminosidad, las masas de cada estrella. Estas masas se utilizan para volver a calcular la distancia de separación, y el proceso se repite. El proceso se itera muchas veces y se pueden lograr precisiones de hasta el 5%. ^[8] La relación masa/luminosidad también se puede utilizar para determinar la vida útil de las estrellas, teniendo en cuenta que la vida útil es aproximadamente proporcional a M/L, aunque se observa que las estrellas más masivas tienen vidas más cortas que las que predice la relación M/L. Un cálculo más sofisticado tiene en cuenta la pérdida de masa de una estrella con el tiempo.

Derivación

Para obtener una relación masa/luminosidad teóricamente exacta es necesario encontrar la ecuación de generación de energía y construir un modelo termodinámico del interior de una estrella. Sin embargo, la relación básica L  ∝  M ³ se puede obtener utilizando algunos principios básicos de física y suposiciones simplificadas. ^[9] La primera deducción de este tipo fue realizada por el astrofísico Arthur Eddington en 1924. ^[10] La derivación demostró que las estrellas se pueden modelar aproximadamente como gases ideales, lo que era una idea nueva y algo radical en ese momento. Lo que sigue es un enfoque algo más moderno basado en los mismos principios.

Un factor importante que controla la luminosidad de una estrella (energía emitida por unidad de tiempo) es la tasa de disipación de energía a través de su volumen. Donde no hay convección de calor , esta disipación ocurre principalmente por difusión de fotones. Al integrar la primera ley de Fick sobre la superficie de algún radio r en la zona de radiación (donde hay convección despreciable), obtenemos el flujo total de energía saliente que es igual a la luminosidad por conservación de la energía : donde D es el coeficiente de difusión de fotones y u es la densidad de energía. $${\displaystyle L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}}$$

Obsérvese que esto supone que la estrella no es completamente convectiva y que todos los procesos de creación de calor ( nucleosíntesis ) ocurren en el núcleo, debajo de la zona de radiación. Estas dos suposiciones no son correctas en el caso de las gigantes rojas , que no obedecen a la relación masa-luminosidad habitual. Las estrellas de baja masa también son completamente convectivas, por lo que no obedecen a la ley.

Aproximando la estrella por un cuerpo negro , la densidad de energía está relacionada con la temperatura por la ley de Stefan-Boltzmann : donde es la constante de Stefan-Boltzmann , c es la velocidad de la luz , k _B es la constante de Boltzmann y es la constante de Planck reducida . $${\displaystyle u={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}}$$ $${\displaystyle \sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$ ${\displaystyle \hbar }$

Al igual que en la teoría del coeficiente de difusión en gases , el coeficiente de difusión D satisface aproximadamente: donde λ es el camino libre medio del fotón . $${\displaystyle D={\frac {1}{3}}c\,\lambda }$$

Dado que la materia está completamente ionizada en el núcleo de la estrella (así como donde la temperatura es del mismo orden de magnitud que dentro del núcleo), los fotones chocan principalmente con electrones, por lo que λ satisface Aquí es la densidad de electrones y: es la sección transversal para la dispersión electrón-fotón, igual a la sección transversal de Thomson . α es la constante de estructura fina y m _e la masa del electrón. $${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}}$$ ${\displaystyle n_{e}}$ $${\displaystyle \sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}}$$

La densidad electrónica estelar promedio está relacionada con la masa de la estrella M y el radio R $${\displaystyle \langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}}$$

Finalmente, por el teorema virial , la energía cinética total es igual a la mitad de la energía potencial gravitatoria E _G , por lo que si la masa media de los núcleos es m _n , entonces la energía cinética media por núcleo satisface: donde la temperatura T se promedia sobre la estrella y C es un factor de orden uno relacionado con la estructura estelar y puede estimarse a partir del índice politrópico aproximado de la estrella . Nótese que esto no se cumple para estrellas lo suficientemente grandes, donde la presión de radiación es mayor que la presión del gas en la zona de radiación, por lo tanto, la relación entre temperatura, masa y radio es diferente, como se explica a continuación. $${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}E_{G}{\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}}$$

Para resumir, también tomamos r como igual a R con un factor de hasta, y n _e en r se reemplaza por su promedio estelar con un factor de hasta. El factor combinado es aproximadamente 1/15 para el sol, y obtenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}\approx 4\pi \,R^{2}D{\frac {u}{R}}\\L&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {64\pi ^{2}}{9}}{\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{e\cdot \gamma }}}{\frac {R^{4}T^{4}m_{n}}{M}}\\&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {2\pi ^{3}}{9\cdot 5^{5}}}{\frac {G^{4}\,m_{e}^{2}\,m_{n}^{5}}{\alpha ^{2}\hbar ^{5}}}\,M^{3}=4\cdot {10^{26}}_{W}\,\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$$

El factor añadido en realidad depende de M , por lo tanto la ley tiene una dependencia aproximada. ${\displaystyle M^{3.5}}$

Distinguir entre masas estelares pequeñas y grandes

Se pueden distinguir entre los casos de masas estelares pequeñas y grandes derivando los resultados anteriores utilizando la presión de radiación. En este caso, es más fácil utilizar la opacidad óptica y considerar directamente la temperatura interna T _I ; más precisamente, se puede considerar la temperatura promedio en la zona de radiación . ${\displaystyle \kappa }$

La consideración comienza notando la relación entre la presión de radiación P _rad y la luminosidad. El gradiente de presión de radiación es igual a la transferencia de momento absorbido de la radiación, dando: donde c es la velocidad de la luz. Aquí, ; el camino libre medio del fotón. $${\displaystyle {\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$ ${\displaystyle 1/\kappa \rho =l}$

La presión de radiación está relacionada con la temperatura por , por lo tanto de lo cual se deduce directamente que ${\displaystyle P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4}}$ $${\displaystyle {T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},}$$ $${\displaystyle L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{M}}.}$$

En la zona de radiación, la gravedad se equilibra con la presión sobre el gas que proviene tanto de sí mismo (aproximada por la presión del gas ideal) como de la radiación. Para una masa estelar lo suficientemente pequeña, esta última es despreciable y se llega a como antes. Más precisamente, dado que la integración se realizó de 0 a R, es decir, en el lado izquierdo, pero la temperatura de la superficie T _E puede despreciarse con respecto a la temperatura interna T _I . $${\displaystyle T_{I}\varpropto {\frac {M}{R}}}$$ ${\displaystyle T_{I}-T_{E}}$

De esto se sigue directamente que $${\displaystyle L\varpropto M^{3}.}$$

Para una masa estelar suficientemente grande, la presión de radiación es mayor que la presión del gas en la zona de radiación. Si se reemplaza la presión de radiación por la presión del gas ideal utilizada anteriormente, se obtiene : $${\displaystyle {T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},}$$ $${\displaystyle L\varpropto M.}$$

Temperaturas del núcleo y de la superficie

En una primera aproximación, las estrellas son radiadores de cuerpo negro con un área superficial de 4 πR ² . Por lo tanto, a partir de la ley de Stefan-Boltzmann , la luminosidad está relacionada con la temperatura superficial T _S , y a través de ella con el color de la estrella, por donde σ _B es la constante de Stefan-Boltzmann , $${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma _{B}T_{S}^{4}}$$5,67 × 10 ⁻⁸  W m ⁻² K ⁻⁴

La luminosidad es igual a la energía total producida por la estrella por unidad de tiempo. Dado que esta energía se produce por nucleosíntesis, normalmente en el núcleo de la estrella (esto no es cierto para las gigantes rojas ), la temperatura del núcleo está relacionada con la luminosidad por la tasa de nucleosíntesis por unidad de volumen: Aquí, ε es la energía total emitida en la reacción en cadena o ciclo de reacción . es la energía pico de Gamow , dependiente de E _G , el factor de Gamow . Además, S ( E )/E es la sección eficaz de la reacción, n es la densidad numérica, es la masa reducida para la colisión de partículas, y A , B son las dos especies que participan en la reacción limitante (por ejemplo, ambas representan un protón en la reacción en cadena protón-protón , o A un protón y B un $${\displaystyle L={\frac {dE}{dt}}\approx \epsilon \,{\frac {4\pi }{3}}R^{3}\,n_{A}\,n_{B}\,{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {3m_{R}}}}\,{\sqrt {E_{0}(T)}}{\frac {S(E_{0}(T))}{kT}}e^{-{\frac {3E_{0}(T)}{kT}}}}$$ ${\textstyle E_{0}=\left({\sqrt {E_{G}}}\,kT/2\right)^{2/3}}$ ${\displaystyle m_{R}=m_{A}\cdot m_{B}/(m_{A}+m_{B})}$¹⁴
₇norte
núcleo para el ciclo CNO ).

Dado que el radio R es en sí mismo una función de la temperatura y la masa, se puede resolver esta ecuación para obtener la temperatura central.

Referencias

1. Kuiper, GP (1938). "La relación empírica masa-luminosidad". Astrophysical Journal . 88 : 472–506. Código Bibliográfico :1938ApJ....88..472K. doi : 10.1086/143999 .
2. Salaris, Maurizio; Santi Cassisi (2005). Evolución de estrellas y poblaciones estelares. John Wiley & Sons . pp. 138–140. ISBN 978-0-470-09220-0.
3. "Relación masa-luminosidad". Hyperphysics . Consultado el 23 de agosto de 2009 .
4. Duric, Nebojsa (2004). Astrofísica avanzada. Cambridge University Press . pág. 19. ISBN 978-0-521-52571-8.
5. "El límite de Eddington (Conferencia 18)" (PDF) . jila.colorado.edu . 2003 . Consultado el 22 de enero de 2019 .
6. Cuntz, M.; Wang, Z. (2018). "La relación masa-luminosidad para un conjunto refinado de enanas de finales de K/M". Notas de investigación de la Sociedad Astronómica Estadounidense . 2a : 19. Bibcode :2018RNAAS...2a..19C. doi : 10.3847/2515-5172/aaaa67 .
7. Mann, AW; Gaidos, E.; Ansdell, M. (2013). "Espectrotermometría de enanas M y sus planetas candidatos: ¿demasiado calientes, demasiado fríos o justo lo que necesitan?". Astrophysical Journal . 779 (2): 188. arXiv : 1311.0003 . Bibcode :2013ApJ...779..188M. doi :10.1088/0004-637X/779/2/188.
8. Mullaney, James (2005). Estrellas dobles y múltiples y cómo observarlas . Springer. pág. 27. ISBN 978-1-85233-751-3.
9. Phillips, AC (1999). La física de las estrellas . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-98798-7.
10. Lecchini, Stefano (2007). Cómo los enanos se convirtieron en gigantes. El descubrimiento de la relación masa-luminosidad. Estudios de Bern sobre la historia y la filosofía de la ciencia. ISBN 978-3-9522882-6-9.^{[ enlace muerto permanente ]}