La regla de L'Hôpital

Regla matemática para evaluar algunos límites.

Ejemplo de aplicación de la regla de L'Hôpital a f ( x ) = sin ( x ) y g ( x ) = −0,5 x : la función h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) no está definida en x = 0 , pero se puede completar a una función continua en todo R definiendo h (0) = f ′(0) / g ′(0) = −2 .

La regla de L'Hôpital ( / ˌ l oʊ p iː ˈ t ɑː l / , loh-pee- TAHL ), también conocida como regla de Bernoulli , es un teorema matemático que permite evaluar límites de formas indeterminadas mediante derivadas . La aplicación (o aplicación repetida) de la regla a menudo convierte una forma indeterminada en una expresión que puede evaluarse fácilmente mediante sustitución. La regla lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume de l'Hôpital . Aunque la regla se atribuye a menudo a l'Hôpital, el teorema le fue presentado por primera vez en 1694 por el matemático suizo Johann Bernoulli .

La regla de L'Hôpital establece que para funciones f y g que son diferenciables en un intervalo abierto I excepto posiblemente en un punto c contenido en I , si y para todo x en I con x ≠ c , y existe, entonces ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ ${\textstyle g'(x)\neq 0}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

La diferenciación del numerador y denominador a menudo simplifica el cociente o lo convierte a un límite que puede evaluarse directamente.

Historia

Guillaume de l'Hôpital (también escrito l'Hospital ^[a] ) publicó esta regla en su libro de 1696 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (traducción literal: Análisis de lo infinitamente pequeño para la comprensión de líneas curvas ), el primer libro de texto sobre cálculo diferencial . ^{[1] [b]} Sin embargo, se cree que la regla fue descubierta por el matemático suizo Johann Bernoulli . ^[3]

forma general

La forma general de la regla de L'Hôpital cubre muchos casos. Sean c y L números reales extendidos ( es decir, números reales, infinito positivo o infinito negativo). Sea I un intervalo abierto que contiene c (para un límite bilateral) o un intervalo abierto con punto final c (para un límite unilateral , o un límite en el infinito si c es infinito). Se supone que las funciones con valores reales f y g son diferenciables en I excepto posiblemente en c , y además en I excepto posiblemente en c . También se supone que, por lo tanto, la regla se aplica a situaciones en las que la razón de las derivadas tiene un límite finito o infinito, pero no a situaciones en las que esa razón fluctúa permanentemente a medida que x se acerca cada vez más a c . ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$

Si alguno

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.}$$

x → cx → c ⁺x → c ⁻cI.

En el segundo caso, la hipótesis de que f diverge al infinito no se utiliza en la prueba (ver nota al final de la sección de prueba); por lo tanto, si bien las condiciones de la regla normalmente se establecen como arriba, la segunda condición suficiente para que el procedimiento de la regla sea válido se puede expresar más brevemente como ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$

La hipótesis que aparece con mayor frecuencia en la literatura, pero algunos autores eluden esta hipótesis agregando otras hipótesis en otros lugares. Un método ^[4] es definir el límite de una función con el requisito adicional de que la función limitante esté definida en todas partes del intervalo relevante I excepto posiblemente en c . ^[c] Otro método ^[5] consiste en exigir que tanto f como g sean diferenciables en todas partes de un intervalo que contenga c . ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$

Casos en los que no se puede aplicar el teorema (Necesidad de condiciones)

Las cuatro condiciones para el gobierno de L'Hôpital son necesarias:

1. Indeterminación de forma: o  ; y ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$ ${\displaystyle \pm \infty }$
2. Diferenciabilidad de funciones: y son diferenciables en un intervalo abierto excepto posiblemente en un punto contenido en (el mismo punto desde el límite); y ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
3. Derivada distinta de cero del denominador: para todo dentro con  ; y ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle x\neq c}$
4. Existencia de límite del cociente de las derivadas: existe. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Cuando no se cumple una de las condiciones anteriores, la regla de L'Hôpital no es válida en general y, por tanto, no siempre puede aplicarse.

La forma no es indeterminada.

La necesidad de la primera condición se puede ver considerando el contraejemplo donde las funciones son y y el límite es . ${\displaystyle f(x)=x+1}$ ${\displaystyle g(x)=2x+1}$ ${\displaystyle x\to 1}$

La primera condición no se cumple para este contraejemplo porque y . Esto significa que la forma no es indeterminada. ${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0}$

La segunda y tercera condiciones se cumplen con y . La cuarta condición también se cumple con . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

Pero la regla de L'Hôpital falla en este contraejemplo, ya que . ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x+1}{2x+1}}={\frac {\lim _{x\to 1}(x+1)}{\lim _{x\to 1}(2x+1)}}={\frac {2}{3}}\neq {\frac {1}{2}}=\lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Diferenciabilidad de funciones

La diferenciabilidad de funciones es un requisito porque si una función no es diferenciable, entonces no se garantiza que la derivada de las funciones exista en cada punto de . El hecho de que sea un intervalo abierto está excluido de la hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy . La excepción notable de la posibilidad de que las funciones no sean diferenciables existe porque la regla de L'Hôpital sólo requiere que exista la derivada a medida que la función se aproxima ; no es necesario tomar la derivada en . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Por ejemplo, sean , y . En este caso, no es diferenciable en . Sin embargo, dado que es diferenciable en todas partes excepto , todavía existe. Así, desde ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle g(x)=x}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f'(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}}$y existe, la regla de L'Hôpital sigue vigente. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

La derivada del denominador es cero.

La necesidad de la condición de que cerca se puede ver en el siguiente contraejemplo de Otto Stolz . ^[6] Let y Entonces no hay límite para as Sin embargo, ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)=x+\sin x\cos x}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)e^{\sin x}.}$ ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ ${\displaystyle x\to \infty .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{(2\cos ^{2}x)e^{\sin x}+(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x}}\\&={\frac {2\cos x}{2\cos x+x+\sin x\cos x}}e^{-\sin x},\end{aligned}}}$

que tiende a 0 como . Ralph P. Boas Jr. encontró más ejemplos de este tipo ^[7] ${\displaystyle x\to \infty }$

No existe límite de derivados

El requisito de que el límite

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

existe es esencial. Sin esta condición, o puede presentar oscilaciones no amortiguadas a medida que se aproxima , en cuyo caso no se aplica la regla de L'Hôpital. Por ejemplo, si y , entonces ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}$ ${\displaystyle g(x)=x}$ ${\displaystyle c=\pm \infty }$

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {1+\cos(x)}{1}};}$

esta expresión no se acerca a un límite como va a , ya que la función coseno oscila entre 1 y −1 . Pero al trabajar con las funciones originales, se puede demostrar que existe: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x+\sin(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1+\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1+0=1.}$

En un caso como este, lo único que se puede concluir es que

${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

de modo que si el límite de f / g existe, entonces debe estar entre los límites inferior y superior de . (En el ejemplo anterior, esto es cierto, ya que 1 se encuentra entre 0 y 2). ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$ ${\textstyle {\frac {f'}{g'}}}$

Ejemplos

• Aquí hay un ejemplo básico que involucra la función exponencial, que involucra la forma indeterminada0/0en x = 0 :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1.\end{aligned}}}$$
• Este es un ejemplo más elaborado que involucra0/0. La aplicación de la regla de L'Hôpital una sola vez da como resultado una forma indeterminada. En este caso, el límite podrá evaluarse aplicando la regla tres veces:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6.\end{aligned}}}$$
• He aquí un ejemplo que implica∞/∞:
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.}$$
  Aplique repetidamente la regla de L'Hôpital hasta que el exponente sea cero (si n es un número entero) o negativo (si n es fraccionario) para concluir que el límite es cero.
• Aquí hay un ejemplo que involucra la forma indeterminada 0 · ∞ (ver más abajo), que se reescribe como la forma∞/∞:
  $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.}$$
• A continuación se muestra un ejemplo que involucra la fórmula de pago de la hipoteca y0/0. Sea P el principal (monto del préstamo), r la tasa de interés por período y n el número de períodos. Cuando r es cero, el monto de reembolso por período es (ya que sólo se reembolsa el principal); esto es consistente con la fórmula para tasas de interés distintas de cero: ${\displaystyle {\frac {P}{n}}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}&=P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}\\[4pt]&={\frac {P}{n}}.\end{aligned}}}$$
• También se puede utilizar la regla de L'Hôpital para demostrar el siguiente teorema. Si f es dos veces diferenciable en una vecindad de x y su segunda derivada es continua en esta vecindad, entonces
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x).\end{aligned}}}$$

• A veces, la regla de L'Hôpital se invoca de manera engañosa: supongamos que converge cuando x → ∞ y eso converge al infinito positivo o negativo. Entonces: ${\displaystyle f(x)+f'(x)}$ ${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$

  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}$$
  y así, existe y ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}$

  El resultado sigue siendo cierto sin la hipótesis añadida que converge al infinito positivo o negativo, pero la justificación es entonces incompleta. ${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$

Complicaciones

A veces, la regla de L'Hôpital no conduce a una respuesta en un número finito de pasos a menos que se apliquen algunos pasos adicionales. Los ejemplos incluyen los siguientes:

• Dos aplicaciones pueden conducir a un retorno a la expresión original que se iba a evaluar:
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\cdots .}$$
  Esta situación se puede solucionar sustituyendo y observando que y tiende al infinito cuando x tiende al infinito; con esta sustitución, este problema se puede solucionar con una sola aplicación de la regla: ${\displaystyle y=e^{x}}$
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$
  Alternativamente, el numerador y el denominador se pueden multiplicar por, momento en el que la regla de L'Hôpital se puede aplicar inmediatamente con éxito: ^[8] ${\displaystyle e^{x},}$
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.}$$
• Es posible que un número arbitrariamente grande de solicitudes nunca conduzca a una respuesta, incluso sin repetir:
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}=\cdots .}$$
  Esta situación también se puede solucionar mediante una transformación de variables, en este caso : ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$
  Nuevamente, un enfoque alternativo es multiplicar el numerador y el denominador por antes de aplicar la regla de L'Hôpital: ${\displaystyle x^{1/2}}$
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.}$$

Un error común es utilizar la regla de L'Hôpital con algún razonamiento circular para calcular una derivada mediante un cociente de diferencias . Por ejemplo, considere la tarea de demostrar la fórmula derivada de potencias de x :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.}$

Al aplicar la regla de L'Hôpital y encontrar las derivadas con respecto a h del numerador y el denominador se obtiene nx ^{n −1} como se esperaba. Sin embargo, diferenciar el numerador requiere el uso del hecho mismo que se está demostrando. Este es un ejemplo de petición de principio , ya que no se puede suponer que el hecho esté probado durante el curso de la prueba.

Un error similar ocurre en el cálculo de Demostrar que derivar da implica calcular el cociente de diferencias en primer lugar, por lo que en su lugar se debe utilizar un método diferente, como el teorema de compresión . ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1.}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}$

Otras formas indeterminadas

Otras formas indeterminadas, como 1 ^∞ , 0 ⁰ , ∞ ⁰ , 0 · ∞ y ∞ − ∞ , a veces pueden evaluarse utilizando la regla de L'Hôpital. Por ejemplo, para evaluar un límite que involucra ∞ − ∞ , convierta la diferencia de dos funciones en un cociente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}},\end{aligned}}}$

donde se aplica la regla de L'Hôpital al pasar de (1) a (2) y nuevamente al pasar de (3) a (4).

La regla de L'Hôpital se puede utilizar en formas indeterminadas que involucran exponentes usando logaritmos para "mover el exponente hacia abajo". Aquí hay un ejemplo que involucra la forma indeterminada 0 ⁰ :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}.}$

Es válido mover el límite dentro de la función exponencial porque la función exponencial es continua . Ahora el exponente se ha "bajado". El límite es de la forma indeterminada 0 · ∞ , pero como se muestra en el ejemplo anterior, la regla de L'Hôpital se puede utilizar para determinar que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.}$

De este modo

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1.}$

La siguiente tabla enumera las formas indeterminadas más comunes y las transformaciones para aplicar la regla de L'Hôpital:

Teorema de Stolz-Cesàro

El teorema de Stolz-Cesàro es un resultado similar que involucra límites de secuencias, pero utiliza operadores de diferencias finitas en lugar de derivadas .

Interpretación geométrica

Considere la curva en el plano cuya coordenada x está dada por g ( t ) y cuya coordenada y está dada por f ( t ) , con ambas funciones continuas, es decir, el lugar geométrico de los puntos de la forma [ g ( t ), f ( t )] . Supongamos que f ( c ) = g ( c ) = 0 . El límite de la relaciónf ( t )/g ( t )como t → c es la pendiente de la tangente a la curva en el punto [ g ( c ), f ( c )] = [0,0] . La tangente a la curva en el punto [ g ( t ), f ( t )] viene dada por [ g ′( t ), f ′( t )] . La regla de L'Hôpital establece entonces que la pendiente de la curva cuando t = c es el límite de la pendiente de la tangente a la curva cuando la curva se acerca al origen, siempre que esté definido.

Prueba de la regla de L'Hôpital

Caso especial

La prueba de la regla de L'Hôpital es simple en el caso en que f y g son continuamente diferenciables en el punto c y donde se encuentra un límite finito después de la primera ronda de diferenciación. No es una prueba de la regla general de L'Hôpital porque es más estricta en su definición y requiere tanto diferenciabilidad como que c sea un número real. Dado que muchas funciones comunes tienen derivadas continuas (por ejemplo, polinomios , senos y cosenos , funciones exponenciales ), es un caso especial que merece atención.

Supongamos que f y g son continuamente diferenciables en un número real c , that y that . Entonces ${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.\end{aligned}}}$

Esto se desprende de la definición de cociente de diferencias de la derivada. La última igualdad se deriva de la continuidad de las derivadas en c . El límite en la conclusión no es indeterminado porque . ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

A continuación se proporciona la prueba de una versión más general de la regla de L'Hôpital.

prueba general

La siguiente prueba se debe a Taylor (1952), donde se da una prueba unificada para las formas y indeterminadas. Taylor señala que se pueden encontrar pruebas diferentes en Lettenmeyer (1936) y Wazewski (1949). ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ ${\textstyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$

Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis de la sección Forma general . Sea el intervalo abierto en la hipótesis con punto final c . Considerando que en este intervalo g es continuo, se puede elegir más pequeño para que g sea distinto de cero en . ^[d] ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Para cada x en el intervalo, defina y como rangos sobre todos los valores entre x y c . (Los símbolos inf y sup denotan el mínimo y el supremo ). ${\displaystyle m(x)=\inf {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ ${\displaystyle M(x)=\sup {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ ${\displaystyle \xi }$

A partir de la diferenciabilidad de f y g en adelante , el teorema del valor medio de Cauchy garantiza que para dos puntos distintos xey en existe una relación entre xey tal que . En consecuencia, para todas las elecciones de x e y distintas en el intervalo. El valor g ( x ) - g ( y ) siempre es distinto de cero para x e y distintos en el intervalo, porque si no lo fuera, el teorema del valor medio implicaría la existencia de una p entre x e y tal que g' ( p )=0. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ ${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)}$

La definición de m ( x ) y M ( x ) dará como resultado un número real extendido, por lo que es posible que tomen los valores ±∞. En los dos casos siguientes, m ( x ) y M ( x ) establecerán límites en la relaciónF/gramo.

Caso 1: ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

Para cualquier x en el intervalo y el punto y entre x y c , ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)}$

y por lo tanto cuando y se acerca a c , y se vuelve cero, y así ${\displaystyle {\frac {f(y)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle {\frac {g(y)}{g(x)}}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x).}$

Caso 2: ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

Para cada x en el intervalo , defina . Para cada punto y entre x y c , ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x).}$

A medida que y se acerca a c , ambos y se vuelven cero y, por lo tanto, ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(y)}}}$ ${\displaystyle {\frac {g(x)}{g(y)}}}$

${\displaystyle m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).}$

El límite superior y el límite inferior son necesarios ya que la existencia del límite deF/gramoaún no se ha establecido.

También se da el caso de que

${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$

^[mi] y

${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$y ${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

En el caso 1, el teorema de compresión establece que existe y es igual a L. En el caso 2, el teorema de compresión afirma nuevamente que , por lo que el límite existe y es igual a L . Éste es el resultado que debía demostrarse. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

En el caso 2, la suposición de que f ( x ) diverge hasta el infinito no se utilizó en la prueba. Esto significa que si | g ( x )| diverge al infinito cuando x se aproxima a c y tanto f como g satisfacen las hipótesis de la regla de L'Hôpital, entonces no se necesita ninguna suposición adicional sobre el límite de f ( x ): Incluso podría darse el caso de que el límite de f ( x ) no existe. En este caso, el teorema de L'Hopital es en realidad una consecuencia de Cesàro-Stolz. ^[9]

En el caso de que | g ( x )| diverge al infinito cuando x se acerca a c y f ( x ) converge a un límite finito en c , entonces la regla de L'Hôpital sería aplicable, pero no absolutamente necesaria, ya que el cálculo de límites básico mostrará que el límite de f ( x )/ g ( x ) cuando x se aproxima a c debe ser cero.

Corolario

Una consecuencia simple pero muy útil de la regla de L'Hopital es un criterio bien conocido de diferenciabilidad. Dice lo siguiente: supongamos que f es continua en a , y que existe para todo x en algún intervalo abierto que contenga a , excepto quizás para . Supongamos, además, que eso exista. Entonces también existe y ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)}$ ${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}f'(x).}$

En particular, f' también es continua en a .

Prueba

Considere las funciones y . La continuidad de f en a nos dice eso . Además, dado que una función polinómica es siempre continua en todas partes. La aplicación de la regla de L'Hopital muestra que . ${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)}$ ${\displaystyle g(x)=x-a}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0}$ ${\displaystyle f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)}$

Ver también

• La controversia de L'Hôpital

Notas

1. En los siglos XVII y XVIII, el nombre se escribía comúnmente "l'Hospital", y él mismo escribía su nombre de esa manera. Desde entonces, la ortografía francesa ha cambiado : la 's' muda ha sido eliminada y reemplazada por un circunflejo sobre la vocal anterior.
2. "Proposición I. Problema. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [ver Figura 130]) telle que la valeur de l'appliquée y soit exprimée par una fracción, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero cuando x = a, c'est à dire cuando el punto P se tombe sur le punto donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l'appliquée BD. [Solución: ]...si l'on prend la diferencia del numerador, & qu'on la divise par la diferencia del denominador, después de hacer x = a = Ab ou AB, l'on aura la valeur cherchée de l'appliquée bd ou BD." Traducción  : "Sea una curva AMD (donde AP = X, PM = y, AB = a) tal que el valor de la ordenada y se exprese mediante una fracción cuyo numerador y denominador se vuelven cero cuando x = a; es decir , cuando el punto P cae sobre el punto B dado. Se pregunta cuál será entonces el valor de la ordenada BD. [Solución: ]... si se toma el diferencial del numerador y si se divide por el diferencial del denominador, después de haber puesto x = a = Ab o AB, se tendrá el valor [que se] buscó de la ordenada bd o BD." ^[2]
3. La definición del análisis funcional del límite de una función no requiere la existencia de tal intervalo.
4. Dado que g' es distinto de cero y g es continuo en el intervalo, es imposible que g sea cero más de una vez en el intervalo. Si tuviera dos ceros, el teorema del valor medio afirmaría la existencia de un punto p en el intervalo entre los ceros tal que g' ( p ) = 0. Entonces, o g ya es distinto de cero en el intervalo, o el intervalo puede ser reducido de tamaño para no contener el único cero de g .
5. Los límites y ambos existen ya que presentan funciones de x no decrecientes y no crecientes , respectivamente. Considere una secuencia . Entonces , como la desigualdad se cumple para cada i ; esto produce las desigualdades. El siguiente paso es mostrar . Fijar una secuencia de números tal que , y una secuencia . Para cada i , elija tal que , según la definición de . De este modo ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)}$ ${\displaystyle x_{i}\to c}$ ${\displaystyle \lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}>0}$ ${\displaystyle \lim _{i}\varepsilon _{i}=0}$ ${\displaystyle x_{i}\to c}$ ${\displaystyle x_{i}<y_{i}<c}$ ${\displaystyle {\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\geq \sup _{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ ${\displaystyle \sup }$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{i}M(x_{i})&\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}\end{aligned}}}$$
   como se desee. El argumento que es similar. ${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Referencias

1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Biografía de De L'Hopital". El archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . Escocia: Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews . Consultado el 21 de diciembre de 2008 .
2. L'Hospital (1696). Analice los infinitos pequeños. págs. 145-146.
3. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). Una historia de las matemáticas (3ª edición ilustrada). John Wiley e hijos. pag. 321.ISBN _ 978-0-470-63056-3.Extracto de la página 321
4. (Chatterjee 2005, pag.291)
5. (Krantz 2004, pág.79)
6. Stolz, Otto (1879). "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [Sobre los límites de los cocientes]. Mathematische Annalen (en alemán). 15 (3–4): 556–559. doi :10.1007/bf02086277. S2CID  122473933.
7. Boas Jr., Ralph P. (1986). "Contraejemplos de la regla de L'Hopital". Mensual Matemático Estadounidense . 93 (8): 644–645. doi :10.1080/00029890.1986.11971912. JSTOR  2322330.
8. En su lugar , multiplicar por produce una solución al límite sin necesidad de la regla de l'Hôpital. ${\displaystyle e^{-x}}$
9. "Teorema de L'Hopital". En mi opinión . Olimpiada Internacional de Matemáticas .

Fuentes

• Chatterjee, Dipak (2005), Análisis real , PHI Learning Pvt. Limitado. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
• Krantz, Steven G. (2004), Un manual de variables reales. Con aplicaciones a ecuaciones diferenciales y análisis de Fourier , Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., págs. xiv+201, doi :10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, SEÑOR  2015447
• Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1936 (174): 246–247, doi :10.1515/crll.1936.174.246, S2CID  199546754
• Taylor, AE (1952), "La regla de L'Hospital", Amer. Matemáticas. Mensual , 59 (1): 20–24, doi :10.2307/2307183, ISSN  0002-9890, JSTOR  2307183, MR  0044602
• Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (en francés), 47 : 117–128, SEÑOR  0034430