En física estadística y matemáticas , la teoría de la percolación describe el comportamiento de una red cuando se añaden nodos o enlaces. Se trata de un tipo geométrico de transición de fase , ya que en una fracción crítica de adición la red de pequeños grupos desconectados se fusiona en grupos significativamente más grandes conectados , los llamados grupos de expansión. Las aplicaciones de la teoría de la percolación a la ciencia de los materiales y a muchas otras disciplinas se analizan aquí y en los artículos Teoría de redes y Percolación (psicología cognitiva) .
Una pregunta representativa (y la fuente del nombre) es la siguiente. Supongamos que se vierte un líquido sobre un material poroso . ¿Podrá el líquido pasar de un agujero a otro y llegar al fondo? Esta pregunta física se modela matemáticamente como una red tridimensional de n × n × n vértices , normalmente llamados "sitios", en los que el borde o los "enlaces" entre cada dos vecinos pueden estar abiertos (permitiendo el paso del líquido) con probabilidad p , o cerrados con probabilidad 1 – p , y se supone que son independientes. Por lo tanto, para un p dado , ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino abierto (es decir, un camino, cada uno de cuyos enlaces es un enlace "abierto") desde la parte superior hasta la parte inferior? El comportamiento para un n grande es de interés principal. Este problema, llamado ahora percolación de enlaces , fue introducido en la literatura matemática por Broadbent y Hammersley (1957), [1] y ha sido estudiado intensivamente por matemáticos y físicos desde entonces.
En un modelo matemático ligeramente diferente para obtener un grafo aleatorio, un sitio está "ocupado" con probabilidad p o "vacío" (en cuyo caso se eliminan sus bordes) con probabilidad 1 – p ; el problema correspondiente se llama percolación de sitios . La pregunta es la misma: para un p dado , ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino entre la parte superior y la inferior? De manera similar, uno puede preguntar, dado un grafo conexo en qué fracción 1 – p de fallas el grafo se volverá desconectado (sin componente grande).
Las mismas preguntas pueden hacerse para cualquier dimensión de red. Como es bastante típico, en realidad es más fácil examinar redes infinitas que solo las grandes. En este caso, la pregunta correspondiente es: ¿existe un cúmulo abierto infinito? Es decir, ¿hay un camino de puntos conectados de longitud infinita "a través" de la red? Por la ley cero-uno de Kolmogorov , para cualquier p dado , la probabilidad de que exista un cúmulo infinito es cero o uno. Dado que esta probabilidad es una función creciente de p (prueba mediante argumento de acoplamiento ), debe haber un p crítico (denotado por p c ) por debajo del cual la probabilidad es siempre 0 y por encima del cual la probabilidad es siempre 1. En la práctica, esta criticidad es muy fácil de observar. Incluso para n tan pequeño como 100, la probabilidad de un camino abierto desde la parte superior hasta la parte inferior aumenta bruscamente desde muy cerca de cero a muy cerca de uno en un corto lapso de valores de p .
La teoría de Flory-Stockmayer fue la primera teoría que investigó los procesos de percolación. [2]
La historia del modelo de percolación tal como lo conocemos tiene sus raíces en la industria del carbón. Desde la revolución industrial, la importancia económica de esta fuente de energía fomentó muchos estudios científicos para comprender su composición y optimizar su uso. Durante las décadas de 1930 y 1940, el análisis cualitativo mediante química orgánica dejó cada vez más espacio para estudios más cuantitativos. [3]
En este contexto, en 1938 se creó la British Coal Utilisation Research Association (BCURA), una asociación de investigación financiada por los propietarios de las minas de carbón. En 1942, Rosalind Franklin , que entonces acababa de graduarse en química en la Universidad de Cambridge, se unió a la BCURA. Comenzó a investigar sobre la densidad y la porosidad del carbón. Durante la Segunda Guerra Mundial, el carbón era un recurso estratégico importante. Se utilizaba como fuente de energía, pero también era el principal componente de las máscaras de gas.
El carbón es un medio poroso. Para medir su densidad “real” había que sumergirlo en un líquido o un gas cuyas moléculas fueran lo suficientemente pequeñas como para llenar sus poros microscópicos. Al intentar medir la densidad del carbón utilizando varios gases (helio, metanol, hexano, benceno), y al encontrar valores diferentes según el gas utilizado, Rosalind Franklin demostró que los poros del carbón están formados por microestructuras de distintas longitudes que actúan como un tamiz microscópico para discriminar los gases. Descubrió también que el tamaño de estas estructuras depende de la temperatura de carbonatación durante la producción del carbón. Con esta investigación obtuvo el doctorado y abandonó la BCURA en 1946. [4]
A mediados de los años cincuenta, Simon Broadbent trabajó en la BCURA como estadístico. Entre otros intereses, estudió el uso del carbón en las máscaras de gas. Una de las cuestiones es entender cómo un fluido puede difundirse en los poros del carbón, modelados como un laberinto aleatorio de túneles abiertos o cerrados. En 1954, durante un simposio sobre métodos de Monte Carlo , le hace preguntas a John Hammersley sobre el uso de métodos numéricos para analizar este modelo. [5]
Broadbent y Hammersley introdujeron en su artículo de 1957 un modelo matemático para modelar este fenómeno, es decir la percolación.
Para la mayoría de los grafos reticulares infinitos, p c no se puede calcular con exactitud, aunque en algunos casos p c existe un valor exacto. Por ejemplo:
[11]
Esto indica que, para una distribución de grados dada, la agrupación conduce a un umbral de percolación mayor, principalmente porque, para un número fijo de enlaces, la estructura de agrupación refuerza el núcleo de la red con el precio de diluir las conexiones globales. Para redes con una alta agrupación, una agrupación fuerte podría inducir la estructura núcleo-periferia, en la que el núcleo y la periferia podrían percolar en diferentes puntos críticos, y el tratamiento aproximado anterior no es aplicable. [12]
El principio de universalidad establece que el valor numérico de p c está determinado por la estructura local del grafo, mientras que el comportamiento cerca del umbral crítico, p c , se caracteriza por exponentes críticos universales . Por ejemplo, la distribución del tamaño de los cúmulos en la criticidad decae como una ley de potencia con el mismo exponente para todas las redes 2d. Esta universalidad significa que para una dimensión dada, los diversos exponentes críticos, la dimensión fractal de los cúmulos en p c es independiente del tipo de red y del tipo de percolación (por ejemplo, enlace o sitio). Sin embargo, recientemente se ha realizado una percolación en una red estocástica planar ponderada (WPSL) y se ha encontrado que aunque la dimensión de la WPSL coincide con la dimensión del espacio donde está incrustada, su clase de universalidad es diferente de la de todas las redes planares conocidas. [13] [14]
El hecho principal en la fase subcrítica es el "decaimiento exponencial". Es decir, cuando p < p c , la probabilidad de que un punto específico (por ejemplo, el origen) esté contenido en un cúmulo abierto (es decir, un conjunto conectado máximo de aristas "abiertas" del grafo) de tamaño r decae a cero exponencialmente en r . Esto fue demostrado para la percolación en tres y más dimensiones por Menshikov (1986) e independientemente por Aizenman y Barsky (1987). En dos dimensiones, formó parte de la prueba de Kesten de que p c = 1/2 . [15]
El gráfico dual de la red cuadrada ℤ 2 es también la red cuadrada. De ello se deduce que, en dos dimensiones, la fase supercrítica es dual con un proceso de percolación subcrítico. Esto proporciona información esencialmente completa sobre el modelo supercrítico con d = 2 . El resultado principal para la fase supercrítica en tres y más dimensiones es que, para N suficientemente grande , hay casi con certeza un cúmulo abierto infinito en la placa bidimensional ℤ 2 × [0, N ] d − 2 . Esto fue demostrado por Grimmett y Marstrand (1990). [16]
En dos dimensiones con p < 1/2 , existe con probabilidad uno un único cúmulo cerrado infinito (un cúmulo cerrado es un conjunto máximo conectado de aristas "cerradas" del grafo). Por lo tanto, la fase subcrítica puede describirse como islas abiertas finitas en un océano cerrado infinito. Cuando p > 1/2 ocurre exactamente lo contrario, con islas cerradas finitas en un océano abierto infinito. El panorama es más complicado cuando d ≥ 3 ya que p c < 1/2 , y existe coexistencia de infinitos clústeres abiertos y cerrados para p entre p c y 1 − p c .
La percolación tiene una singularidad en el punto crítico p = p c y muchas propiedades se comportan como una ley de potencia con , cerca de . La teoría de escala predice la existencia de exponentes críticos , dependiendo del número d de dimensiones, que determinan la clase de la singularidad. Cuando d = 2 estas predicciones están respaldadas por argumentos de la teoría de campos conforme y la evolución de Schramm-Loewner , e incluyen valores numéricos predichos para los exponentes. La mayoría de estas predicciones son conjeturales excepto cuando el número d de dimensiones satisface d = 2 o d ≥ 6 . Incluyen:
Véase Grimmett (1999). [17] En 11 o más dimensiones, estos hechos se prueban en gran medida utilizando una técnica conocida como expansión de encaje. Se cree que una versión de la expansión de encaje debería ser válida para 7 o más dimensiones, tal vez con implicaciones también para el caso umbral de 6 dimensiones. La conexión de la percolación con la expansión de encaje se encuentra en Hara & Slade (1990). [18]
En dos dimensiones, el primer hecho ("no hay percolación en la fase crítica") se prueba para muchas redes, utilizando la dualidad. Se han logrado avances sustanciales en la percolación bidimensional mediante la conjetura de Oded Schramm de que el límite de escala de un gran cúmulo puede describirse en términos de una evolución de Schramm-Loewner . Esta conjetura fue probada por Smirnov (2001) [19] en el caso especial de la percolación del sitio en la red triangular.
La teoría de la percolación se ha utilizado para predecir con éxito la fragmentación de las capas de virus biológicos (cápsides), [21] [22] con el umbral de fragmentación de la cápside del virus de la hepatitis B predicho y detectado experimentalmente. [23] Cuando un número crítico de subunidades se ha eliminado aleatoriamente de la capa nanoscópica, se fragmenta y esta fragmentación puede detectarse utilizando espectroscopia de masas de detección de carga (CDMS) entre otras técnicas de partícula única. Este es un análogo molecular del juego de mesa común Jenga , y tiene relevancia para el estudio más amplio del desmontaje de virus. Curiosamente, las partículas virales más estables (mosaicos con mayores umbrales de fragmentación) se encuentran en mayor abundancia en la naturaleza. [21]
La teoría de la percolación se ha aplicado a estudios sobre cómo la fragmentación ambiental afecta los hábitats animales [24] y a modelos de cómo se propaga la bacteria de la peste Yersinia pestis . [25]
