Notación para diferenciación

Notación del cálculo diferencial

En el cálculo diferencial , no existe una notación uniforme para la diferenciación . En cambio, varios matemáticos han propuesto varias notaciones para la derivada de una función o variable . La utilidad de cada notación varía según el contexto y, a veces, resulta ventajoso utilizar más de una notación en un contexto determinado. A continuación se enumeran las notaciones más comunes para la diferenciación (y su operación opuesta, la antidiferenciación o integración indefinida ).

Notación de Leibniz

morir

Dx

d ² años

dx2^​

La primera y segunda derivadas de y con respecto a x , en la notación de Leibniz.

La notación original empleada por Gottfried Leibniz se utiliza en toda la matemática. Es particularmente común cuando la ecuación y = f ( x ) se considera como una relación funcional entre las variables dependientes e independientes y y x . La notación de Leibniz hace explícita esta relación al escribir la derivada como

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$

Además, la derivada de f en x se escribe

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Las derivadas superiores se escriben como

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Se trata de un sugerente recurso de notación que proviene de manipulaciones formales de símbolos, como en,

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

El valor de la derivada de y en un punto x = a puede expresarse de dos maneras utilizando la notación de Leibniz:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)}$.

La notación de Leibniz permite especificar la variable que se va a derivar (en el denominador). Esto resulta especialmente útil cuando se consideran derivadas parciales . También hace que la regla de la cadena sea fácil de recordar y reconocer:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

La notación de Leibniz para la diferenciación no requiere asignar un significado a símbolos como dx o dy (conocidos como diferenciales ) por sí solos, y algunos autores no intentan asignarles un significado a estos símbolos. Leibniz trató estos símbolos como infinitesimales . Autores posteriores les han asignado otros significados, como infinitesimales en análisis no estándar o derivadas externas . Comúnmente, dx se deja sin definir o se equipara con , mientras que a dy se le asigna un significado en términos de dx , a través de la ecuación ${\displaystyle \Delta x}$

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

que también puede escribirse, por ejemplo

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(ver más abajo). Estas ecuaciones dan lugar a la terminología que se encuentra en algunos textos en los que se hace referencia a la derivada como "coeficiente diferencial" (es decir, el coeficiente de dx ).

Algunos autores y revistas utilizan el símbolo diferencial d en letra romana en lugar de cursiva : d x . La guía de estilo científico ISO/IEC 80000 recomienda este estilo.

Notación de Lagrange

f ′ ( x )

Una función f de x , diferenciada una vez en la notación de Lagrange.

Una de las notaciones modernas más comunes para la diferenciación recibe su nombre de Joseph Louis Lagrange , aunque en realidad fue inventada por Euler y popularizada por él. En la notación de Lagrange, una prima denota una derivada. Si f es una función, entonces su derivada evaluada en x se escribe

${\displaystyle f'(x)}$.

Apareció impresa por primera vez en 1749. ^[1]

Las derivadas superiores se indican utilizando signos primos adicionales, como en el caso de la segunda derivada y de la tercera derivada . El uso de signos primos repetidos acaba resultando complicado. Algunos autores siguen empleando números romanos , normalmente en minúscula, ^{[2] [3]} como en ${\displaystyle f''(x)}$ ${\displaystyle f'''(x)}$

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

para denotar derivadas de cuarto, quinto, sexto y orden superior. Otros autores utilizan números arábigos entre paréntesis, como en

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

Esta notación también permite describir la derivada n- ésima, donde n es una variable. Esto se escribe

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Lagrange incluyen

• U+2032 ◌′ PRIMA (derivada)
• U+2033 ◌″ DOBLE PRIMO (doble derivada)
• U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIMA (tercera derivada)
• U+2057 ◌⁗ CUÁDRUPLE PRIMO (cuarta derivada)

Cuando hay dos variables independientes para una función f ( x ,  y ), se puede seguir la siguiente convención: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

Notación de Lagrange para antidiferenciación

f ⁽⁻¹⁾ ( x )
f ⁽⁻²⁾ ( x )

Las integrales indefinidas simples y dobles de f con respecto a x , en la notación de Lagrange.

Al tomar la antiderivada, Lagrange siguió la notación de Leibniz: ^[5]

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.}$

Sin embargo, como la integración es la operación inversa de la diferenciación, la notación de Lagrange para derivadas de orden superior se extiende también a las integrales. Las integrales repetidas de f pueden escribirse como

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$para la primera integral (esta se confunde fácilmente con la función inversa ), ${\displaystyle f^{-1}(x)}$

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$Para la segunda integral,

${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$para la tercera integral, y

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$para la n -ésima integral.

Notación D

DxyD2f_​​
​^​​

La derivada x de y y la segunda derivada de f , notación de Euler.

Esta notación a veces se llamaLa notación de Euler, aunque fue introducida porLouis François Antoine Arbogast, y parece queLeonhard Eulerno la utilizó.^{[ cita requerida ]}

Esta notación utiliza un operador diferencial denotado como D ( operador D ) ^{[6] [ verificación fallida ]} o D̃ ( operador de Newton-Leibniz ). ^[7] Cuando se aplica a una función f ( x ) , se define por

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

Las derivadas superiores se representan como "potencias" de D (donde los superíndices indican la composición iterada de D ), como en ^[4].

${\displaystyle D^{2}f}$Para la segunda derivada,

${\displaystyle D^{3}f}$para la tercera derivada, y

${\displaystyle D^{n}f}$para la derivada n- ésima.

La notación D deja implícita la variable respecto de la cual se está realizando la diferenciación. Sin embargo, esta variable también se puede hacer explícita poniendo su nombre como subíndice: si f es una función de una variable x , esto se hace escribiendo ^[4]

${\displaystyle D_{x}f}$para la primera derivada,

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$Para la segunda derivada,

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$para la tercera derivada, y

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$para la derivada n- ésima.

Cuando f es una función de varias variables, es habitual utilizar " ∂ ", una d minúscula cursiva estilizada, en lugar de " D ". Como en el caso anterior, los subíndices indican las derivadas que se están tomando. Por ejemplo, las segundas derivadas parciales de una función f ( x , y ) son: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

Véase § Derivadas parciales.

La notación D es útil en el estudio de ecuaciones diferenciales y en álgebra diferencial .

Notación D para antiderivadas

D^-1x
_​y
D ⁻² f

La antiderivada x de y y la segunda antiderivada de f , notación de Euler.

La notación D se puede utilizar para antiderivadas de la misma manera que la notación de Lagrange, ^[8] de la siguiente manera ^[7]

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$para una primera antiderivada,

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$para una segunda antiderivada, y

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$para una n- ésima antiderivada.

Notación de Newton

incógnitaincógnita

La primera y segunda derivada de x , notación de Newton.

La notación de Isaac Newton para la diferenciación (también llamada notación de puntos , fluxiones o, a veces, de manera burda, notación de motas de mosca ^[9] para la diferenciación) coloca un punto sobre la variable dependiente. Es decir, si y es una función de t , entonces la derivada de y con respecto a t es

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Las derivadas superiores se representan mediante múltiples puntos, como en

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Newton extendió esta idea bastante lejos: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Newton incluyen:

• U+0307 ◌̇ PUNTO COMBINADO ARRIBA (derivado)
• U+0308 ◌̈ DIÉRESIS COMBINANTE (derivada doble)
• U+20DB ◌⃛ COMBINANDO TRES PUNTOS ARRIBA (tercera derivada) ← reemplazado por "diéresis combinatoria" + "punto combinatorio arriba".
• U+20DC ◌⃜ COMBINANDO LOS CUATRO PUNTOS ARRIBA (cuarta derivada) ← reemplazado por "diéresis combinatoria" dos veces.
• U+030D ◌̍ COMBINANDO LA LÍNEA VERTICAL DE ARRIBA (integral)
• U+030E ◌̎ COMBINANDO LA DOBLE LÍNEA VERTICAL ARRIBA (segunda integral)
• U+25AD ▭ RECTÁNGULO BLANCO (integral)
• U+20DE ◌⃞ CUADRADO COMBINANTE QUE ENCIerra (integral)
• U+1DE0 ◌ᷠ COMBINACIÓN DE LA LETRA N MINÚSCULA LATINA ( derivada n -ésima)

La notación de Newton se utiliza generalmente cuando la variable independiente denota tiempo . Si la ubicación y es una función de t , entonces denota velocidad ^[11] y denota aceleración ^[12] . Esta notación es popular en física y física matemática . También aparece en áreas de las matemáticas relacionadas con la física, como las ecuaciones diferenciales . ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Al tomar la derivada de una variable dependiente y = f ( x ), existe una notación alternativa: ^[13]

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

Newton desarrolló los siguientes operadores diferenciales parciales utilizando puntos laterales en una X curva ( ⵋ ). Las definiciones dadas por Whiteside se encuentran a continuación: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

Notación de Newton para la integración

incógnitaincógnita

La primera y segunda antiderivadas de x , en una de las notaciones de Newton.

Newton desarrolló muchas notaciones diferentes para la integración en su Quadratura curvarum (1704) y trabajos posteriores : escribió una pequeña barra vertical o prima sobre la variable dependiente ( y̍ ), un rectángulo prefijado ( ▭ y ), o la inclusión del término en un rectángulo ( y ) para denotar la integral fluida o temporal ( absement ).

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}}$

Para denotar integrales múltiples, Newton utilizó dos pequeñas barras verticales o primos ( y̎ ), o una combinación de los símbolos anteriores ▭ y̍  y̍ , para denotar la segunda integral de tiempo (absidad).

${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Las integrales de tiempo de orden superior fueron las siguientes: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}}$

Esta notación matemática no se generalizó debido a dificultades de impresión y a la controversia del cálculo Leibniz-Newton .

Derivadas parciales

fx_​fxy_​

Una función f diferenciada respecto de x , luego respecto de x e y .

Cuando se necesitan tipos de diferenciación más específicos, como en el cálculo multivariado o el análisis tensorial , son comunes otras notaciones.

Para una función f de una sola variable independiente x , podemos expresar la derivada utilizando subíndices de la variable independiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

Este tipo de notación es especialmente útil para tomar derivadas parciales de una función de varias variables.

⁠∂f/∂x⁠

Una función f diferenciada respecto de x .

Las derivadas parciales se distinguen generalmente de las derivadas ordinarias reemplazando el operador diferencial d por un símbolo " ∂ ". Por ejemplo, podemos indicar la derivada parcial de f ( x ,  y ,  z ) con respecto a x , pero no con respecto a y o z de varias maneras:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Lo que hace que esta distinción sea importante es que una derivada no parcial como puede , dependiendo del contexto, interpretarse como una tasa de cambio en relación a cuando se permite que todas las variables varíen simultáneamente, mientras que con una derivada parcial como es explícito que solo una variable debe variar. ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Se pueden encontrar otras notaciones en varios subcampos de las matemáticas, la física y la ingeniería; véase, por ejemplo, las relaciones de Maxwell de la termodinámica . El símbolo es la derivada de la temperatura T con respecto al volumen V mientras se mantiene constante la entropía (subíndice) S , mientras que es la derivada de la temperatura con respecto al volumen mientras se mantiene constante la presión P . Esto se hace necesario en situaciones en las que el número de variables excede los grados de libertad, de modo que uno tiene que elegir qué otras variables se mantendrán fijas. ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$

Las derivadas parciales de orden superior con respecto a una variable se expresan como

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Las derivadas parciales mixtas se pueden expresar como

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.}$

En este último caso las variables se escriben en orden inverso entre las dos notaciones, lo que se explica a continuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

La denominada notación multiíndice se utiliza en situaciones en las que la notación anterior se vuelve complicada o insuficientemente expresiva. Al considerar funciones en , definimos un multiíndice como una lista ordenada de números enteros no negativos: . Luego definimos, para , la notación ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

De esta manera, algunos resultados (como la regla de Leibniz ) que son tediosos de escribir de otras maneras se pueden expresar de forma sucinta; se pueden encontrar algunos ejemplos en el artículo sobre índices múltiples . ^[17]

Notación en cálculo vectorial

El cálculo vectorial se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales o escalares. Son comunes varias notaciones específicas para el caso del espacio euclidiano tridimensional .

Supongamos que ( x , y , z ) es un sistema de coordenadas cartesianas dado , que A es un campo vectorial con componentes y que es un campo escalar . ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$

El operador diferencial introducido por William Rowan Hamilton , escrito ∇ y llamado del o nabla, se define simbólicamente en forma de vector,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

donde la terminología refleja simbólicamente que el operador ∇ también será tratado como un vector ordinario.

∇φ​

Gradiente del campo escalar φ .

• Gradiente : El gradientedel campo escalares un vector, que se expresa simbólicamente mediante la multiplicación de ∇ y el campo escalar, ${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

∇∙ Un

La divergencia del campo vectorial A .

• Divergencia : La divergenciadel campo vectorial A es un escalar, que se expresa simbólicamente mediante el producto escalar de ∇ y el vector A , ${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

∇2φ^​​

El laplaciano del campo escalar φ .

• Laplaciano : El Laplacianodel campo escalares un escalar, que se expresa simbólicamente mediante la multiplicación escalar de ∇ ² y el campo escalar φ , ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

∇× A

El rizo del campo vectorial A .

• Rotación : La rotación, o, del campo vectorial A es un vector, que se expresa simbólicamente mediante el producto vectorial de ∇ y el vector A , ${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Muchas operaciones simbólicas de derivadas se pueden generalizar de manera sencilla mediante el operador de gradiente en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la regla del producto de una variable tiene un análogo directo en la multiplicación de campos escalares mediante la aplicación del operador de gradiente, como en

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

Muchas otras reglas del cálculo de una sola variable tienen análogos del cálculo vectorial para el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano.

Se han desarrollado notaciones adicionales para tipos de espacios más exóticos. Para los cálculos en el espacio de Minkowski , el operador de d'Alembert , también llamado operador de d'Alembert, operador de onda u operador de caja, se representa como , o como cuando no entra en conflicto con el símbolo del laplaciano. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Delta }$

Véase también

• Sociedad Analítica  – Grupo británico del siglo XIX que promovió el uso del cálculo leibniziano o analítico, en oposición al cálculo newtoniano.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Derivada  – Tasa instantánea de cambio (matemáticas)
• Fluxión  – Concepto matemático histórico; forma de derivada
• Matriz de Hesse  – Matriz (matemática) de derivadas segundas
• Matriz jacobiana  : Matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función con valores vectorialesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lista de símbolos matemáticos por tema  – Significados de los símbolos utilizados en matemáticasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Cálculo operacional

Referencias

1. Grosse, Johann; Breitkopf, Bernhard Christoph; Martín, Johann Christian; Gleditsch, Johann Friedrich (septiembre de 1749). "Notación para diferenciación". Nova Acta Eruditorum : 512.
2. Morris, Carla C. (28 de julio de 2015). Fundamentos del cálculo . Stark, Robert M., 1930-2017. Hoboken, Nueva Jersey. ISBN 9781119015314.OCLC 893974565  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Osborne, George A. (1908). Cálculo diferencial e integral. Boston: DC Heath and co., págs. 63-65.
4. El cálculo diferencial e integral ( Augustus De Morgan , 1842). pp. 267-268
5. Lagrange , Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
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8. Weisstein, Eric W. "Integral repetida". De MathWorld --Un recurso web de Wolfram. "Integral repetida". Archivado desde el original el 1 de febrero de 2016. Consultado el 7 de febrero de 2016 .
9. Zill, Dennis G. (2009). "1.1". Un primer curso de ecuaciones diferenciales (novena edición). Belmont, CA : Brooks/Cole . p. 3. ISBN 978-0-495-10824-5.
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    • 1.ª a 5.ª derivadas: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), pág. 7 (pág. 5r en el manuscrito original: "Newton Papers: On the Quadrature of Curves". Archivado desde el original el 28 de febrero de 2016. Consultado el 5 de febrero de 2016 .).
    • 1.ª a 7.ª, n.ª y ( n +1)ª derivadas: método de fluxiones ( Newton , 1736), pp. 313-318 y p. 265 (p. 163 en el manuscrito original: «Newton Papers: Fluxions». Archivado desde el original el 2017-04-06 . Consultado el 2016-02-05 .)
    • Derivadas 1.ª a 5.ª: Tratado de fluxiones (Colin MacLaurin, 1742), pág. 613
    • Derivadas 1.ª a 4.ª y n.ª : Artículos "Diferencial" y "Fluxión", Diccionario de Matemáticas Pura y Mixta (Peter Barlow, 1814)
    • Derivadas 1.ª a 4.ª, 10.ª y n.ª : Artículos 622, 580 y 579 en A History of Mathematical Notations (F. Cajori, 1929)
    • Derivadas 1.ª a 6.ª y n.ª : The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (DT Whiteside, 1976), págs. 88 y 17
    • Derivadas 1.ª a 3.ª y n.ª : una historia del análisis (Hans Niels Jahnke, 2000), págs. 84-85
    El punto para la derivada n- ésima puede omitirse ( ) ${\displaystyle {\overset {\,n}{y}}}$
11. Weisstein, Eric W. "Overdot". De MathWorld --Un recurso web de Wolfram. "Overdot". Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015. Consultado el 5 de febrero de 2016 .
12. Weisstein, Eric W. "Double Dot". De MathWorld --Un recurso web de Wolfram. "Double Dot". Archivado desde el original el 2016-03-03 . Consultado el 2016-02-05 .
13. Artículo 580 en Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929), Dover Publications, Inc. Nueva York. ISBN 0-486-67766-4 
14. "Patrones del pensamiento matemático a finales del siglo XVII", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, vol. 1, n.º 3 (DT Whiteside, 1961), págs. 361-362,378
15. SB Engelsman ha dado definiciones más estrictas en Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation (2000), pp. 223-226.
16. Notación de Newton para la integración reproducida de:
    • 1.ª a 3.ª integrales: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), pág. 7 (pág. 5r en el manuscrito original: "Newton Papers: On the Quadrature of Curves". Archivado desde el original el 28 de febrero de 2016. Consultado el 5 de febrero de 2016 .)
    • 1.ª a 3.ª integrales: método de fluxiones ( Newton , 1736), pp. 265-266 (p. 163 en el manuscrito original: «Newton Papers: Fluxions». Archivado desde el original el 2017-04-06 . Consultado el 2016-02-05 .)
    • 4ª Integrales: La doctrina de las fluxiones (James Hodgson, 1736), págs. 54 y 72
    • Integrales 1.ª a 2.ª: artículos 622 y 365 en A History of Mathematical Notations (F. Cajori, 1929)
    La notación integral n -ésima se deduce de la derivada n- ésima. Podría utilizarse en Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
17. Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6.OCLC 682907530  .

Enlaces externos

• Primeros usos de los símbolos del cálculo, mantenido por Jeff Miller (archivado el 26 de julio de 2020 en Wayback Machine ).