Variación total

Medida del comportamiento de oscilación local

En matemáticas , la variación total identifica varios conceptos ligeramente diferentes, relacionados con la estructura ( local o global) del codominio de una función o una medida . Para una función continua de valor real f , definida en un intervalo [ a , b ] ⊂ R , su variación total en el intervalo de definición es una medida de la longitud de arco unidimensional de la curva con ecuación paramétrica x ↦ f ( x ), para x ∈ [ a , b ]. Las funciones cuya variación total es finita se denominan funciones de variación acotada .

Nota histórica

El concepto de variación total para funciones de una variable real fue introducido por primera vez por Camille Jordan en el artículo (Jordan 1881). ^[1] Utilizó el nuevo concepto para demostrar un teorema de convergencia para series de Fourier de funciones periódicas discontinuas cuya variación está acotada . Sin embargo, la extensión del concepto a funciones de más de una variable no es sencilla por varias razones.

Definiciones

Variación total para funciones de una variable real

Definición 1.1. La variación total de una función de valor real (o más generalmente de valor complejo ) , definida en un intervalo, es la cantidad ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

donde el supremo recorre el conjunto de todas las particiones del intervalo dado . Lo que significa que . ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n_{P}}=b}$

Variación total para funciones denorte> 1 variables reales

Definición 1.2. ^[2] Sea Ω un subconjunto abierto de R ⁿ . Dada una función f perteneciente a L ¹ ( Ω ), la variación total de f en Ω se define como

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}$

dónde

• ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$es el conjunto de funciones vectoriales continuamente diferenciables de soporte compacto contenidas en , ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$es la norma suprema esencial , y
• ${\displaystyle \operatorname {div} }$es el operador de divergencia .

Esta definición no requiere que el dominio de la función dada sea un conjunto acotado . ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Teoría de la variación total de la medida

Definición de variación total clásica

Siguiendo a Saks (1937, p. 10), considérese una medida con signo en un espacio medible : entonces es posible definir dos funciones de conjunto y , llamadas respectivamente variación superior y variación inferior , de la siguiente manera ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

claramente

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma }$

Definición 1.3. La variación (también llamada variación absoluta ) de la medida con signo es la función del conjunto ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma }$

y su variación total se define como el valor de esta medida en todo el espacio de definición, es decir

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}$

Definición moderna de norma de variación total

Saks (1937, p. 11) utiliza variaciones superiores e inferiores para demostrar la descomposición de Hahn-Jordan : según su versión de este teorema, la variación superior e inferior son respectivamente una medida no negativa y una no positiva . Utilizando una notación más moderna, defina

${\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

${\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

Entonces y son dos medidas no negativas tales que ${\displaystyle \mu ^{+}}$ ${\displaystyle \mu ^{-}}$

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$

${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

La última medida se denomina a veces, por abuso de notación , medida de variación total .

Norma de variación total de medidas complejas

Si la medida es compleja, es decir, es una medida compleja , no se puede definir su variación superior e inferior y el teorema de descomposición de Hahn-Jordan solo se puede aplicar a sus partes reales e imaginarias. Sin embargo, es posible seguir a Rudin (1966, pp. 137-139) y definir la variación total de la medida compleja de la siguiente manera ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Definición 1.4. La variación de la medida de valor complejo es la función del conjunto ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma }$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones de un conjunto medible en un número contable de subconjuntos mesurables disjuntos. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$

Esta definición coincide con la definición anterior para el caso de medidas con signo de valor real. ${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

Norma de variación total de medidas con valores vectoriales

La variación así definida es una medida positiva (véase Rudin (1966, p. 139)) y coincide con la definida en 1.3 cuando es una medida con signo : su variación total se define como se indica más arriba. Esta definición también funciona si es una medida vectorial : la variación se define entonces mediante la siguiente fórmula ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma }$

donde el supremo es el indicado anteriormente. Esta definición es ligeramente más general que la dada por Rudin (1966, p. 138) ya que sólo requiere considerar particiones finitas del espacio : esto implica que puede usarse también para definir la variación total en medidas finitas-aditivas . ${\displaystyle X}$

Variación total de las medidas de probabilidad

La variación total de cualquier medida de probabilidad es exactamente uno, por lo tanto no es interesante como medio para investigar las propiedades de dichas medidas. Sin embargo, cuando μ y ν son medidas de probabilidad , la distancia de variación total de las medidas de probabilidad se puede definir como donde la norma es la norma de variación total de las medidas con signo. Usando la propiedad que , eventualmente llegamos a la definición equivalente ${\displaystyle \|\mu -\nu \|}$ ${\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}$

${\displaystyle \|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}}$

y sus valores no son triviales. El factor anterior suele omitirse (como es la convención en el artículo sobre la distancia de variación total de las medidas de probabilidad ). De manera informal, esta es la mayor diferencia posible entre las probabilidades que las dos distribuciones de probabilidad pueden asignar al mismo evento. Para una distribución categórica, es posible escribir la distancia de variación total de la siguiente manera ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.}$

También se puede normalizar a valores en dividiendo a la mitad la definición anterior de la siguiente manera ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|}$^[3]

Propiedades básicas

Variación total de funciones diferenciables

La variación total de una función se puede expresar como una integral que involucra la función dada en lugar de como el supremo de los funcionales de las definiciones 1.1 y 1.2 . ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle f}$

La forma de la variación total de una función diferenciable de una variable

Teorema 1. La variación total de una función diferenciable , definida en un intervalo , tiene la siguiente expresión si es integrable según Riemann ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}$

Si es diferenciable y monótona , entonces lo anterior se simplifica a ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(a)-f(b)|}$

Para cualquier función diferenciable , podemos descomponer el intervalo de dominio , en subintervalos (con ) en el que es localmente monótona, entonces la variación total de sobre se puede escribir como la suma de las variaciones locales en esos subintervalos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,a_{1}],[a_{1},a_{2}],\dots ,[a_{N},b]}$ ${\displaystyle a<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{N}<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{a}^{b}(f)&=V_{a}^{a_{1}}(f)+V_{a_{1}}^{a_{2}}(f)+\,\cdots \,+V_{a_{N}}^{b}(f)\\[0.3em]&=|f(a)-f(a_{1})|+|f(a_{1})-f(a_{2})|+\,\cdots \,+|f(a_{N})-f(b)|\end{aligned}}}$

La forma de la variación total de una función diferenciable de varias variables

Teorema 2. Dada una función definida en un conjunto abierto acotado , con de clase , la variación total de tiene la siguiente expresión ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}$.

Prueba

El primer paso en la prueba es demostrar primero una igualdad que se sigue del teorema de Gauss-Ostrogradsky .

Lema

En las condiciones del teorema, se cumple la siguiente igualdad:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi }$

Prueba del lema

Del teorema de Gauss-Ostrogradsky :

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }$

sustituyendo , tenemos: ${\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} }$

donde es cero en el borde de por definición: ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}$

Prueba de la igualdad

En las condiciones del teorema, del lema tenemos:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

en la última parte podría omitirse, porque por definición su supremo esencial es como máximo uno. ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$

Por otra parte, consideramos y que es la aproximación de en con la misma integral. Podemos hacer esto ya que es denso en . Ahora, nuevamente, sustituyendo en el lema: ${\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}}$ ${\displaystyle \theta _{N}^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \theta _{N}}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}}$

Esto significa que tenemos una secuencia convergente de que tiende a así como también sabemos que . QED ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$ ${\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$ ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

Se puede ver a partir de la prueba que el supremo se alcanza cuando

${\displaystyle \varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.}$

Se dice que una función es de variación acotada precisamente si su variación total es finita. ${\displaystyle f}$

Variación total de una medida

La variación total es una norma definida en el espacio de medidas de variación acotada. El espacio de medidas en una σ-álgebra de conjuntos es un espacio de Banach , llamado espacio ca , relativo a esta norma. Está contenido en el espacio de Banach más grande, llamado espacio ba , que consiste en medidas finitamente aditivas (en oposición a las contablemente aditivas), también con la misma norma. La función de distancia asociada a la norma da lugar a la distancia de variación total entre dos medidas μ y ν .

Para medidas finitas en R , el vínculo entre la variación total de una medida μ y la variación total de una función, como se describió anteriormente, es el siguiente. Dado μ , defina una función mediante ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.}$

Entonces, la variación total de la medida con signo μ es igual a la variación total, en el sentido anterior, de la función . En general, la variación total de una medida con signo se puede definir utilizando el teorema de descomposición de Jordan por ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,}$

para cualquier medida con signo μ en un espacio medible . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

Aplicaciones

La variación total puede ser vista como una función real no negativa definida en el espacio de funciones reales (para el caso de funciones de una variable) o en el espacio de funciones integrables (para el caso de funciones de varias variables). Como función, la variación total encuentra aplicaciones en varias ramas de las matemáticas y la ingeniería, como el control óptimo , el análisis numérico y el cálculo de variaciones , donde la solución a un determinado problema tiene que minimizar su valor. A modo de ejemplo, el uso de la función de variación total es común en los siguientes dos tipos de problemas

• Análisis numérico de ecuaciones diferenciales : es la ciencia que se ocupa de encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales . Las aplicaciones de la variación total a estos problemas se detallan en el artículo " Variación total decreciente "
• Reducción de ruido de imágenes : en el procesamiento de imágenes , la reducción de ruido es un conjunto de métodos utilizados para reducir el ruido en una imagen reconstruida a partir de datos obtenidos por medios electrónicos, por ejemplo, transmisión de datos o detección . La " reducción de ruido por variación total " es el nombre que recibe la aplicación de la variación total a la reducción de ruido de la imagen; se pueden encontrar más detalles en los artículos de (Rudin, Osher y Fatemi 1992) y (Caselles, Chambolle y Novaga 2007). Una extensión sensata de este modelo a imágenes en color, llamada Colour TV, se puede encontrar en (Blomgren y Chan 1998).

Véase también

• Variación limitada
• variación p
• Variación total decreciente
• Eliminación de ruido por variación total
• Variación cuadrática
• Distancia de variación total de las medidas de probabilidad
• Prueba de Kolmogorov-Smirnov
• Difusión anisotrópica

Notas

1. Según Golubov y Vitushkin (2001).
2. Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego (2000). Funciones de variación acotada y problemas de discontinuidad libre. Oxford University Press. pág. 119. ISBN 9780198502456.
3. Gibbs, Alison; Francis Edward Su (2002). "Sobre la elección y delimitación de métricas de probabilidad" (PDF) . pág. 7. Consultado el 8 de abril de 2017 .

Referencias históricas

• Arzelà, Cesare (7 de mayo de 1905), "Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (Sobre funciones de dos variables de variación acotada)", Rediconto delle Sessioni della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna , Nuova serie (en italiano) , IX (4): 100–107, JFM  36.0491.02, archivado desde el original el 7 de agosto de 2007.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Variación de Arzelà", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Variación de Fréchet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Variación de Hardy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Variación de Pierpont", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Variación de Vitali", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Variación del plano de Tonelli", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatoli G. (2001) [1994], "Variación de una función", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Jordan, Camille (1881), "Sur la série de Fourier", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 92 : 228–230, JFM  13.0184.01(disponible en Gallica ). Este es, según Boris Golubov, el primer artículo sobre funciones de variación acotada.
• Hahn, Hans (1921), Theorie der reellen Funktionen (en alemán), Berlín: Springer Verlag, págs. VII+600, JFM  48.0261.09.
• Vitali, Giuseppe (1908) [17 de diciembre de 1907], "Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (Sobre grupos de puntos y funciones de variables reales)", Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (en italiano), 43 : 75–92, JFM  39.0101.05, archivado desde el original el 31 de marzo de 2009. El artículo que contiene la primera prueba del teorema de cobertura de Vitali .

Referencias

• Adams, C. Raymond; Clarkson, James A. (1933), "Sobre las definiciones de variación limitada para funciones de dos variables", Transactions of the American Mathematical Society , 35 (4): 824–854, doi : 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2 , JFM  59.0285.01, MR  1501718, Zbl  0008.00602.
• Cesari, Lamberto (1936), "Sulle funzioni a variazione limitata (Sobre las funciones de variación acotada)", Annali della Scuola Normale Superiore , II (en italiano), 5 (3–4): 299–313, JFM  62.0247.03 , SEÑOR  1556778, Zbl  0014.29605Disponible en Numdam.

• Leoni, Giovanni (2017), Un primer curso en espacios de Sobolev: segunda edición , Estudios de posgrado en matemáticas, American Mathematical Society, págs. xxii+734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
• Saks, Stanisław (1937). Teoría de la Integral. Monografía Matematyczne. vol. 7 (2ª ed.). Warszawa-Lwów: GE Stechert & Co. págs. VI+347. JFM  63.0183.05. Zbl  0017.30004.. (disponible en la Biblioteca Virtual de Ciencias de Polonia). Traducción al inglés del original en francés de Laurence Chisholm Young , con dos notas adicionales de Stefan Banach .
• Rudin, Walter (1966), Análisis real y complejo , McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (1.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill, págs. xi+412, MR  0210528, Zbl  0142.01701.

Enlaces externos

Una variable

• "Variación total" en PlanetMath .

Una y más variables

• Función de variación acotada en Enciclopedia de Matemáticas

Teoría de la medida

• Rowland, Todd. "Variación total". MathWorld ..
• Descomposición de Jordan en PlanetMath ..
• Descomposición de Jordan en la Enciclopedia de Matemáticas

Aplicaciones

• Caselles, Vicent; Chambolle, Antonin; Novaga, Matteo (2007), El conjunto de discontinuidad de soluciones del problema de eliminación de ruido de TV y algunas extensiones, SIAM , Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, archivado desde el original el 27 de septiembre de 2011(un trabajo que trata sobre la aplicación de la variación total en problemas de eliminación de ruido para el procesamiento de imágenes ).

• Rudin, Leonid I.; Osher, Stanley; Fatemi, Emad (1992), "Algoritmos de eliminación de ruido basados ​​en variación total no lineal", Physica D: Nonlinear Phenomena , 60 (1–4), Physica D: Nonlinear Phenomena 60.1: 259-268: 259–268, Bibcode :1992PhyD...60..259R, doi :10.1016/0167-2789(92)90242-F.

• Blomgren, Peter; Chan, Tony F. (1998), "Color TV: métodos de variación total para la restauración de imágenes con valores vectoriales", IEEE Transactions on Image Processing , 7 (3), Procesamiento de imágenes, IEEE Transactions on, vol. 7, no. 3: 304-309: 304, Bibcode :1998ITIP....7..304B, doi :10.1109/83.661180, PMID  18276250.

• Tony F. Chan y Jackie (Jianhong) Shen (2005), Procesamiento y análisis de imágenes: métodos variacionales, PDE, wavelet y estocásticos, SIAM , ISBN 0-89871-589-X (con una cobertura en profundidad y aplicaciones extensas de variaciones totales en el procesamiento de imágenes moderno, como lo iniciaron Rudin, Osher y Fatemi).