La multilateración de rango verdadero (también denominada multilateración de rango-rango y multilateración esférica ) es un método para determinar la ubicación de un vehículo móvil o un punto estacionario en el espacio utilizando múltiples rangos ( distancias ) entre el vehículo/punto y múltiples ubicaciones conocidas espacialmente separadas ( a menudo denominadas "estaciones"). [1] [2] Las ondas de energía pueden participar en la determinación del alcance, pero no son necesarias.
La multilateración de rango real es tanto un tema matemático como una técnica aplicada que se utiliza en varios campos. Una aplicación práctica que involucra una ubicación fija ocurre en topografía . [3] [4] Las aplicaciones que involucran la ubicación de un vehículo se denominan navegación cuando las personas/equipos a bordo son informados de su ubicación, y se denominan vigilancia cuando las entidades fuera del vehículo son informadas de la ubicación del vehículo.
Se pueden utilizar dos rangos de inclinación desde dos ubicaciones conocidas para ubicar un tercer punto en un espacio (plano) cartesiano bidimensional, que es una técnica que se aplica con frecuencia (por ejemplo, en topografía). De manera similar, se pueden utilizar dos rangos esféricos para localizar un punto en una esfera, que es un concepto fundamental de la antigua disciplina de la navegación celeste , denominada problema de intercepción de altitud . Además, si hay más rangos disponibles que el mínimo, es una buena práctica utilizarlos también. Este artículo aborda la cuestión general de la determinación de la posición utilizando múltiples rangos.
En geometría bidimensional , se sabe que si un punto se encuentra en dos círculos, entonces los centros de los círculos y los dos radios proporcionan información suficiente para reducir las posibles ubicaciones a dos: una de las cuales es la solución deseada y la otra es una solución. solución ambigua. La información adicional a menudo reduce las posibilidades a una ubicación única. En geometría tridimensional, cuando se sabe que un punto se encuentra en las superficies de tres esferas, entonces los centros de las tres esferas junto con sus radios también proporcionan información suficiente para reducir las posibles ubicaciones a no más de dos (a menos que el los centros están en línea recta).
La multilateración de rango verdadero se puede contrastar con la multilateración de pseudorango más frecuente , que emplea diferencias de rango para localizar un punto (normalmente, móvil). La multilateración de pseudorango casi siempre se implementa midiendo los tiempos de llegada (TOA) de las ondas de energía. La multilateración de rango verdadero también se puede contrastar con la triangulación , que implica la medición de ángulos .
No existe un término general aceptado o ampliamente utilizado para lo que aquí se denomina multilateración de rango verdadero . Se seleccionó ese nombre porque: (a) es una descripción precisa y una terminología parcialmente familiar ( en este contexto se utiliza a menudo la multilateración ); (b) evita especificar el número de rangos involucrados (como lo hace, por ejemplo, rango-rango ; (c) evita implicar una aplicación (como lo hace, por ejemplo, navegación DME/DME o trilateración ) y (d) y evita confusión con los más Multilateración de pseudorango común .
Para rangos y errores de medición similares, un sistema de navegación y vigilancia basado en multilateración de rango real brinda servicio a un área 2D o volumen 3D significativamente mayor que los sistemas basados en multilateración de pseudorango . Sin embargo, a menudo es más difícil o costoso medir rangos verdaderos que medir rangos pseudo. Para distancias de hasta unos pocos kilómetros y ubicaciones fijas, el alcance real se puede medir manualmente. Esto se ha hecho en la topografía durante varios miles de años, utilizando, por ejemplo, cuerdas y cadenas.
Para distancias más largas y/o vehículos en movimiento, generalmente se necesita un sistema de radio/radar. Esta tecnología se desarrolló por primera vez alrededor de 1940 junto con el radar. Desde entonces, se han empleado tres métodos:
Los algoritmos de multilateración de rango real se pueden dividir en función de
Cualquier algoritmo de multilateración de pseudorango puede especializarse para su uso con multilateración de rango verdadero.
Es probable que se conozca una solución analítica desde hace más de 1.000 años y se proporciona en varios textos. [6] Además, se pueden adaptar fácilmente algoritmos para un espacio cartesiano tridimensional.
El algoritmo más simple emplea geometría analítica y un marco de coordenadas basado en estaciones. Por lo tanto, considere los centros del círculo (o estaciones) C1 y C2 en la Fig. 1 que tienen coordenadas conocidas (por ejemplo, ya han sido estudiadas) y, por lo tanto, cuya separación se conoce. La figura 'página' contiene C1 y C2 . Si un tercer 'punto de interés' P (por ejemplo, un vehículo u otro punto a inspeccionar) está en un punto desconocido , entonces el teorema de Pitágoras produce
De este modo,
Tenga en cuenta que tiene dos valores (es decir, la solución es ambigua); Por lo general, esto no es un problema.
Si bien hay muchas mejoras, la Ecuación 1 es la relación de multilateración de rango verdadero más fundamental. La navegación DME/DME de aeronaves y el método de trilateración de topografía son ejemplos de su aplicación. Durante la Segunda Guerra Mundial, el Oboe y durante la Guerra de Corea, SHORAN utilizó el mismo principio para guiar aviones basándose en alcances medidos hacia dos estaciones terrestres. SHORAN se utilizó posteriormente para la exploración petrolera en alta mar y para estudios aéreos. El sistema de reconocimiento aéreo Australian Aerodist utilizó multilateración cartesiana de rango real en 2-D. [7] Este escenario 2-D es lo suficientemente importante como para que el término trilateración se aplique a menudo a todas las aplicaciones que involucran una línea de base conocida y dos mediciones de rango.
La línea de base que contiene los centros de los círculos es un eje de simetría. Las soluciones correctas y ambiguas son perpendiculares e igualmente distantes (en lados opuestos) de la línea de base. Generalmente, la solución ambigua se identifica fácilmente. Por ejemplo, si P es un vehículo, cualquier movimiento hacia o desde la línea de base será opuesto al de la solución ambigua; por lo tanto, una medición aproximada del rumbo del vehículo es suficiente. Un segundo ejemplo: los topógrafos saben muy bien de qué lado de la línea de base se encuentra P. Un tercer ejemplo: en aplicaciones donde P es una aeronave y C1 y C2 están en tierra, la solución ambigua suele ser bajo tierra.
Si es necesario, los ángulos interiores del triángulo C1-C2-P se pueden encontrar usando la ley trigonométrica de los cosenos . Además, si es necesario, las coordenadas de P se pueden expresar en un segundo sistema de coordenadas mejor conocido (por ejemplo, el sistema Universal Transverse Mercator (UTM) , siempre que las coordenadas de C1 y C2 se conozcan en ese segundo sistema. Ambas cosas se realizan a menudo en levantamientos cuando se emplea el método de trilateración. [8] Una vez establecidas las coordenadas de P , las líneas C1-P y C2-P pueden usarse como nuevas líneas de base y puntos adicionales encuestados. Por lo tanto, se pueden medir áreas o distancias grandes basándose en múltiples triángulos más pequeños, lo que se denomina poligonal .
Una suposición implícita para que la ecuación anterior sea cierta es que y se relacionan con la misma posición de P. Cuando P es un vehículo, normalmente y debe medirse dentro de una tolerancia de sincronización que depende de la velocidad del vehículo y del error de posición permitido del vehículo. Alternativamente, se puede tener en cuenta el movimiento del vehículo entre mediciones de alcance, a menudo mediante navegación a estima.
También es posible una solución trigonométrica (caso lateral). Además, es posible una solución que emplee gráficos. A veces se emplea una solución gráfica durante la navegación en tiempo real, como una superposición en un mapa.
Existen múltiples algoritmos que resuelven el problema de multilateración cartesiana de rango verdadero tridimensional directamente (es decir, en forma cerrada); por ejemplo, Fang. [9] Además, se pueden adoptar algoritmos de forma cerrada desarrollados para la multilateración de pseudorango . [10] [6] El algoritmo de Bancroft [11] (adaptado) emplea vectores, lo cual es una ventaja en algunas situaciones.
El algoritmo más simple corresponde a los centros de las esferas en la Fig. 2. La 'página' de la figura es el plano que contiene C1 , C2 y C3 . Si P es un 'punto de interés' (por ejemplo, un vehículo) en , entonces el teorema de Pitágoras produce los rangos inclinados entre P y los centros de la esfera:
Por tanto, las coordenadas de P son:
El plano que contiene los centros de las esferas es un plano de simetría. Las soluciones correctas y ambiguas son perpendiculares a él e igualmente distantes de él, en lados opuestos.
Muchas aplicaciones de multilateración de rango real tridimensional implican rangos cortos (por ejemplo, fabricación de precisión). [12] La integración de la medición de alcance desde tres o más radares (por ejemplo, ERAM de la FAA ) es una aplicación de vigilancia de aeronaves en 3-D. La multilateración tridimensional de alcance real se ha utilizado de forma experimental con satélites GPS para la navegación aérea. [5] El requisito de que una aeronave esté equipada con un reloj atómico excluye su uso general. Sin embargo, la asistencia del reloj del receptor GPS es un área de investigación activa, incluida la asistencia a través de una red. Por tanto, las conclusiones pueden cambiar. [13] La Multilateración de alcance real 3-D fue evaluada por la Organización de Aviación Civil Internacional como un sistema de aterrizaje de aviones, pero se descubrió que otra técnica era más eficiente. [14] Medir con precisión la altitud de una aeronave durante la aproximación y el aterrizaje requiere muchas estaciones terrestres a lo largo de la trayectoria de vuelo.
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Este es un problema clásico de navegación celeste (o astronómica), denominado problema de intercepción de altitud (Fig. 3). Es el equivalente en geometría esférica del método topográfico de trilateración (aunque las distancias involucradas son generalmente mucho mayores). Una solución en el mar (que no necesariamente involucra al Sol y la Luna) fue posible gracias al cronómetro marino (introducido en 1761) y al descubrimiento de la "línea de posición" (LOP) en 1837. El método de solución que ahora se enseña más en las universidades ( ej., la Academia Naval de Estados Unidos) emplea trigonometría esférica para resolver un triángulo esférico oblicuo basándose en mediciones sextantes de la "altitud" de dos cuerpos celestes. [15] [16] Este problema también se puede abordar mediante el análisis vectorial. [17] Históricamente, se emplearon técnicas gráficas, por ejemplo, el método de intercepción . Estos pueden acomodar más de dos "altitudes" medidas. Debido a la dificultad de realizar mediciones en el mar, a menudo se recomiendan de 3 a 5 "altitudes".
Como la Tierra se modela mejor como un elipsoide de revolución que como una esfera, se pueden utilizar técnicas iterativas en implementaciones modernas. [18] En aviones y misiles de gran altitud, un subsistema de navegación celeste a menudo se integra con un subsistema de navegación inercial para realizar navegación automatizada, por ejemplo, US Air Force SR-71 Blackbird y B-2 Spirit .
Si bien está pensado como un sistema de multilateración de pseudo alcance 'esférico', Loran-C también ha sido utilizado como un sistema de multilateración de alcance real 'esférico' por usuarios bien equipados (por ejemplo, el Servicio Hidrográfico Canadiense). [2] Esto permitió ampliar significativamente el área de cobertura de una tríada de estaciones Loran-C (por ejemplo, duplicarla o triplicarla) y reducir el número mínimo de transmisores disponibles de tres a dos. En la aviación moderna, se miden con mayor frecuencia rangos inclinados que rangos esféricos; sin embargo, cuando se conoce la altitud de la aeronave, los rangos inclinados se convierten fácilmente en rangos esféricos. [6]
Cuando hay más mediciones de alcance disponibles que dimensiones problemáticas, ya sea desde las mismas estaciones C1 y C2 (o C1 , C2 y C3 ), o desde estaciones adicionales, al menos se acumulan estos beneficios:
El algoritmo iterativo de Gauss-Newton para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales (NLLS) generalmente se prefiere cuando hay más mediciones "buenas" que el mínimo necesario. Una ventaja importante del método de Gauss-Newton sobre muchos algoritmos de forma cerrada es que trata los errores de rango de forma lineal, que suele ser su naturaleza, reduciendo así el efecto de los errores de rango al promediar. [10] El método de Gauss-Newton también se puede utilizar con el número mínimo de rangos medidos. Dado que es iterativo, el método de Gauss-Newton requiere una estimación de la solución inicial.
En el espacio cartesiano tridimensional, una cuarta esfera elimina la solución ambigua que ocurre con tres rangos, siempre que su centro no sea coplanar con los tres primeros. En el espacio cartesiano o esférico bidimensional, un tercer círculo elimina la solución ambigua que ocurre con dos rangos, siempre que su centro no sea colineal con los dos primeros.
Este artículo describe en gran medida la aplicación "única" de la técnica de multilateración de rango real, que es el uso más básico de la técnica. Con referencia a la Fig. 1, la característica de las situaciones "únicas" es que el punto P y al menos uno de C1 y C2 cambian de una aplicación de la técnica de multilateración de rango real a la siguiente. Esto es apropiado para topografía, navegación celeste utilizando avistamientos manuales y algunas navegación DME/DME de aeronaves.
Sin embargo, en otras situaciones, la técnica de multilateración de rango real se aplica de forma repetitiva (esencialmente de forma continua). En esas situaciones, C1 y C2 (y quizás Cn, n = 3,4,... ) permanecen constantes y P es el mismo vehículo. Aplicaciones de ejemplo (e intervalos seleccionados entre mediciones) son: vigilancia de aeronaves con radar múltiple (5 y 12 segundos, dependiendo del rango de cobertura del radar), reconocimiento aéreo, navegación Loran-C con un reloj de usuario de alta precisión (aproximadamente 0,1 segundos) y algunas Navegación DME/DME de la aeronave (aproximadamente 0,1 segundos). Generalmente, las implementaciones para uso repetitivo: (a) emplean un algoritmo de 'rastreador' [19] (además del algoritmo de solución de multilateración), que permite comparar y promediar de alguna manera las mediciones recopiladas en diferentes momentos; y (b) utilizan un algoritmo de solución iterativo, ya que (b1) admiten números variables de mediciones (incluidas mediciones redundantes) y (b2) inherentemente tienen una suposición inicial cada vez que se invoca el algoritmo de solución.
También son posibles los sistemas de multilateración híbridos, es decir, aquellos que no son sistemas de alcance verdadero ni de pseudo alcance. Por ejemplo, en la Fig. 1, si los centros del círculo se desplazan hacia la izquierda de modo que C1 esté en y C2 esté en entonces el punto de interés P está en
Esta forma de solución depende explícitamente de la suma y diferencia de y y no requiere "encadenamiento" de la solución a la solución. Podría implementarse como un sistema de multilateración de rango real midiendo y .
Sin embargo, también podría implementarse como un sistema híbrido de multilateración midiendo y utilizando diferentes equipos, por ejemplo, para la vigilancia mediante un radar multiestático con un transmisor y dos receptores (en lugar de dos radares monoestáticos ). Si bien eliminar un transmisor es un beneficio, existe un "coste" compensatorio: la tolerancia de sincronización para las dos estaciones depende de la velocidad de propagación (típicamente, la velocidad de la luz) en lugar de la velocidad del punto P , para poder medir con precisión. ambos .
Si bien no se han implementado operativamente, se han investigado sistemas híbridos de multilateración para la vigilancia de aeronaves cerca de aeropuertos y como sistema de respaldo de navegación GPS para la aviación. [20]
La precisión de la posición de un sistema de multilateración de rango verdadero (por ejemplo, la precisión de las coordenadas del punto P en la Fig. 1) depende de dos factores: (1) la precisión de la medición del rango y (2) la relación geométrica de P con el estaciones C1 y C2 del sistema . Esto se puede entender en la Fig. 4. Las dos estaciones se muestran como puntos y BLU denota unidades de referencia. (El patrón de medición es simétrico tanto con respecto a la línea de base como a la bisectriz perpendicular de la línea de base, y está truncado en la figura). Como se hace comúnmente, los errores de medición de rangos individuales se consideran independientes del rango, estadísticamente independientes y distribuidos de manera idéntica. Esta suposición razonable separa los efectos de la geometría de la estación del usuario y los errores de medición del rango en el error en las coordenadas calculadas de P. Aquí, la geometría de medición es simplemente el ángulo en el que se cruzan dos círculos o, de manera equivalente, el ángulo entre las líneas P-C1 y P-C2 . Cuando el punto P- no está en un círculo, el error en su posición es aproximadamente proporcional al área delimitada por los dos círculos azules más cercanos y los dos círculos magenta más cercanos.
Sin mediciones redundantes, un sistema de multilateración de rango real no puede ser más preciso que las mediciones de rango, pero puede ser significativamente menos preciso si la geometría de medición no se elige adecuadamente. En consecuencia, algunas aplicaciones imponen restricciones a la ubicación del punto P. Para una situación cartesiana 2-D (trilateración), estas restricciones toman una de dos formas equivalentes:
La planificación de un sistema de vigilancia o navegación de multilateración de alcance real a menudo implica un análisis de dilución de precisión (DOP) para informar las decisiones sobre el número y la ubicación de las estaciones y el área de servicio del sistema (dos dimensiones) o el volumen de servicio (tres dimensiones). [21] [22] La Fig. 5 muestra los DOP horizontales (HDOP) para un sistema de multilateración de rango real de dos estaciones y 2-D. HDOP es infinito a lo largo de la línea base y sus extensiones, ya que en realidad solo se mide una de las dos dimensiones. Un usuario de un sistema de este tipo debería estar aproximadamente en el lado amplio de la línea de base y dentro de una banda de rango dependiente de la aplicación. Por ejemplo, para arreglos de navegación DME/DME por aeronave, el HDOP máximo permitido por la FAA de EE. UU. es el doble del valor mínimo posible, o 2,828, [23] lo que limita el rango de uso máximo (que ocurre a lo largo de la bisectriz de la línea de base) a 1,866 veces. la longitud de la línea base. (El avión que contiene dos estaciones terrestres DME y una aeronave no es estrictamente horizontal, pero generalmente lo es casi). De manera similar, los topógrafos seleccionan el punto P en la Fig. 1 de manera que C1-C2-P forme aproximadamente un triángulo equilátero (donde HDOP = 1,633 ).
Los errores en las encuestas de trilateración se analizan en varios documentos. [24] [25] Generalmente, se pone énfasis en los efectos de los errores de medición de rango, en lugar de en los efectos de los errores numéricos del algoritmo.
Los sistemas de navegación y vigilancia generalmente involucran vehículos y requieren que una entidad gubernamental u otra organización implemente múltiples estaciones que emplean una forma de tecnología de radio (es decir, utilizan ondas electromagnéticas). Las ventajas y desventajas de emplear multilateración de rango real para dicho sistema se muestran en la siguiente tabla.
La multilateración de rango verdadero a menudo se contrasta con la multilateración (pseudo rango), ya que ambas requieren una forma de rangos de usuario para múltiples estaciones. La complejidad y el costo del equipo del usuario son probablemente el factor más importante para limitar el uso de la multilateración de alcance real para la navegación y vigilancia de vehículos. Algunos usos no son el propósito original para la implementación del sistema, por ejemplo, navegación de aeronaves DME/DME.
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