Ley de Green

Ecuación que describe la evolución de las olas en aguas poco profundas

Propagación de olas largas y poco profundas, que muestra la variación de la longitud de onda y la altura de las olas con la disminución de la profundidad del agua.

En dinámica de fluidos , la ley de Green , llamada así por el matemático británico del siglo XIX George Green , es una ley de conservación que describe la evolución de las ondas gravitacionales superficiales que no se rompen y que se propagan en aguas poco profundas con una profundidad y un ancho que varían gradualmente. En su forma más simple, para frentes de onda y contornos de profundidad paralelos entre sí (y a la costa), establece lo siguiente:

${\displaystyle H_{1}\,\cdot \,{\sqrt[{4}]{h_{1}}}=H_{2}\,\cdot \,{\sqrt[{4}]{h_{2}}}}$  o  ${\displaystyle \left(H_{1}\right)^{4}\,\cdot \,h_{1}=\left(H_{2}\right)^{4}\,\cdot \,h_{2},}$

donde y son las alturas de las olas en dos lugares diferentes (1 y 2 respectivamente) por donde pasa la ola, y y son las profundidades medias del agua en los mismos dos lugares. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

La ley de Green se utiliza a menudo en ingeniería costera para modelar olas largas y poco profundas en una playa, donde "largas" significa longitudes de onda que superan aproximadamente veinte veces la profundidad media del agua. ^[1] Los tsunamis se achican (cambian su altura) de acuerdo con esta ley, a medida que se propagan (gobernados por la refracción y la difracción ) a través del océano y hacia arriba de la plataforma continental . Muy cerca de la costa (y a medida que avanza hacia arriba), los efectos no lineales se vuelven importantes y la ley de Green ya no se aplica. ^{[2] [3]}

Descripción

Convergencia de los rayos de las olas (reducción de la anchura ) en Mavericks, California , lo que produce olas altas para surfear . Las líneas rojas son los rayos de las olas; las líneas azules son los frentes de las olas . Las distancias entre los rayos de las olas vecinos varían hacia la costa debido a la refracción por batimetría (variaciones de profundidad). La distancia entre los frentes de las olas se reduce hacia la costa debido a la disminución de la profundidad de las olas . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

Según esta ley, que se basa en ecuaciones linealizadas para aguas poco profundas , las variaciones espaciales de la altura de las olas (el doble de la amplitud para las ondas sinusoidales , igual a la amplitud para una ola solitaria ) para ondas que viajan en agua de profundidad y anchura medias (en el caso de un canal abierto ) satisfacen ^{[4] [5]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle H\,{\sqrt {b}}\,{\sqrt[{4}]{h}}={\text{constant}},}$

donde es la raíz cuarta de En consecuencia, al considerar dos secciones transversales de un canal abierto, etiquetadas como 1 y 2, la altura de ola en la sección 2 es: ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{h}}}$ ${\displaystyle h.}$

${\displaystyle H_{2}={\sqrt {\frac {b_{1}}{b_{2}}}}\;{\sqrt[{4}]{\frac {h_{1}}{h_{2}}}}\;H_{1},}$

donde los subíndices 1 y 2 denotan cantidades en la sección transversal asociada. Por lo tanto, cuando la profundidad ha disminuido en un factor dieciséis, las olas se vuelven dos veces más altas. Y la altura de la ola se duplica después de que el ancho del canal se ha reducido gradualmente en un factor cuatro. Para la propagación de olas perpendicular hacia una costa recta con contornos de profundidad paralelos a la línea de costa, tome una constante, digamos 1 metro o yarda. ${\displaystyle b}$

Para refractar ondas largas en el océano o cerca de la costa, el ancho puede interpretarse como la distancia entre los rayos de onda . Los rayos (y los cambios en el espaciamiento entre ellos) se deducen de la aproximación de la óptica geométrica a la propagación lineal de las ondas. ^[6] En el caso de contornos de profundidad rectos y paralelos, esto se simplifica al uso de la ley de Snell . ^[7] ${\displaystyle b}$

Green publicó sus resultados en 1838, ^[8] basándose en un método –el método de Liouville–Green– que evolucionaría hasta convertirse en lo que hoy se conoce como aproximación WKB . La ley de Green también corresponde a la constancia del flujo de energía de onda horizontal medio para ondas largas: ^{[4] [5]}

${\displaystyle b\,{\sqrt {gh}}\,{\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\text{constant}},}$

donde es la velocidad del grupo (igual a la velocidad de fase en aguas poco profundas), es la densidad media de energía de las olas integrada sobre la profundidad y por unidad de área horizontal, es la aceleración gravitacional y es la densidad del agua . ${\displaystyle {\sqrt {gh}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$

Longitud de onda y periodo

Además, según el análisis de Green, la longitud de onda de la ola se acorta al adentrarse en aguas poco profundas, con ^{[4] [8]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\sqrt {g\,h}}}={\text{constant}}}$

a lo largo de un rayo de onda . El período de oscilación (y por lo tanto también la frecuencia ) de las ondas de bajada no cambia, según la teoría lineal de Green.

Derivación

Green derivó su ley de formación de bancos de arena para las ondas de agua mediante el uso de lo que ahora se conoce como el método de Liouville-Green, aplicable a variaciones graduales en profundidad y ancho a lo largo de la trayectoria de propagación de las ondas. ^[9] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle b}$

Ecuación de onda para un canal abierto

El punto de partida son las ecuaciones de Saint-Venant unidimensionales linealizadas para un canal abierto con una sección transversal rectangular (paredes laterales verticales). Estas ecuaciones describen la evolución de una ola con elevación de superficie libre y velocidad de flujo horizontal con la coordenada horizontal a lo largo del eje del canal y el tiempo: ${\displaystyle \eta (x,t)}$ ${\displaystyle u(x,t),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&b\,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial (b\,h\,u)}{\partial x}}=0,\\&{\frac {\partial u}{\partial t}}+g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0,\end{aligned}}}$

donde es la gravedad de la Tierra (tomada como una constante), es la profundidad media del agua, es el ancho del canal y y denotan derivadas parciales con respecto al espacio y al tiempo. La variación lenta del ancho y la profundidad con la distancia a lo largo del eje del canal se tiene en cuenta denotándolos como y donde es un parámetro pequeño: Las dos ecuaciones anteriores se pueden combinar en una ecuación de onda para la elevación de la superficie: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle \partial /\partial x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b(\mu x)}$ ${\displaystyle h(\mu x),}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \ll 1.}$

En el método de Liouville-Green, el enfoque es convertir la ecuación de onda anterior con coeficientes no homogéneos en una homogénea (despreciando algunos pequeños residuos en términos de ). ${\displaystyle \mu }$

Transformación de la fase de onda como variable independiente

El siguiente paso es aplicar una transformación de coordenadas , introduciendo el tiempo de viaje (o fase de onda ) dado por ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {g\,h}},}$  entonces  ${\displaystyle \tau =\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(\mu s)}}}\;\mathrm {d} s}$

y están relacionadas a través de la celeridad Introduciendo la variable lenta y denotando derivadas de y con respecto a con un primo, por ejemplo las derivadas en la ecuación de onda, Ec. ( 1 ), se convierten en: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}.}$ ${\displaystyle X=\mu x}$ ${\displaystyle b(X)}$ ${\displaystyle h(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b'=\mathrm {d} b/\mathrm {d} X,}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \tau }}\right)^{-1}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\sqrt {g\,h}}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}\qquad {\text{and}}\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b\,h\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)=b\,h\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+\mu \left(b'\,h+b\,h'\right)\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {b}{g}}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}+\mu \,{\frac {b'\,h+{\tfrac {1}{2}}\,b\,h'}{\sqrt {gh}}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}.\end{aligned}}}$

Ahora la ecuación de onda ( 1 ) se transforma en:

El siguiente paso es transformar la ecuación de tal manera que sólo queden desviaciones de la homogeneidad en el segundo orden de aproximación , es decir, proporcionales a ${\displaystyle \mu ^{2}.}$

Mayor transformación hacia la homogeneidad

La ecuación de onda homogénea (es decir, la ecuación ( 2 ) cuando es cero) tiene soluciones para ondas viajeras de forma permanente que se propagan en la dirección negativa o positiva . Para el caso no homogéneo, considerando ondas que se propagan en la dirección positiva , Green propone una solución aproximada: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \eta =F(t\pm \tau )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} ^{2}F}{\mathrm {d} \tau ^{2}}},\\{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\Theta '\,F\qquad {\text{and}}\\{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} ^{2}F}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\,\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\Theta '\,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu ^{2}\,g\,h\,\Theta ''\,F.\end{aligned}}}$

Ahora el lado izquierdo de la ecuación ( 2 ) se convierte en:

${\displaystyle \mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\left(2\,{\frac {\Theta '}{\Theta }}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,\Theta \,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu ^{2}\,g\,h\,\left({\frac {\Theta ''}{\Theta '}}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,\Theta '\,F.}$

Por lo tanto, la solución propuesta en la ecuación ( 3 ) satisface la ecuación ( 2 ) y, por lo tanto, también la ecuación ( 1 ), además de los dos términos anteriores proporcionales a y , con El error en la solución puede ser de orden siempre que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{2}}$ ${\displaystyle \mu \ll 1.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mu ^{2})}$

${\displaystyle 2\,{\frac {\Theta '}{\Theta }}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}=0.}$

Aquí tiene la solución:

${\displaystyle \Theta (X)=\alpha \,b^{-{\tfrac {1}{2}}}\,h^{-{\tfrac {1}{4}}}.}$

Utilizando la ecuación ( 3 ) y la transformación de a , la solución aproximada para la elevación de la superficie es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \eta (x,t)}$

donde la constante se ha establecido en uno, sin pérdida de generalidad . Las ondas que viajan en la dirección negativa tienen el signo menos en el argumento de la función invertido a un signo más. Dado que la teoría es lineal, se pueden agregar soluciones debido al principio de superposición . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$

Ondas sinusoidales y ley de Green

Se consideran ondas que varían sinusoidalmente en el tiempo, con período . Es decir ${\displaystyle T,}$

${\displaystyle \eta (x,t)=a(x)\,\sin(\omega \,t-\phi (x))={\tfrac {1}{2}}\,H(x)\,\sin(\omega \,t-\phi (x)),}$

donde es la amplitud , es la altura de la onda , es la frecuencia angular y es la fase de la onda . En consecuencia, también en la ecuación ( 4 ) tiene que ser una onda sinusoidal, es decir, con una constante. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H=2a}$ ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=\beta \sin(\omega t-\phi (x))}$ ${\displaystyle \beta }$

Aplicando estas formas de y en la ecuación ( 4 ) se obtiene: ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle H\,b^{\tfrac {1}{2}}\,h^{\tfrac {1}{4}}=\beta ,}$

cual es la ley de Green .

Velocidad de flujo

La velocidad del flujo horizontal en la dirección se deduce directamente de sustituir la solución para la elevación de la superficie de la ecuación ( 4 ) en la expresión para en la ecuación ( 1 ): ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \eta (x,t)}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=g^{\tfrac {1}{2}}\;b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {3}{4}}}(x)\;F\left(t-\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)\\&+\mu \,{\tfrac {1}{2}}\,g\,b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {1}{4}}}(x)\;{\frac {(b\,{\sqrt {h}})'}{b\,{\sqrt {h}}}}\,\Phi (x,t)+{\frac {Q}{b(x)\,h(x)}}+{\mathcal {O}}\left(\mu ^{2}\right),\\&\qquad {\text{with}}\qquad \Phi (x,t)=\int _{t_{0}}^{t}F\left(\sigma -\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)\;\mathrm {d} \sigma \end{aligned}}}$

y una descarga constante adicional . ${\displaystyle Q}$

Téngase en cuenta que, cuando el ancho y la profundidad no son constantes, el término proporcional a implica una diferencia de fase (pequeña) entre la elevación y la velocidad . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Phi (x,t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mu )}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u}$

Para ondas sinusoidales con amplitud de velocidad, las velocidades de flujo son de orden bajo a alto, como ^[8] ${\displaystyle V,}$

${\displaystyle V\,b^{\tfrac {1}{2}}\,h^{\tfrac {3}{4}}={\text{constant}}.}$

Esto se podría haber previsto ya que se trataba de un lecho horizontal con la amplitud de onda. ${\textstyle V={\sqrt {g\,h}}\,(a/h)={\sqrt {g/h}}\,a}$ ${\displaystyle a}$

Notas

1. Dean y Dalrymple (1991, §3.4)
2. Synolakis y Skjelbreia (1993)
3. Synolakis (1991)
4. Cordero (1993, §185)
5. Dean y Dalrymple (1991, §5.3)
6. Satake (2002)
7. Dean y Dalrymple (1991, §4.8.2)
8. Verde (1838)
9. La derivación que se presenta a continuación sigue la línea de razonamiento utilizada por Lamb (1993, §169 y §185).
10. Didenkulova, Pelinovsky y Soomere (2009)

Referencias

Verde

• Green, G. (1838), "Sobre el movimiento de las olas en un canal variable de pequeña profundidad y anchura", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 6 : 457–462, Bibcode :1838TCaPS...6..457G

Otros

• Craik, ADD (2004), "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua", Annual Review of Fluid Mechanics , 36 : 1–28, Bibcode :2004AnRFM..36....1C, doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118
• Dean, RG; Dalrymple, RA (1991), Mecánica de las ondas de agua para ingenieros y científicos , Advanced Series on Ocean Engineering, vol. 2, World Scientific , ISBN 978-981-02-0420-4
• Didenkulova, I.; Pelinovsky, E.; Soomere, T. (2009), "Dinámica de ondas superficiales largas a lo largo de un fondo convexo", Journal of Geophysical Research , 114 (C7): C07006, 14 pp, arXiv : 0804.4369 , Bibcode :2009JGRC..114.7006D, doi :10.1029/2008JC005027, S2CID  55186672
• Lamb, H. (1993), Hidrodinámica (6.ª ed.), Dover, ISBN 0-486-60256-7
• Satake, K. (2002), "28 – Tsunamis", en Lee, WHK; Kanamori, H.; Jennings, PC; Kisslinger, C. (eds.), Manual internacional de terremotos y sismología de ingeniería , International Geophysics, vol. 81, Parte A, Academic Press , págs. 437–451, ISBN 978-0-12-440652-0
• Synolakis, CE (1991), "Aceleración de tsunamis en pendientes pronunciadas: ¿Qué tan buena es realmente la teoría lineal?", Natural Hazards , 4 (2): 221–234, doi :10.1007/BF00162789, S2CID  129683723
• Synolakis, CE; Skjelbreia, JE (1993), "Evolución de la amplitud máxima de olas solitarias en playas planas", Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering , 119 (3): 323–342, doi :10.1061/(ASCE)0733-950X(1993)119:3(323)