Interpolación multivariante

Interpolación en funciones de más de una variable

En análisis numérico , la interpolación multivariada es la interpolación sobre funciones de más de una variable ( funciones multivariadas ); cuando las variables son coordenadas espaciales , también se conoce como interpolación espacial .

La función a interpolar se conoce en puntos dados y el problema de interpolación consiste en obtener valores en puntos arbitrarios . ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i},\dots )}$ ${\displaystyle (x,y,z,\dots )}$

La interpolación multivariable es particularmente importante en geoestadística , donde se utiliza para crear un modelo de elevación digital a partir de un conjunto de puntos en la superficie de la Tierra (por ejemplo, alturas puntuales en un estudio topográfico o profundidades en un estudio hidrográfico ).

Cuadrícula regular

Comparación de algunas interpolaciones unidimensionales y bidimensionales. Los puntos
negros y rojos / amarillos / verdes / azules corresponden al punto interpolado y a las muestras vecinas, respectivamente.
Sus alturas sobre el suelo corresponden a sus valores.

Para los valores de función conocidos en una cuadrícula regular (con un espaciado predeterminado, no necesariamente uniforme), están disponibles los siguientes métodos.

Cualquier dimensión

• Interpolación del vecino más próximo
• Interpolación n-lineal (ver interpolación bi- y trilineal y polinomio multilineal )
• Interpolación n-cúbica (ver interpolación bi- y tricúbica )
• Kriging
• Ponderación de distancia inversa
• Interpolación de vecinos naturales
• Interpolación de splines
• Interpolación de funciones de base radial

2 dimensiones

• Interpolación de Barnes
• Interpolación bilineal
• Interpolación bicúbica
• Superficie de Bézier
• Remuestreo de Lanczos
• Triangulación de Delaunay

El remuestreo de mapa de bits es la aplicación de la interpolación multivariada 2D en el procesamiento de imágenes .

Tres de los métodos aplicados al mismo conjunto de datos, a partir de 25 valores ubicados en los puntos negros. Los colores representan los valores interpolados.

• 
  Vecino más cercano
• 
  Bilineal
• 
  Bicúbico

Véase también puntos de Padua , para interpolación polinómica en dos variables.

3 dimensiones

• Interpolación trilineal
• Interpolación tricúbica

Véase también remuestreo de mapa de bits .

Splines de productos tensoriales paranortedimensiones

Los splines de Catmull-Rom se pueden generalizar fácilmente a cualquier número de dimensiones. El artículo sobre splines cúbicos de Hermite le recordará que, para un vector de cuatro que es una función de x únicamente, donde es el valor en de la función que se va a interpolar. Reescriba esta aproximación como ${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {b} (x)}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)}$

Esta fórmula se puede generalizar directamente a N dimensiones: ^[1]

${\displaystyle \mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})}$

Tenga en cuenta que se pueden hacer generalizaciones similares para otros tipos de interpolaciones de splines, incluidos los splines de Hermite. En lo que respecta a la eficiencia, la fórmula general se puede calcular de hecho como una composición de operaciones sucesivas de tipo para cualquier tipo de splines de producto tensorial, como se explica en el artículo de interpolación tricúbica . Sin embargo, el hecho es que si hay términos en la suma unidimensional similar a , entonces habrá términos en la suma dimensional. ${\displaystyle \mathrm {CINT} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {CR} }$ ${\displaystyle n^{N}}$ ${\displaystyle N}$

Cuadrícula irregular (datos dispersos)

Los esquemas definidos para datos dispersos en una cuadrícula irregular son más generales. Todos deberían funcionar en una cuadrícula regular, reduciéndose normalmente a otro método conocido.

• Interpolación del vecino más próximo
• Vecino natural basado en red irregular triangulada
• Interpolación lineal basada en redes irregulares trianguladas (un tipo de función lineal por partes )
  • Interpolación n- simple (por ejemplo, tetraedro) (véase sistema de coordenadas baricéntrico )
• Ponderación de distancia inversa
• ABOS - aproximación basada en suavizado
• Kriging
• Kriging mejorado con gradiente (GEK)
• Estría de placa delgada
• Spline poliarmónico (el spline de placa delgada es un caso especial de un spline poliarmónico)
• Función de base radial ( los splines poliarmónicos son un caso especial de funciones de base radial con términos polinomiales de bajo grado)
• Spline de mínimos cuadrados
• Interpolación de vecinos naturales

El cuadriculado es el proceso de convertir datos espaciados irregularmente en una cuadrícula regular ( datos cuadriculados ).

Véase también

• Suavizado
• Ajuste de superficie

Notas

1. Dos jerarquías de interpolaciones de splines. Algoritmos prácticos para splines multivariados de orden superior

Enlaces externos

• Ejemplo de código C++ para varias interpolaciones de splines 1D, 2D y 3D (incluidos splines Catmull-Rom).
• Interpolación y aproximación multidimensional de Hermite, Prof. Chandrajit Bajaja, Universidad de Purdue
• Biblioteca de Python que contiene métodos de interpolación de splines 3D y 4D.