Interpolación de vecinos naturales

Método de interpolación espacial

Interpolación de vecinos naturales con pesos de Sibson. El área de los círculos verdes son los pesos de interpolación, w _i . La región sombreada en violeta es la nueva celda de Voronoi, después de insertar el punto que se va a interpolar (punto negro). Los pesos representan las áreas de intersección de la celda violeta con cada una de las siete celdas circundantes.

La interpolación de vecinos naturales o interpolación de Sibson es un método de interpolación espacial desarrollado por Robin Sibson . ^[1] El método se basa en la teselación de Voronoi de un conjunto discreto de puntos espaciales. Esto tiene ventajas sobre los métodos de interpolación más simples, como la interpolación de vecinos más cercanos , ya que proporciona una aproximación más suave a la función "verdadera" subyacente.

Formulación

La ecuación básica es:

${\displaystyle G(x)=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}(x)f(x_{i})}}$

donde es la estimación en , son los pesos y son los datos conocidos en . Los pesos, , se calculan encontrando cuánto de cada una de las áreas circundantes se "robó" al insertar en la teselación. ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle f(x_{i})}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle x}$

Pesas Sibson

${\displaystyle w_{i}(\mathbf {x} )={\frac {A(\mathbf {x} _{i})}{A(\mathbf {x} )}}}$

donde A(x) es el volumen de la nueva celda centrada en x , y A(x _i ) es el volumen de la intersección entre la nueva celda centrada en x y la celda anterior centrada en x _i .

Interpolación de vecinos naturales con pesos de Laplace. La interfaz l(x _i ) entre las celdas vinculadas a x y x _i está en azul, mientras que la distancia d(x _i ) entre x y x _i está en rojo.

Pesos de Laplace ^{[2] [3]}

${\displaystyle w_{i}(\mathbf {x} )={\frac {\frac {l(\mathbf {x} _{i})}{d(\mathbf {x} _{i})}}{\sum _{k=1}^{n}{\frac {l(\mathbf {x} _{k})}{d(\mathbf {x} _{k})}}}}}$

donde l(x _i ) es la medida de la interfaz entre las celdas vinculadas a x y x _i en el diagrama de Voronoi (longitud en 2D, superficie en 3D) y d(x _i ) , la distancia entre x y x _i .

Propiedades

Existen varias propiedades útiles de la interpolación de vecinos naturales: ^[4]

1. El método es un interpolador exacto, en el sentido de que los valores de los datos originales se conservan en los puntos de datos de referencia.
2. El método crea una superficie lisa libre de discontinuidades.
3. El método es completamente local, ya que se basa en un subconjunto mínimo de ubicaciones de datos que excluye ubicaciones que, aunque cercanas, están más distantes que otra ubicación en una dirección similar.
4. El método es adaptativo espacialmente y se adapta automáticamente a la variación local en la densidad de datos o la disposición espacial.
5. No es necesario realizar suposiciones estadísticas.
6. El método se puede aplicar a conjuntos de datos muy pequeños ya que no tiene base estadística.
7. El método no tiene parámetros, por lo que no es necesario especificar parámetros de entrada que afecten el éxito de la interpolación.

Extensiones

La interpolación de vecinos naturales también se ha implementado en forma discreta, lo que ha demostrado ser computacionalmente más eficiente en al menos algunas circunstancias. ^[5] También se ha desarrollado una forma de interpolación de vecinos naturales discretos que proporciona una medida de la incertidumbre de la interpolación. ^[4]

Véase también

• Ponderación de distancia inversa
• Interpolación multivariante

Referencias

1. Sibson, R. (1981). "Una breve descripción de la interpolación de vecinos naturales (Capítulo 2)". En V. Barnett (ed.). Interpretación de datos multivariados . Chichester: John Wiley. págs. 21–36.
2. NH Christ; R. Friedberg, R.; TD Lee (1982). "Pesos de enlaces y plaquetas en una red aleatoria". Física nuclear B . 210 (3): 337–346. Código Bibliográfico :1982NuPhB.210..337C. doi :10.1016/0550-3213(82)90124-9.
3. VV Belikov; VD Ivanov; VK Kontorovich; SA Korytnik; AY Semenov (1997). "La interpolación no-Sibsoniana: un nuevo método de interpolación de los valores de una función en un conjunto arbitrario de puntos". Matemática Computacional y Física Matemática . 37 (1): 9-15.
4. Etherington, Thomas R. (13 de julio de 2020). "Interpolación discreta de vecinos naturales con incertidumbre utilizando campos de error-distancia de validación cruzada". PeerJ Computer Science . 6 : e282. doi : 10.7717/peerj-cs.282 . ISSN  2376-5992. PMC 7924714 . PMID  33816933.   Este artículo incorpora texto disponible bajo la licencia CC BY 4.0.
5. Park, SW; Linsen, L.; Kreylos, O.; Owens, JD; Hamann, B. (2006). "Interpolación de Sibson discreta". IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics . 12 (2): 243–253. doi :10.1109/TVCG.2006.27. PMID  16509383.

Enlaces externos

• Interpolación de vecinos naturales
• Notas de implementación para el vecino natural y comparación con otros métodos de interpolación
• Visualización interactiva de diagramas de Voronoi e interpolación de vecinos naturales
• Interpolación rápida y discreta de vecinos naturales en 3D en la CPU