En dinámica de fluidos , la estabilidad hidrodinámica es el campo que analiza la estabilidad y el inicio de la inestabilidad de los flujos de fluidos . El estudio de la estabilidad hidrodinámica tiene como objetivo averiguar si un flujo dado es estable o inestable y, de ser así, cómo estas inestabilidades provocarán el desarrollo de turbulencia . [1] Las bases de la estabilidad hidrodinámica, tanto teórica como experimental, fueron establecidas principalmente por Helmholtz , Kelvin , Rayleigh y Reynolds durante el siglo XIX. [1] Estas bases han proporcionado muchas herramientas útiles para estudiar la estabilidad hidrodinámica. Estas incluyen el número de Reynolds , las ecuaciones de Euler y las ecuaciones de Navier-Stokes . Al estudiar la estabilidad del flujo, es útil comprender sistemas más simplistas, por ejemplo, fluidos incompresibles y no viscosos que luego pueden desarrollarse en flujos más complejos. [1] Desde la década de 1980, se utilizan más métodos computacionales para modelar y analizar los flujos más complejos.
Para distinguir entre los diferentes estados del flujo de fluidos, se debe considerar cómo reacciona el fluido a una perturbación en el estado inicial. [2] Estas perturbaciones se relacionarán con las propiedades iniciales del sistema, como la velocidad , la presión y la densidad . James Clerk Maxwell expresó muy bien el concepto cualitativo de flujo estable e inestable cuando dijo: [1]
"cuando una variación infinitamente pequeña del estado actual alterará solo en una cantidad infinitamente pequeña el estado en un tiempo futuro, la condición del sistema, ya sea en reposo o en movimiento, se dice que es estable, pero cuando una variación infinitamente pequeña en el estado actual puede producir una diferencia finita en el estado del sistema en un tiempo finito, se dice que el sistema es inestable".
Esto significa que, para un flujo estable , cualquier variación infinitamente pequeña, que se considera una perturbación, no tendrá ningún efecto perceptible en el estado inicial del sistema y, con el tiempo, acabará desapareciendo. [2] Para que un flujo de fluido se considere estable, debe ser estable con respecto a toda posible perturbación. Esto implica que no existe ningún modo de perturbación para el cual sea inestable. [1]
Por otra parte, en el caso de un flujo inestable , cualquier variación tendrá algún efecto notable en el estado del sistema, lo que provocaría que la perturbación creciera en amplitud de tal manera que el sistema se alejara progresivamente del estado inicial y nunca regresara a él. [2] Esto significa que hay al menos un modo de perturbación con respecto al cual el flujo es inestable y, por lo tanto, la perturbación distorsionará el equilibrio de fuerzas existente. [3]
Una herramienta clave utilizada para determinar la estabilidad de un flujo es el número de Reynolds (Re), propuesto por primera vez por George Gabriel Stokes a principios de la década de 1850. Asociado con Osborne Reynolds, quien desarrolló aún más la idea a principios de la década de 1880, este número adimensional proporciona la relación entre los términos inerciales y los términos viscosos . [4] En un sentido físico, este número es una relación entre las fuerzas que se deben al momento del fluido (términos inerciales) y las fuerzas que surgen del movimiento relativo de las diferentes capas de un fluido que fluye (términos viscosos). La ecuación para esto es [2] donde
El número de Reynolds es útil porque puede proporcionar puntos de corte para cuando el flujo es estable o inestable, es decir, el número crítico de Reynolds . A medida que aumenta, la amplitud de una perturbación que podría conducir a la inestabilidad se hace más pequeña. [1] Se acepta que con números de Reynolds altos los flujos de fluidos serán inestables. Un número de Reynolds alto se puede lograr de varias maneras, por ejemplo, si es un valor pequeño o si y son valores altos. [2] Esto significa que las inestabilidades surgirán casi inmediatamente y el flujo se volverá inestable o turbulento. [1]
Para determinar analíticamente la estabilidad de los flujos de fluidos, es útil notar que la estabilidad hidrodinámica tiene mucho en común con la estabilidad en otros campos, como la magnetohidrodinámica , la física del plasma y la elasticidad ; aunque la física es diferente en cada caso, las matemáticas y las técnicas utilizadas son similares. El problema esencial se modela mediante ecuaciones diferenciales parciales no lineales y se examina la estabilidad de soluciones estacionarias y no estacionarias conocidas. [1] Las ecuaciones que gobiernan casi todos los problemas de estabilidad hidrodinámica son la ecuación de Navier-Stokes y la ecuación de continuidad . La ecuación de Navier-Stokes viene dada por: [1]
dónde
Aquí se utiliza como operador que actúa sobre el campo de velocidad en el lado izquierdo de la ecuación y luego actúa sobre la presión en el lado derecho.
y la ecuación de continuidad viene dada por: donde es la derivada material de la densidad.
Una vez más se utiliza como operador y se calcula la divergencia de la velocidad.
Pero si el fluido considerado es incompresible , lo que significa que la densidad es constante, entonces y por lo tanto:
La suposición de que un flujo es incompresible es buena y se aplica a la mayoría de los fluidos que viajan a la mayoría de las velocidades. Son suposiciones de esta forma las que ayudarán a simplificar la ecuación de Navier-Stokes en ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Euler, con las que es más fácil trabajar.
Si se considera un flujo que no es viscoso, es decir, donde las fuerzas viscosas son pequeñas y por lo tanto pueden descuidarse en los cálculos, entonces se llega a las ecuaciones de Euler :
Aunque en este caso hemos supuesto un fluido no viscoso, esta suposición no se cumple para flujos en los que existe un límite. La presencia de un límite provoca cierta viscosidad en la capa límite que no se puede despreciar y se llega de nuevo a la ecuación de Navier-Stokes. Encontrar las soluciones de estas ecuaciones rectoras en diferentes circunstancias y determinar su estabilidad es el principio fundamental para determinar la estabilidad del flujo de fluido en sí.
Para determinar si el flujo es estable o inestable, se suele emplear el método de análisis de estabilidad lineal. En este tipo de análisis, las ecuaciones que rigen el flujo y las condiciones de contorno se linealizan. Esto se basa en el hecho de que el concepto de "estable" o "inestable" se basa en una perturbación infinitamente pequeña. Para tales perturbaciones, es razonable suponer que las perturbaciones de diferentes longitudes de onda evolucionan de forma independiente. (Una ecuación que rija no lineal permitirá que las perturbaciones de diferentes longitudes de onda interactúen entre sí).
La teoría de la bifurcación es una forma útil de estudiar la estabilidad de un flujo determinado, con los cambios que ocurren en la estructura de un sistema determinado. La estabilidad hidrodinámica es una serie de ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Una bifurcación ocurre cuando un pequeño cambio en los parámetros del sistema causa un cambio cualitativo en su comportamiento. [1] El parámetro que se está modificando en el caso de la estabilidad hidrodinámica es el número de Reynolds. Se puede demostrar que la ocurrencia de bifurcaciones coincide con la ocurrencia de inestabilidades. [1]
Los experimentos de laboratorio son una forma muy útil de obtener información sobre un caudal determinado sin tener que utilizar técnicas matemáticas más complejas. A veces, observar físicamente el cambio del caudal a lo largo del tiempo es tan útil como un enfoque numérico y los resultados de estos experimentos se pueden relacionar con la teoría subyacente. El análisis experimental también es útil porque permite variar los parámetros que lo rigen con mucha facilidad y sus efectos serán visibles.
Cuando se trabaja con teorías matemáticas más complicadas, como la teoría de la bifurcación y la teoría débilmente no lineal, la resolución numérica de estos problemas se vuelve muy difícil y lleva mucho tiempo, pero con la ayuda de las computadoras este proceso se vuelve mucho más fácil y rápido. Desde la década de 1980, el análisis computacional se ha vuelto cada vez más útil; la mejora de los algoritmos que pueden resolver las ecuaciones que rigen, como la ecuación de Navier-Stokes, significa que se pueden integrar con mayor precisión para varios tipos de flujo.
La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (KHI) es una aplicación de la estabilidad hidrodinámica que se puede observar en la naturaleza. Ocurre cuando hay dos fluidos que fluyen a diferentes velocidades. La diferencia de velocidad de los fluidos provoca una velocidad de corte en la interfaz de las dos capas. [3] La velocidad de corte de un fluido en movimiento induce una tensión de corte en el otro que, si es mayor que la tensión superficial restrictiva , da como resultado una inestabilidad a lo largo de la interfaz entre ellos. [3] Este movimiento provoca la aparición de una serie de olas oceánicas que se dan vuelta, una característica de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz. De hecho, la aparente naturaleza de las olas oceánicas es un ejemplo de formación de vórtices , que se forman cuando un fluido gira sobre algún eje, y a menudo se asocia con este fenómeno.
La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz se puede ver en las bandas de las atmósferas planetarias como Saturno y Júpiter , por ejemplo en el vórtice de la mancha roja gigante. En la atmósfera que rodea a la mancha roja gigante se encuentra el mayor ejemplo conocido de KHI, causado por la fuerza de corte en la interfaz de las diferentes capas de la atmósfera de Júpiter. Se han capturado muchas imágenes en las que se pueden ver claramente las características similares a las de las olas del océano que se analizaron anteriormente, con hasta cuatro capas de corte visibles. [5]
Los satélites meteorológicos aprovechan esta inestabilidad para medir la velocidad del viento en grandes masas de agua. Las olas son generadas por el viento, que corta el agua en la interfaz entre ésta y el aire circundante. Los ordenadores a bordo de los satélites determinan la rugosidad del océano midiendo la altura de las olas. Esto se hace mediante un radar , donde se transmite una señal de radio a la superficie y se registra el retraso de la señal reflejada, conocido como "tiempo de vuelo". A partir de esto, los meteorólogos pueden comprender el movimiento de las nubes y la turbulencia del aire esperada cerca de ellas.
La inestabilidad de Rayleigh-Taylor es otra aplicación de la estabilidad hidrodinámica y también ocurre entre dos fluidos, pero esta vez las densidades de los fluidos son diferentes. [6] Debido a la diferencia de densidades, los dos fluidos intentarán reducir su energía potencial combinada . [7] El fluido menos denso hará esto tratando de abrirse camino hacia arriba, y el fluido más denso intentará abrirse camino hacia abajo. [6] Por lo tanto, hay dos posibilidades: si el fluido más ligero está en la parte superior, se dice que la interfaz es estable, pero si el fluido más pesado está en la parte superior, entonces el equilibrio del sistema es inestable ante cualquier perturbación de la interfaz. Si este es el caso, entonces ambos fluidos comenzarán a mezclarse. [6] Una vez que una pequeña cantidad de fluido más pesado se desplaza hacia abajo con un volumen igual de fluido más ligero hacia arriba, la energía potencial ahora es menor que el estado inicial, [7] por lo tanto, la perturbación crecerá y conducirá al flujo turbulento asociado con las inestabilidades de Rayleigh-Taylor. [6]
Este fenómeno se puede observar en el gas interestelar , como la Nebulosa del Cangrejo . Es empujada fuera del plano galáctico por los campos magnéticos y los rayos cósmicos y luego se vuelve inestable en la escala de Rayleigh-Taylor si es empujada más allá de su altura de escala normal . [6] Esta inestabilidad también explica la nube en forma de hongo que se forma en procesos como las erupciones volcánicas y las bombas atómicas.
La inestabilidad de Rayleigh-Taylor tiene un gran efecto en el clima de la Tierra. Los vientos que vienen de la costa de Groenlandia e Islandia provocan la evaporación de la superficie del océano sobre la que pasan, lo que aumenta la salinidad del agua del océano cerca de la superficie y hace que el agua cerca de la superficie sea más densa. Esto luego genera columnas que impulsan las corrientes oceánicas . Este proceso actúa como una bomba de calor, transportando agua ecuatorial cálida hacia el norte. Sin el vuelco del océano, el norte de Europa probablemente enfrentaría caídas drásticas de temperatura. [6]
La presencia de partículas coloidales (normalmente con un tamaño comprendido entre 1 nanómetro y 1 micrón), uniformemente dispersas en una mezcla binaria de líquidos, es capaz de provocar una inestabilidad hidrodinámica convectiva, incluso aunque el sistema se encuentre inicialmente en una condición de equilibrio gravitacional estable (por tanto, lo opuesto a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor analizada anteriormente). Si un líquido contiene un soluto molecular más pesado cuya concentración disminuye con la altura, el sistema es gravitacionalmente estable. De hecho, si una parte del fluido se mueve hacia arriba debido a una fluctuación espontánea, terminará rodeada por un fluido menos denso y, por tanto, será empujada hacia abajo. Este mecanismo inhibe así los movimientos convectivos. Sin embargo, se ha demostrado que este mecanismo falla si la mezcla binaria contiene partículas coloidales uniformemente dispersas. En ese caso, los movimientos convectivos surgen incluso si el sistema es gravitacionalmente estable. [8] El fenómeno clave para entender esta inestabilidad es la difusioforesis : para minimizar la energía interfacial entre la partícula coloidal y la solución líquida, el gradiente de soluto molecular determina una migración interna de coloides que los lleva hacia arriba, agotándolos así en el fondo. En otras palabras, dado que los coloides son ligeramente más densos que la mezcla líquida, esto conduce a un aumento local de la densidad con la altura. Esta inestabilidad, incluso en ausencia de un gradiente térmico, causa movimientos convectivos similares a los observados cuando un líquido se calienta desde el fondo (conocido como convección de Rayleigh-Bénard ), donde la migración hacia arriba se debe a la dilatación térmica, y conduce a la formación de patrones . [8] Esta inestabilidad explica cómo los animales obtienen sus patrones intrincados y distintivos, como las rayas coloridas de los peces tropicales. [9]
