La identidad de Roy.

La identidad de Roy (que lleva el nombre del economista francés René Roy ) es un resultado importante de la microeconomía que tiene aplicaciones en la elección del consumidor y la teoría de la empresa . El lema relaciona la función de demanda ordinaria (Marshalliana) con las derivadas de la función de utilidad indirecta . Específicamente, denotar la función de utilidad indirecta como la función de demanda marshalliana del bien se puede calcular como ${\displaystyle v(p,w),}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle x_{i}^{m}(p,w)=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}}$

donde es el vector de precios de los bienes y es el ingreso , ^[1] y donde el superíndice indica la demanda marshalliana. El resultado es válido para funciones de utilidad continuas que representan relaciones de preferencia localmente no saciadas y estrictamente convexas en un conjunto de consumo convexo , bajo el requisito adicional de que la función de utilidad indirecta sea diferenciable en todos los argumentos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {}^{m}}$

La identidad de Roy es similar al resultado de que las derivadas de precios de la función de gasto dan las funciones de demanda hicksianas . El paso adicional de dividir por la derivada de riqueza de la función de utilidad indirecta en la identidad de Roy es necesario ya que la función de utilidad indirecta, a diferencia de la función de gasto, tiene una interpretación ordinal: cualquier transformación estrictamente creciente de la función de utilidad original representa las mismas preferencias.

Derivación de la identidad de Roy.

La identidad de Roy reformula el lema de Shephard para obtener una función de demanda marshalliana para un individuo y un bien ( ) a partir de alguna función de utilidad indirecta. ${\displaystyle i}$

El primer paso es considerar la identidad trivial obtenida al sustituir la función de gasto por riqueza o ingreso en la función de utilidad indirecta , con una utilidad de : ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v(p,w)}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle v(p,e(p,u))=u}$

Esto dice que la función de utilidad indirecta evaluada de tal manera que minimice el costo de lograr una determinada utilidad dado un conjunto de precios (un vector ) es igual a esa utilidad cuando se evalúa a esos precios. ${\displaystyle p}$

Tomando la derivada de ambos lados de esta ecuación con respecto al precio de un solo bien (con el nivel de utilidad mantenido constante) se obtiene: ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}$.

Reorganizar da el resultado deseado:

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}$

con la penúltima igualdad derivada del lema de Shephard y la última igualdad de una propiedad básica de la demanda hicksiana .

Prueba alternativa usando el teorema de la envolvente

Para facilitar la exposición, consideremos el caso de dos bienes. La función de utilidad indirecta es la función de valor del problema de optimización restringida caracterizada por el siguiente lagrangiano: ^[2] ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}$

Según el teorema de la envolvente , las derivadas de la función valor con respecto a los parámetros son: ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }$

¿Dónde está el maximizador (es decir, la función de demanda marshalliana del bien 1)? Por eso: ${\displaystyle x_{1}^{m}}$

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}$

Solicitud

Esto proporciona un método para derivar la función de demanda marshalliana de un bien para algún consumidor a partir de la función de utilidad indirecta de ese consumidor. También es fundamental para derivar la ecuación de Slutsky .

Referencias

1. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (Tercera ed.). Nueva York: Norton. págs. 106-108.
2. Cornes, Richard (1992). Dualidad y economía moderna. Nueva York: Cambridge University Press. págs. 45–47. ISBN 0-521-33291-5.

• Roy, René (1947). "La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens". Econométrica . 15 (3): 205–225. JSTOR  1905479.
• Andreu Mas-Colell; Michael D. Whinston; Jerry R. Verde (1995). Teoría Microeconómica . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 73 y sigs.