Gnomónicos

La gnomónica (de la antigua palabra griega γνώμων, pronunciada [/ɡnɔ̌ː.mɔːn/] , que significa 'intérprete, discernidor') es el estudio del diseño, construcción y uso de relojes de sol .

Los fundamentos de la gnomónica eran conocidos por el antiguo griego Anaximandro (ca. 550 a. C.), quien amplió la ciencia de las sombras traída de Egipto por Tales de Mileto . ^[1] La gnomónica fue utilizada por arquitectos griegos y romanos desde el año 25 a. C. para el diseño de edificios. ^[2]

La gnomónica moderna tiene sus raíces en la naciente astronomía europea del siglo XVI. Las primeras obras, en latín, fueron publicadas por Sebastian Münster en 1531 y Oronce Fine en 1532, seguidas rápidamente por libros en francés. A finales del siglo XVII la gnomónica se desarrolló notablemente en la aplicación de la trigonometría esférica . Se publicaron en libros varios métodos, tanto gráficos como analíticos, que permitieron crear relojes de sol de mayor o menor precisión para colocarlos en edificios y jardines.

En su Histoire de la Gnomonique ancienne et moderne , Jean-Étienne Montucla resume la gnomónica con estas palabras:

Qu'on ait douze planes se coupant tous à ángulos égaux dans una misma línea, et que ces planes, indéfiniment prolongés, encontrent un autre dans una situación quelconque, il s'agit de determinar les lignes dans lesquelles ils le coupent.

Cuando se tienen doce planos que se cortan todos formando ángulos iguales en una misma línea, y estos planos, producidos infinitamente, se encuentran con cualquier otro, se trata de determinar las líneas que los cortan.

Gnomónica analítica

Transformaciones del sistema de coordenadas - Cambio de bases

Las coordenadas cartesianas del Sol en el sistema de coordenadas horizontales pueden determinarse mediante sucesivos cambios de bases .

Expresión como matrices de transformación.

Una matriz de transformación de un sistema B a un sistema B' permite calcular las coordenadas de un punto o vector en el sistema B' cuando se conocen sus coordenadas en el sistema B.

Por ejemplo, para cambiar el sistema girando un ángulo α alrededor del eje Z, las coordenadas en el nuevo sistema se pueden calcular a partir de las del sistema anterior como:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}}$

De manera similar, para la rotación de un ángulo α alrededor del eje X:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}}$

Y para la rotación según el ángulo α alrededor del eje Y:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}}$

Modelo del movimiento aparente del Sol.

Las coordenadas cartesianas del Sol en el sistema de coordenadas horizontal se pueden calcular utilizando matrices de cambio de base :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )&0&-\sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )\\0&1&0\\\sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )&0&\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(LMST)&\sin(LMST)&0\\-\sin(LMST)&\cos(LMST)&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(-\epsilon )&\sin(-\epsilon )\\0&-\sin(-\epsilon )&\cos(-\epsilon )\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos(l_{\odot })\\\sin(l_{\odot })\\0\\\end{pmatrix}}}$

dónde:

${\displaystyle \phi }$: Latitud del lugar de observación

${\displaystyle LMST}$: Hora sidérea media local

${\displaystyle \epsilon }$: Inclinación axial

${\displaystyle l_{\odot }}$: Longitud eclíptica del Sol

Proyección de la sombra de un gnomon vertical.

Sean las coordenadas cartesianas, en el sistema de coordenadas local, del extremo de un gnomon vertical de longitud . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\L\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle L}$

Las coordenadas del extremo de la sombra en el plano horizontal se pueden obtener con una transformada afín paralela a la línea por y . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\L\\\end{pmatrix}}}$

Reloj de sol inclinado y declinado.

Las coordenadas cartesianas del Sol en el sistema de coordenadas ligadas a un reloj de sol inclinado de determinada declinación son:

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{h}\\\mathrm {Y} '_{h}\\\mathrm {Z} '_{h}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos i&0&-\sin i\\0&1&0\\\sin i&0&\cos i\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(-D)&\sin(-D)&0\\-\sin(-D)&\cos(-D)&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}}$

dónde:

${\displaystyle D}$: declinación del plano del reloj de sol

${\displaystyle i}$: inclinación del reloj de sol, es decir, el ángulo de la normal con respecto al cenit

Otros usos

La proyección gnomónica es una proyección cartográfica donde el punto de fuga está en el centro de un esferoide.

Referencias

1. Laks, André; Most, Glenn W. (edición y traducción) (noviembre de 2016). Les débuts de la philosophie (en francés). París: Fayard. pag. 185.ISBN​ 978-2-213-63753-2.
2. Vitruvio . De arquitectura . vol. III.

Fuentes

• Montucla, Jean-Étienne (1758). "Histoire de la Gnomonique ancienne et moderne" [Historia de la Gnomática antigua y moderna].
• Poderoso. "Bibliothèque complète des livres en français" [Biblioteca completa de libros en francés] (en francés).
• Rohr, René RJ (1965). Les cadrans solaires, Traité de Gnomonique théorique et appliquée [ Relojes de sol, tratado sobre la teoría y la práctica de la gnomónica ] (en francés). Gauthier-Villars.
• Saboya, Denis (2003). "Les Cadrans solaires" [Relojes de sol]. Pour la Science (en francés). Belín.
• Saboya, Denis (2003). La Gnomonique (en francés). Las Bellas Letras.
• Ziegeltrum, Francisco (2010). "Traité abrégé de gnomonique" [Tratado abreviado de gnomónica] (en francés). Autoeditado.

enlaces externos

• "Commission des Cadrans Solaires" [Comisión de Relojes de Sol] (en francés).en el sitio web de la Société Astronomique de France
• "Le Gnomoniste" (en francés). Archivado desde el original el 10 de febrero de 2019 . Consultado el 6 de febrero de 2019 ., Actas de las reuniones de la Commission des Cadrans solaires du Québec (CCSQ) de 1995 a 2014, disponibles en formato PDF
• En mayo de 2018, un "curso de aprendizaje en línea en francés sobre la teoría y la construcción de relojes de sol".Fue lanzado por un miembro de la Comisión de Relojes de Sol de la Société astronomique de France .