Una proyección gnomónica , también conocida como proyección central o proyección rectilínea , es una proyección en perspectiva de una esfera , con centro de proyección en el centro de la esfera , sobre cualquier plano que no pase por el centro, más comúnmente un plano tangente . Bajo la proyección gnomónica, cada círculo máximo en la esfera se proyecta sobre una línea recta en el plano (un círculo máximo es una geodésica en la esfera, el camino más corto entre dos puntos cualesquiera, análogo a una línea recta en el plano). [1] De manera más general, se puede tomar una proyección gnomónica de cualquier hiperesfera n -dimensional sobre un hiperplano .
La proyección es la generalización n -dimensional de la tangente trigonométrica que se proyecta desde el círculo a una línea recta, y al igual que con la tangente, cada par de puntos antípodas en la esfera se proyecta a un solo punto en el plano, mientras que los puntos en el plano que pasa por el centro de la esfera y es paralelo al plano de la imagen se proyectan a puntos en el infinito ; a menudo la proyección se considera como una correspondencia uno a uno entre puntos en el hemisferio y puntos en el plano, en cuyo caso cualquier parte finita del plano de la imagen representa una porción del hemisferio. [2]
La proyección gnomónica es azimutal (radialmente simétrica). No se produce distorsión de la forma en el centro de la imagen proyectada, pero la distorsión aumenta rápidamente a medida que se aleja de él.
La proyección gnomónica se originó en la astronomía para construir relojes de sol y trazar mapas de la esfera celeste . Se utiliza comúnmente como una proyección de mapa geográfico y puede ser conveniente en la navegación porque los cursos de círculo máximo se trazan como líneas rectas. Las lentes fotográficas rectilíneas hacen una proyección en perspectiva del mundo sobre un plano de imagen; esto puede considerarse como una proyección gnomónica de la esfera de imagen (una esfera abstracta que indica la dirección de cada rayo que pasa a través de una cámara modelada como un agujero de alfiler ). La proyección gnomónica se utiliza en cristalografía para analizar las orientaciones de líneas y planos de estructuras cristalinas. Se utiliza en geología estructural para analizar las orientaciones de planos de falla. En gráficos de computadora y representación por computadora de datos esféricos, el mapeo de cubos es la proyección gnomónica de la esfera de imagen sobre seis caras de un cubo .
En matemáticas, el espacio de orientaciones de líneas no dirigidas en el espacio tridimensional se denomina plano proyectivo real y se representa típicamente mediante la "esfera proyectiva" o mediante su proyección gnomónica. Cuando el ángulo entre líneas se impone como medida de distancia , este espacio se denomina plano elíptico . La proyección gnomónica de la 3-esfera de cuaterniones unitarios , cuyos puntos representan rotaciones tridimensionales, da como resultado vectores de Rodrigues . La proyección gnomónica del hiperboloide de dos láminas , tratada como modelo para el plano hiperbólico , se denomina modelo de Beltrami-Klein .
Se dice que la proyección gnomónica es la proyección cartográfica más antigua, atribuida especulativamente a Tales , quien puede haberla utilizado para mapas estelares en el siglo VI a. C. [2] La trayectoria de la punta de sombra o punto de luz en un reloj solar basado en nodus traza las mismas hipérbolas formadas por paralelos en un mapa gnomónico.
La proyección gnomónica se realiza desde el centro de una esfera hasta un plano tangente a la esfera (Fig. 1 a continuación). La esfera y el plano se tocan en el punto tangente. Los círculos máximos se transforman en líneas rectas mediante la proyección gnomónica. Dado que los meridianos (líneas de longitud) y el ecuador son círculos máximos, siempre se muestran como líneas rectas en un mapa gnomónico. Dado que la proyección se realiza desde el centro de la esfera, un mapa gnomónico puede representar menos de la mitad del área de la esfera. La distorsión de la escala del mapa aumenta desde el centro (punto tangente) hacia la periferia. [2]
Como ocurre con todas las proyecciones azimutales , se conservan los ángulos desde el punto tangente. La distancia del mapa desde ese punto es una función r ( d ) de la distancia real d , dada por
donde R es el radio de la Tierra. La escala radial es
y la escala transversal
De esta forma la escala transversal aumenta hacia afuera, y la escala radial aún más.
Las proyecciones gnomónicas se utilizan en los trabajos sísmicos porque las ondas sísmicas tienden a viajar a lo largo de grandes círculos. Las armadas también las utilizan para trazar rumbos de búsqueda de dirección , ya que las señales de radio viajan a lo largo de grandes círculos. Los meteoros también viajan a lo largo de grandes círculos, siendo el Atlas Gnomónico Brno 2000.0 el conjunto de cartas estelares recomendado por la OMI para observaciones visuales de meteoros. Los navegantes de aviones y barcos utilizan la proyección para encontrar la ruta más corta entre el inicio y el destino. La ruta se dibuja primero en la carta gnomónica y luego se transfiere a una carta Mercator para la navegación.
La proyección gnomónica se utiliza ampliamente en fotografía , donde se denomina proyección rectilínea , ya que surge naturalmente del modelo de cámara estenopeica donde la pantalla es un plano. [3] Debido a que son equivalentes, el mismo visor utilizado para panoramas fotográficos se puede utilizar para representar mapas gnomónicos ( vista como un panorama interactivo de 360° ) .
La proyección gnomónica se utiliza en astronomía, donde el punto tangente se centra en el objeto de interés. La esfera que se proyecta en este caso es la esfera celeste, R = 1, y no la superficie de la Tierra.
En astronomía, los observadores pueden utilizar mapas estelares de proyección gnómica de la esfera celeste para trazar con precisión la trayectoria en línea recta de un rastro de meteorito . [4]
