Geometría de Galois

La geometría de Galois (nombrada en honor al matemático francés del siglo XIX Évariste Galois ) es la rama de la geometría finita que se ocupa de la geometría algebraica y analítica sobre un cuerpo finito (o cuerpo de Galois ). ^[1] De manera más específica, una geometría de Galois puede definirse como un espacio proyectivo sobre un cuerpo finito. ^[2]

Los objetos de estudio incluyen espacios afines y proyectivos sobre cuerpos finitos y varias estructuras contenidas en ellos. En particular, arcos , óvalos , hiperóvalos , unitales , conjuntos bloqueantes , ovoides , tapas, extensiones y todos los análogos finitos de estructuras que se encuentran en geometrías no finitas. Los espacios vectoriales definidos sobre cuerpos finitos juegan un papel significativo, especialmente en los métodos de construcción.

Espacios proyectivos sobre cuerpos finitos

Notación

Aunque a veces se utiliza la notación genérica de la geometría proyectiva , es más común denotar espacios proyectivos sobre cuerpos finitos por $PG(n, q)$ , donde $n$ es la dimensión "geométrica" (ver más abajo), y $q$ es el orden del cuerpo finito (o cuerpo de Galois) $GF(q)$ , que debe ser un entero primo o potencia prima.

La dimensión geométrica en la notación anterior se refiere al sistema en el que las líneas son unidimensionales, los planos bidimensionales, los puntos cerodimensionales, etc. El modificador, a veces se utiliza el término proyectivo en lugar de geométrico , es necesario ya que este concepto de dimensión difiere del concepto utilizado para los espacios vectoriales (es decir, el número de elementos en una base). Normalmente, tener dos conceptos diferentes con el mismo nombre no causa mucha dificultad en áreas separadas debido al contexto, pero en este tema tanto los espacios vectoriales como los espacios proyectivos juegan papeles importantes y es muy probable que haya confusión. El concepto de espacio vectorial a veces se denomina dimensión algebraica . ^[3]

Construcción

Sea $V = V(n + 1, q)$ el espacio vectorial de dimensión (algebraica) $n + 1$ definido sobre el cuerpo finito $GF(q)$ . El espacio proyectivo $PG(n, q)$ consta de todos los subespacios vectoriales de dimensión (algebraica) positiva de $V$ . Una forma alternativa de ver la construcción es definir los puntos de $PG(n, q)$ como las clases de equivalencia de los vectores no nulos de $V$ bajo la relación de equivalencia por la cual dos vectores son equivalentes si uno es un múltiplo escalar del otro. Luego se construyen subespacios a partir de los puntos utilizando la definición de independencia lineal de conjuntos de puntos.

Subespacios

Un subespacio vectorial de dimensión algebraica $d + 1$ de $V$ es un subespacio (proyectivo) de $PG(n, q)$ de dimensión geométrica $d$ . Los subespacios proyectivos reciben nombres geométricos comunes; puntos, líneas, planos y sólidos son los subespacios de 0, 1, 2 y 3 dimensiones, respectivamente. El espacio completo es un subespacio de $n$ dimensiones y un subespacio de ( $n - 1$ ) dimensiones se denomina hiperplano (o primo).

El número de subespacios vectoriales de dimensión algebraica $d$ en el espacio vectorial $V(n, q)$ viene dado por el coeficiente binomial gaussiano ,

\left[{\begin{matriz}n\\d\end{matriz}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^{d-1})}}.

Por lo tanto, el número de subespacios proyectivos de dimensión $k en$ $PG(n, q)$ está dado por

\left[{\begin{matriz}n+1\\k+1\end{matriz}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.

Así, por ejemplo, el número de líneas ( $k$ = 1) en PG(3,2) es

\left[{\begin{matriz}4\\2\end{matriz}}\right]_{2}={\frac {(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.

De ello se deduce que el número total de puntos ( $k$ = 0) de $P = PG(n, q)$ es

\left[{\begin{matriz}n+1\\1\end{matriz}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)}{(q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.

Esto también es igual al número de hiperplanos de $P$ .

El número de líneas que pasan por un punto de $P$ se puede calcular como y este es también el número de hiperplanos que pasan por un punto fijo. ^[4] $q^{n-1}+q^{n-2}+\cpuntos +q+1$

Sean $U$ y $W$ subespacios de la geometría de Galois $P = PG(n, q)$ . La intersección $U \cap W$ es un subespacio de $P$ , pero la unión teórica de conjuntos puede no serlo. La unión de estos subespacios, denotada por $< U, W >$ , es el subespacio más pequeño de $P$ que contiene tanto $a U$ como $a W$ . Las dimensiones de la unión y la intersección de estos dos subespacios están relacionadas por la fórmula,

|<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.

Coordenadas

Con respecto a una base fija, cada vector en $V$ está representado de forma única por una ( $n + 1$ )-tupla de elementos de $GF(q)$ . Un punto proyectivo es una clase de equivalencia de vectores, por lo que hay muchas coordenadas diferentes (de los vectores) que corresponden al mismo punto. Sin embargo, todas están relacionadas entre sí, ya que cada una es un múltiplo escalar distinto de cero de las otras. Esto da lugar al concepto de coordenadas homogéneas utilizadas para representar los puntos de un espacio proyectivo.

Historia

Gino Fano fue uno de los primeros escritores en el área de las geometrías de Galois. En su artículo de 1892, ^[5] sobre la prueba de la independencia de su conjunto de axiomas para el espacio n proyectivo , ^[6] entre otras cosas, consideró las consecuencias de tener un cuarto punto armónico igual a su conjugado. Esto conduce a una configuración de siete puntos y siete líneas contenidas en un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos, en el que cada línea contenía solo tres puntos. ^[5]^{: 114} Todos los planos en este espacio constan de siete puntos y siete líneas y ahora se conocen como planos de Fano . Fano pasó a describir geometrías de Galois de dimensión arbitraria y órdenes primos.

George Conwell dio una aplicación temprana de la geometría de Galois en 1910 cuando caracterizó una solución del problema de la colegiala de Kirkman como una partición de conjuntos de líneas oblicuas en PG(3,2) , la geometría proyectiva tridimensional sobre el campo de Galois GF(2) . ^[7] De manera similar a los métodos de geometría de líneas en el espacio sobre un campo de característica 0 , Conwell utilizó coordenadas de Plücker en PG(5,2) e identificó los puntos que representan líneas en PG(3,2) como aquellos en la cuádrica de Klein .

En 1955, Beniamino Segre caracterizó los óvalos para q impares. El teorema de Segre establece que en una geometría de Galois de orden impar (es decir, un plano proyectivo definido sobre un cuerpo finito de característica impar ) todo óvalo es una cónica . A este resultado se le atribuye a menudo el mérito de establecer las geometrías de Galois como un área importante de investigación. En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1958, Segre presentó un estudio de los resultados en geometría de Galois conocidos hasta ese momento.

Véase también

Geometría de incidencia

Notas

^ Enlace de Springer
^ "Espacios proyectivos sobre un cuerpo finito, también conocidos como geometrías de Galois, ...", (Hirschfeld y Thas 1992)
^ Hay autores que utilizan el término rango para referirse a la dimensión algebraica. Los autores que hacen esto con frecuencia utilizan simplemente dimensión cuando hablan de dimensión geométrica.
^ Beutelspacher y Rosenbaum 1998, págs.24-25
^ ab Fano, G. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106-132
^ Collino, Conte y Verra 2013, pág. 6
^ George M. Conwell (1910) "El espacio tridimensional PG(3,2) y sus grupos", Anales de Matemáticas 11:60–76 doi :10.2307/1967582

Referencias

Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva / De los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "Sobre la vida y obra científica de Gino Fano". arXiv : 1311.7177 .
De Beule, enero; Storme, Leo (2011), Temas de investigación actuales en geometría de Galois , Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3
Hirschfeld, JWP (1979), Geometrías proyectivas sobre campos finitos , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1, enfatizando las dimensiones uno y dos.{{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )
Hirschfeld, JWP (1985), Espacios proyectivos finitos de tres dimensiones , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8, dimensión 3.{{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )
Hirschfeld, JWP ; Thas, JA (1992), Geometrías generales de Galois , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853537-9, tratando la dimensión general.{{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )

Enlaces externos

Geometría de Galois en Enciclopedia de Matemáticas, SpringerLink