La fórmula de Faà di Bruno

Regla de la cadena generalizada en cálculo

La fórmula de Faà di Bruno es una identidad matemática que generaliza la regla de la cadena a derivadas superiores. Recibe su nombre en honor a Francesco Faà di Bruno  (1855, 1857), aunque no fue el primero en formularla o demostrarla. En 1800, más de 50 años antes que Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast había formulado la fórmula en un libro de texto de cálculo ^[1] , que se considera la primera referencia publicada sobre el tema. ^[2]

Quizás la forma más conocida de la fórmula de Faà di Bruno dice que

$${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},}$$

donde la suma es sobre todo - tuplas de números enteros no negativos que satisfacen la restricción ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (m_{1},\ldots ,m_{n})}$

$${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.}$$

A veces, para darle un patrón memorable, se escribe de manera que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se analiza a continuación sean menos explícitos:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

Combinando los términos con el mismo valor de y notando que debe ser cero para se llega a una fórmula algo más simple expresada en términos de polinomios de Bell : ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}=k}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle j>n-k+1}$ ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})}$

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

Forma combinatoria

La fórmula tiene una forma "combinatoria":

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)}$

dónde

• ${\displaystyle \pi }$recorre el conjunto de todas las particiones del conjunto , ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$
• " " significa que la variable recorre la lista de todos los "bloques" de la partición , y ${\displaystyle B\in \pi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle |A|}$denota la cardinalidad del conjunto (por lo que es el número de bloques en la partición y es el tamaño del bloque ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\pi |}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplo

A continuación se presenta una explicación concreta de la forma combinatoria para el caso. ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}}$

El patrón es:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\[12pt]g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{array}}}$

El factor corresponde a la partición 2 + 1 + 1 del entero 4, de la manera obvia. El factor que lo acompaña corresponde al hecho de que hay tres sumandos en esa partición. El coeficiente 6 que acompaña a esos factores corresponde al hecho de que hay exactamente seis particiones de un conjunto de cuatro miembros que lo dividen en una parte de tamaño 2 y dos partes de tamaño 1. ${\displaystyle g''(x)g'(x)^{2}}$ ${\displaystyle f'''(g(x))}$

De manera similar, el factor de la tercera línea corresponde a la partición 2 + 2 del entero 4, (4, porque estamos hallando la cuarta derivada), mientras que corresponde al hecho de que hay dos sumandos (2 + 2) en esa partición. El coeficiente 3 corresponde al hecho de que hay formas de particionar 4 objetos en grupos de 2. El mismo concepto se aplica a los demás. ${\displaystyle g''(x)^{2}}$ ${\displaystyle f''(g(x))}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3}$

Un esquema memorizable es el siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}}$

Variaciones

Versión multivariada

Sea . Entonces la siguiente identidad se cumple independientemente de si las variables son todas distintas, o todas idénticas, o están divididas en varias clases distinguibles de variables indistinguibles (si parece opaco, vea el ejemplo muy concreto a continuación): ^[3] ${\displaystyle y=g(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}}$

donde (como arriba)

• ${\displaystyle \pi }$recorre el conjunto de todas las particiones del conjunto , ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$
• " " significa que la variable recorre la lista de todos los "bloques" de la partición , y ${\displaystyle B\in \pi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle |A|}$denota la cardinalidad del conjunto (es decir , el número de bloques en la partición y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\pi |}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle |B|}$es el tamaño del bloque ). ${\displaystyle B}$

Existen versiones más generales para los casos en que todas las funciones tienen valores vectoriales e incluso de espacio de Banach . En este caso, es necesario considerar la derivada de Fréchet o la derivada de Gateaux .

Ejemplo

Los cinco términos de la siguiente expresión corresponden de forma obvia a las cinco particiones del conjunto , y en cada caso el orden de la derivada de es el número de partes en la partición: ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}}$

Si las tres variables son indistinguibles entre sí, entonces tres de los cinco términos anteriores también son indistinguibles entre sí, y entonces tenemos la fórmula clásica de una variable.

Versión formal de la serie de potencias

Supóngase que y son series de potencias formales y . ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}}$ ${\displaystyle b_{0}=0}$

Entonces la composición es nuevamente una serie de potencias formales , ${\displaystyle f\circ g}$

${\displaystyle f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},}$

donde y el otro coeficiente para se puede expresar como una suma sobre composiciones de o como una suma equivalente sobre particiones enteras de : ${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}}$

es el conjunto de composiciones de con denotando el número de partes, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

o

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}}$

es el conjunto de particiones en partes, en forma de frecuencia de partes. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

La primera forma se obtiene seleccionando el coeficiente de en "por inspección", y la segunda forma se obtiene luego recopilando términos similares o, alternativamente, aplicando el teorema multinomial . ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle (b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}}$

El caso especial , da la fórmula exponencial . El caso especial , da una expresión para el recíproco de la serie de potencias formales en el caso . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n!}}a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle f(x)=1/(1-x)}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 1}(-a_{n})x^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$

Stanley ^[4] ofrece una versión para la serie de potencias exponenciales. En la serie de potencias formal

${\displaystyle f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},}$

tenemos la derivada enésima en 0: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f^{(n)}(0)=a_{n}.}$

Esto no debe interpretarse como el valor de una función, ya que estas series son puramente formales; no existe tal cosa como convergencia o divergencia en este contexto.

Si

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}}$

y

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}}$

y

${\displaystyle g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},}$

entonces el coeficiente (que sería la derivada de evaluada en 0 si estuviéramos tratando con series convergentes en lugar de series de potencias formales) está dado por ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}}$

donde recorre el conjunto de todas las particiones del conjunto y son los bloques de la partición , y es el número de miembros del bloque , para . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |B_{j}|}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$

Esta versión de la fórmula es particularmente adecuada para los propósitos de la combinatoria .

También podemos escribir con respecto a la notación anterior

${\displaystyle g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},}$

¿Dónde están los polinomios de Bell ? ${\displaystyle B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}$

Un caso especial

Si , entonces todas las derivadas de son iguales y son un factor común a cada término: ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}e^{g(x)}=e^{g(x)}B_{n}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x)\right),}$

donde es el n -ésimo polinomio de Bell exponencial completo . ${\displaystyle B_{n}(x)}$

En caso de que sea una función generadora de cumulantes , entonces es una función generadora de momentos , y el polinomio en varias derivadas de es el polinomio que expresa los momentos como funciones de los cumulantes . ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(g(x))}$ ${\displaystyle g}$

Véase también

• Regla de la cadena  – Para derivadas de funciones compuestas
• Diferenciación de funciones trigonométricas  – Proceso matemático para hallar la derivada de una función trigonométrica
• Reglas de diferenciación  – Reglas para calcular derivadas de funciones
• Regla general de Leibniz  – Generalización de la regla del producto en cálculo
• Funciones inversas y diferenciación  – Cálculo de identidadesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Linealidad de la diferenciación  – Propiedad del cálculo
• Regla del producto  – Fórmula para la derivada de un producto
• Tabla de derivadas  – Reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Identidades del cálculo vectorial  – Identidades matemáticas

Notas

1. (Arbogast 1800).
2. Según Craik (2005, pp. 120-122): véase también el análisis de la obra de Arbogast realizado por Johnson (2002, p. 230).
3. Hardy, Michael (2006). "Combinatoria de derivadas parciales". Revista electrónica de combinatoria . 13 (1): R1. doi : 10.37236/1027 . S2CID  478066.
4. Véase la "fórmula compositiva" en el capítulo 5 de Stanley, Richard P. (1999) [1997]. Combinatoria enumerativa. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55309-4.

Referencias

Estudios y ensayos históricos

• Brigaglia, Aldo (2004), "L'Opera Matematica", en Giacardi, Livia (ed.), Francesco Faà di Bruno. Ricerca científica insegnamento e divulgazione , Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (en italiano), vol. XII, Turín : Deputazione Subalpina di Storia Patria, págs. 111-172“ La obra matemática ” es un ensayo sobre la actividad matemática, que describe tanto la actividad investigadora como la docente de Francesco Faà di Bruno.
• Craik, Alex DD (febrero de 2005), "Prehistoria de la fórmula de Faà di Bruno", American Mathematical Monthly , 112 (2): 217–234, doi :10.2307/30037410, JSTOR  30037410, MR  2121322, Zbl  1088.01008.
• Johnson, Warren P. (marzo de 2002), "La curiosa historia de la fórmula de Faà di Bruno" (PDF) , American Mathematical Monthly , 109 (3): 217–234, CiteSeerX  10.1.1.109.4135 , doi :10.2307/2695352, JSTOR  2695352, SEÑOR  1903577, Zbl  1024.01010.

Trabajos de investigación

• Arbogast, LFA (1800), Du calcul des derivations [ Sobre el cálculo de las derivadas ] (en francés), Estrasburgo: Levrault, págs. xxiii+404, Disponible completamente de forma gratuita en Google Libros .
• Faà di Bruno, F. (1855), "Sullo sviluppo delle funzioni" [Sobre el desarrollo de las funciones], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (en italiano), 6 : 479–480, LCCN  06036680. Disponible de forma totalmente gratuita en Google books . Un conocido artículo en el que Francesco Faà di Bruno presenta las dos versiones de la fórmula que ahora lleva su nombre, publicado en la revista fundada por Barnaba Tortolini .
• Faà di Bruno, F. (1857), "Note sur une nouvelle formule de calcul Differentiel" [Sobre una nueva fórmula de cálculo diferencial], The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (en francés), 1 : 359–360. Disponible completamente de forma gratuita en Google Books .
• Faà di Bruno, Francesco (1859), Théorie générale de l'élimination [ Teoría general de la eliminación ] (en francés), París: Leiber et Faraguet, págs. x+224. Disponible completamente de forma gratuita en Google Books .
• Flanders, Harley (2001) "De Ford a Faa", American Mathematical Monthly 108(6): 558–61 doi :10.2307/2695713
• Fraenkel, LE (1978), "Fórmulas para derivadas altas de funciones compuestas", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 83 (2): 159–165, Bibcode :1978MPCPS..83..159F, doi :10.1017/S0305004100054402, MR  0486377, S2CID  121007038, Zbl  0388.46032.
• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (2002), Introducción a las funciones analíticas reales, Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (Segunda ed.), Boston: Birkhäuser Verlag , págs. xiv+205, ISBN 978-0-8176-4264-8, MR  1916029, Zbl  1015.26030
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• A., (Tiburce Abadie, JFC) (1852), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski" [Sobre la derivación de funciones. Series de Burmann, Lagrange y Wronski.], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale , Série 1 (en francés), 11 : 376–383{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link), disponible en NUMDAM. Este artículo, según Johnson (2002, p. 228), es uno de los precursores de Faà di Bruno 1855: nótese que el autor firma sólo como "A.", y la atribución a JFC Tiburce Abadie se debe nuevamente a Johnson.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmula de Faa di Bruno". MundoMatemático .