En matemáticas , una expansión en serie es una técnica que expresa una función como una suma infinita, o serie , de funciones más simples. Es un método para calcular una función que no puede expresarse únicamente con operadores elementales (suma, resta, multiplicación y división). [1]
La llamada serie resultante a menudo puede limitarse a un número finito de términos, lo que produce una aproximación de la función. Cuantos menos términos de la secuencia se utilicen, más simple será esta aproximación. A menudo, la inexactitud resultante (es decir, la suma parcial de los términos omitidos) se puede describir mediante una ecuación que involucra notación O grande (ver también expansión asintótica ). La expansión en serie en un intervalo abierto también será una aproximación para funciones no analíticas . [2] [ se necesita verificación ]
Tipos de expansiones en serie
Hay varios tipos de expansiones en serie, que se enumeran a continuación.
serie de taylor
Una serie de Taylor es una serie de potencias basada en las derivadas de una función en un solo punto. [3] Más específicamente, si una función es infinitamente diferenciable alrededor de un punto , entonces la serie de Taylor de f alrededor de este punto viene dada por
bajo la convención . [3] [4] La serie de Maclaurin de f es su serie de Taylor sobre . [5] [4]
serie laurent
Una serie de Laurent es una generalización de la serie de Taylor, que permite términos con exponentes negativos; toma la forma y converge en un anillo . [6] En particular, se puede utilizar una serie de Laurent para examinar el comportamiento de una función compleja cerca de una singularidad considerando la expansión de la serie en un anillo centrado en la singularidad.
serie dirichlet
Convergencia y divergencia de sumas parciales de la serie de Dirichlet que definen la función zeta de Riemann . Aquí, la línea amarilla representa las primeras cincuenta sumas parciales sucesivas, la línea de puntos magenta representa y el punto verde representa cuando s varía de -0,5 a 1,5.
Una serie de Fourier es una expansión de funciones periódicas como suma de muchas funciones seno y coseno . [8] Más específicamente, la serie de Fourier de una función de período viene dada por la expresión
El error relativo en una serie de Stirling truncada frente a n , de 0 a 5 términos. Las curvas en las curvas representan puntos donde la serie truncada coincide con
^ "Series y Expansiones". Matemáticas LibreTexts . 2013-11-07 . Consultado el 24 de diciembre de 2021 .
^ Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. (1 de enero de 2007). Métodos numéricos para funciones especiales. SIAM. ISBN978-0-89871-782-2.
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^ Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). Ecuaciones diferenciales elementales con problemas de valores en la frontera . Pearson/Prentice Hall. págs.558, 564. ISBN978-0-13-600613-8.
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