En matemáticas , existen muchos tipos de desigualdades que involucran matrices y operadores lineales en espacios de Hilbert . Este artículo cubre algunas desigualdades de operadores importantes relacionadas con trazas de matrices. [1] [2] [3] [4]
Definiciones basicas
Denotemos el espacio de matrices hermitianas , denotemos el conjunto que consta de matrices hermitianas semidefinidas positivas y denotemos el conjunto de matrices hermitianas definidas positivas . Para los operadores en un espacio de Hilbert de dimensión infinita requerimos que sean de clase traza y autoadjuntos , en cuyo caso se aplican definiciones similares, pero solo analizamos matrices, por simplicidad.
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {H} _ {n}^{++}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para cualquier función de valor real en un intervalo, se puede definir una función matricial para cualquier operador con valores propios definiéndola en los valores propios y los proyectores correspondientes como ![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(A)\equiv \sum _ {j}f(\lambda _ {j})P_ {j}~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
descomposición espectral![{\displaystyle A=\sum _ {j} \ lambda _ {j} P_ {j}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Operador monótono
Se dice que una función definida en un intervalo es un operador monótono si para todos y todos con valores propios en los siguientes se cumple,![{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle yo,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\geq B\implica f(A)\geq f(B),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
no es![{\displaystyle A\geq B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle AB\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(A)=A^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Operador convexo
Se dice que una función es operador convexo si para todos y todos con valores propios en y , se cumple lo siguiente![{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle yo,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<\lambda <1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle yo,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una función es
operador cóncavo sies operador convexo; =, es decir, la desigualdad anterior parase invierte.![{\displaystyle -f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Convexidad articular
Una función definida en intervalos se dice que es![{\displaystyle g:I\times J\to \mathbb {R} ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
conjuntamente convexo si para todosy todos
con valores propios eny todoscon valores propios eny cualquierase cumple lo siguiente![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_ {1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una función es
conjuntamente cóncavo si −es conjuntamente convexo, es decir, la desigualdad anterior parase invierte.![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Función de seguimiento
Dada una función, la función de seguimiento asociada está dada por![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {H} _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
traza![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Convexidad y monotonicidad de la función traza.
Sea continuo y sea n cualquier número entero. Entonces, si es monótono creciente, también lo es en H n .![{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\mapsto f(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Asimismo, si es convexo , también lo es en H n , y es estrictamente convexo si f es estrictamente convexo.![{\displaystyle t\mapsto f(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Consulte la prueba y la discusión en [1] , por ejemplo.
Teorema de Löwner-Heinz
Para , la función es operador monótono y operador cóncavo.![{\displaystyle -1\leq p\leq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(t)=-t^{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para , la función es operador monótono y operador cóncavo.![{\displaystyle 0\leq p\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(t)=t^{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para , la función es operador convexo. Además, ![{\displaystyle 1\leq p\leq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(t)=t^{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es operador cóncavo y operador monótono, mientras que
es operador convexo.
La demostración original de este teorema se debe a K. Löwner , quien dio una condición necesaria y suficiente para que f sea un operador monótono. [5] Una demostración elemental del teorema se analiza en [1] y una versión más general del mismo en [6] .
La desigualdad de Klein
Para todas las matrices hermitianas n × n A y B y todas las funciones convexas diferenciables
con derivada f ' , o para todas las matrices hermitianas definidas positivas A y B , y todas las funciones convexas diferenciables f :(0,∞) → , la se cumple la siguiente desigualdad,
![{\displaystyle \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} [f(A)-f(B)-(AB)f'(B)]\geq 0~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En cualquier caso, si f es estrictamente convexa, la igualdad se cumple si y sólo si A = B. Una opción popular en aplicaciones es f ( t ) = t log t , ver más abajo.
Prueba
Dejemos que, por , ![{\displaystyle C=AB}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\en (0,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
varía de a .![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definir
.
Por convexidad y monotonía de las funciones traza, es convexo, y así para todos ,![{\displaystyle F(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\en (0,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
cual es,
,
y, de hecho, el lado derecho es monótono decreciente en .![{\displaystyle t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tomando los rendimientos límite,![{\displaystyle t\a 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
que con reordenamiento y sustitución es la desigualdad de Klein:
![{\displaystyle \mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(AB)f'(B)]\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que si es estrictamente convexo y entonces es estrictamente convexo. La afirmación final se deriva de esto y del hecho de que es monótono decreciente en .![{\displaystyle f(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Desigualdad de Golden-Thompson
En 1965, S. Golden [7] y CJ Thompson [8] descubrieron de forma independiente que
Para cualquier matriz ,![{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta desigualdad se puede generalizar para tres operadores: [9] para operadores no negativos ,![{\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _ {n}^{+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1 }C(B+t)^{-1}\,\nombreoperador {d} t.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Desigualdad de Peierls-Bogoliubov
Sea tal que Tr e R = 1. Definiendo g = Tr Fe R , tenemos ![{\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La prueba de esta desigualdad se desprende de lo anterior combinado con la desigualdad de Klein. Tome f ( x ) = exp( x ), A = R + F y B = R + gI . [10]
Principio variacional de Gibbs
Sea un operador autoadjunto tal que sea la clase de seguimiento . Entonces para cualquiera con![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{-H}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma \geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con igualdad si y sólo si![{\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Teorema de la concavidad de Lieb
El siguiente teorema fue demostrado por EH Lieb en [9] Demuestra y generaliza una conjetura de EP Wigner , MM Yanase y Freeman Dyson . [11] Seis años más tarde, T. Ando [12] y B. Simon, [3] dieron otras pruebas, y desde entonces se han dado varias más.
Para todas las matrices , y all y tales que y , con el mapa de valor real dado por![{\displaystyle m\veces n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq q\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq r\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q+r\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- es conjuntamente cóncavo en
![{\displaystyle (A,B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- es convexo en .
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí representa el operador adjunto de![{\displaystyle K^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
teorema de lieb
Para una matriz hermitiana fija , la función![{\displaystyle L\in \mathbf {H} _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es cóncavo en .![{\displaystyle \mathbf {H} _ {n}^{++}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El teorema y la demostración se deben a EH Lieb, [9] Thm 6, donde obtiene este teorema como corolario del teorema de la concavidad de Lieb. La prueba más directa se la debemos a H. Epstein; [13] véanse los artículos de MB Ruskai , [14] [15] para una revisión de este argumento.
Teorema de la convexidad de Ando
La demostración de T. Ando [12] del teorema de la concavidad de Lieb condujo al siguiente complemento significativo:
Para todas las matrices , y all y with , el mapa de valor real dado por![{\displaystyle m\veces n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\leq q\leq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq r\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle qr\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es convexo.
Convexidad conjunta de entropía relativa
Para dos operadores defina el siguiente mapa![{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _ {n}^{++}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para matrices de densidad y , el mapa es la entropía relativa cuántica de Umegaki .![{\displaystyle\rho}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que la no negatividad de se deriva de la desigualdad de Klein con .![{\displaystyle R(A\paralelo B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(t)=t\log t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Declaración
El mapa es conjuntamente convexo.![{\displaystyle R(A\parallel B):\mathbf {H} _ {n}^{++}\times \mathbf {H} _ {n}^{++}\rightarrow \mathbf {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba
Porque todo , es conjuntamente cóncavo, según el teorema de la concavidad de Lieb, y por tanto![{\displaystyle 0<p<1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A) }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es convexo. Pero
![{\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\paralelo B),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y la convexidad se conserva en el límite.
La prueba se debe a G. Lindblad. [dieciséis]
El operador de Jensen y trazar desigualdades.
La versión del operador de la desigualdad de Jensen se debe a C. Davis. [17]
Una función real continua en un intervalo satisface la desigualdad del operador de Jensen si se cumple lo siguiente![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f( X_{k})A_{k},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para operadores con y para operadores autoadjuntos con espectro en .![{\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Véase [17] [18] para la demostración de los dos teoremas siguientes.
La traza de desigualdad de Jensen
Sea f una función continua definida en un intervalo I y sean myn números naturales. Si f es convexa, entonces tenemos la desigualdad
![{\displaystyle \operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k} {\Gran R )},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para todas ( X 1 , ... , X n ) matrices m × m autoadjuntas con espectros contenidos en I y todas ( A 1 , ... , An ) de matrices m × m con
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por el contrario, si la desigualdad anterior se satisface para algunos n y m , donde n > 1, entonces f es convexa.
Desigualdad del operador de Jensen
Para una función continua definida en un intervalo, las siguientes condiciones son equivalentes:![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es operador convexo.- Para cada número natural tenemos la desigualdad
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k= 1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para todos los operadores autoadjuntos acotados en un espacio de Hilbert arbitrario con espectros contenidos en y todo con
![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (A_{1},\ldots,A_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cada isometría en un espacio de Hilbert de dimensión infinita y![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cada operador autoadjunto con espectro en .![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cada proyección en un espacio de Hilbert de dimensión infinita , cada operador autoadjunto con espectro en y cada en .![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Araki-Lieb-Desigualdad sedienta
EH Lieb y WE Thirring demostraron la siguiente desigualdad en [19] 1976: Para cualquier y
![{\displaystyle B\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r\geq 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En 1990 [20] H. Araki generalizó la desigualdad anterior a la siguiente: Para cualquier y
![{\displaystyle B\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q\geq 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}), }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r\geq 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}), }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq r\leq 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Hay varias otras desigualdades cercanas a la desigualdad de Lieb-Thirring, como las siguientes: [21] para cualquiera y
![{\displaystyle B\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha \en [0,1],}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[22]![{\displaystyle A\geq 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B\geq 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r\geq 1/2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c\geq 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+ 1})^{r}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{ 2})^{r}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, basándose en la desigualdad de Lieb-Thirring se derivó la siguiente desigualdad: [23] Para cualquiera y todos con , se cumple que![{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _ {n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1/p+1/q=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{ p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El teorema de Effros y su extensión.
E. Effros en [24] demostró el siguiente teorema.
Si es un operador de función convexa, y y están conmutando operadores lineales acotados, es decir, el conmutador , la perspectiva![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es conjuntamente convexo, es decir, si y con (i=1,2), ,![{\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ebadian et al. Posteriormente amplió la desigualdad al caso en el que y no conmutan. [25]![{\displaystyle L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Rastro de desigualdad de Von Neumann y resultados relacionados
La desigualdad de trazas de Von Neumann , llamada así por su creador John von Neumann , establece que para cualquiermatriz complejaycon valores singulares yrespectivamente, [26]![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[27]![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un corolario simple de esto es el siguiente resultado: [28] Para matrices complejas semidefinidas positivas hermitianas y donde ahora los valores propios se ordenan de manera decreciente ( y respectivamente),![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1 }^{n}a_{i}b_{i}\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ abc E. Carlen, Traza de desigualdades y entropía cuántica: un curso introductorio, Contemp. Matemáticas. 529 (2010) 73–140 puntos : 10.1090/conm/529/10428
- ^ R. Bhatia, Análisis matricial, Springer, (1997).
- ^ ab B. Simon, Trace Ideals y sus aplicaciones, Universidad de Cambridge. Prensa, (1979); Segunda edicion. América. Matemáticas. Soc., Providencia, RI, (2005).
- ^ M. Ohya, D. Petz, La entropía cuántica y su uso, Springer, (1993).
- ^ Lowner, Karl (1934). "Funciones Matrix súper monótonas". Mathematische Zeitschrift (en alemán). 38 (1). Springer Science y Business Media LLC: 177–216. doi :10.1007/bf01170633. ISSN 0025-5874. S2CID 121439134.
- ^ WF Donoghue, Jr. , Funciones matriciales monótonas y continuación analítica, Springer, (1974).
- ^ Dorado, Sidney (22 de febrero de 1965). "Límites inferiores de la función de Helmholtz". Revisión física . 137 (4B). Sociedad Estadounidense de Física (APS): B1127 – B1128. Código bibliográfico : 1965PhRv..137.1127G. doi : 10.1103/physrev.137.b1127. ISSN 0031-899X.
- ^ Thompson, Colin J. (1965). "Desigualdad con aplicaciones en mecánica estadística". Revista de Física Matemática . 6 (11). Publicaciones AIP: 1812–1813. Código bibliográfico : 1965JMP......6.1812T. doi :10.1063/1.1704727. ISSN 0022-2488.
- ^ abc Lieb, Elliott H (1973). "Funciones de traza convexas y la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson". Avances en Matemáticas . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-x . ISSN 0001-8708.
- ^ D. Ruelle, Mecánica estadística: resultados rigurosos, World Scient. (1969).
- ^ Wigner, Eugene P.; Yanase, Mutsuo M. (1964). "Sobre la naturaleza positiva semidefinida de una determinada expresión matricial". Revista Canadiense de Matemáticas . dieciséis . Sociedad Canadiense de Matemáticas: 397–406. doi :10.4153/cjm-1964-041-x. ISSN 0008-414X. S2CID 124032721.
- ^ ab Ando, T. (1979). "Concavidad de ciertos mapas sobre matrices definidas positivas y aplicaciones a productos Hadamard". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 26 . Elsevier BV: 203–241. doi : 10.1016/0024-3795(79)90179-4 . ISSN 0024-3795.
- ^ Epstein, H. (1973). "Observaciones sobre dos teoremas de E. Lieb". Comunicaciones en Física Matemática . 31 (4). Springer Science y Business Media LLC: 317–325. Código bibliográfico : 1973CMaPh..31..317E. doi :10.1007/bf01646492. ISSN 0010-3616. S2CID 120096681.
- ^ Ruskai, Mary Beth (2002). "Desigualdades para la entropía cuántica: una revisión con condiciones para la igualdad". Revista de Física Matemática . 43 (9). Publicación AIP: 4358–4375. arXiv : quant-ph/0205064 . Código Bib : 2002JMP....43.4358R. doi :10.1063/1.1497701. ISSN 0022-2488. S2CID 3051292.
- ^ Ruskai, Mary Beth (2007). "Otra prueba breve y elemental de una fuerte subaditividad de la entropía cuántica". Informes de Física Matemática . 60 (1). Elsevier BV: 1–12. arXiv : quant-ph/0604206 . Código Bib : 2007RpMP...60....1R. doi :10.1016/s0034-4877(07)00019-5. ISSN 0034-4877. S2CID 1432137.
- ^ Lindblad, Göran (1974). "Expectativas y desigualdades de entropía para sistemas cuánticos finitos". Comunicaciones en Física Matemática . 39 (2). Springer Science y Business Media LLC: 111–119. Código bibliográfico : 1974CMaPh..39..111L. doi :10.1007/bf01608390. ISSN 0010-3616. S2CID 120760667.
- ^ ab C. Davis, Una desigualdad de Schwarz para funciones de operador convexo, Proc. América. Matemáticas. Soc. 8, 42–44, (1957).
- ^ Hansen, Frank; Pedersen, Gert K. (9 de junio de 2003). "La desigualdad del operador de Jensen". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 35 (4): 553–564. arXiv : matemáticas/0204049 . doi :10.1112/s0024609303002200. ISSN 0024-6093. S2CID 16581168.
- ^ EH Lieb, WE Thirring, Desigualdades para los momentos de los valores propios del hamiltoniano de Schrödinger y su relación con las desigualdades de Sobolev, en Estudios de física matemática, editado por E. Lieb, B. Simon y A. Wightman, Princeton University Press, 269 –303 (1976).
- ^ Araki, Huzihiro (1990). "Sobre una desigualdad de Lieb y Thirring". Letras en Física Matemática . 19 (2). Springer Science y Business Media LLC: 167–170. Código bibliográfico : 1990LMaPh..19..167A. doi :10.1007/bf01045887. ISSN 0377-9017. S2CID 119649822.
- ^ Z. Allen-Zhu, Y. Lee, L. Orecchia, Uso de la optimización para obtener un solucionador SDP positivo independiente del ancho, paralelo, más simple y más rápido, en el Simposio ACM-SIAM sobre algoritmos discretos, 1824-1831 (2016).
- ^ L. Lafleche, C. Saffirio, Fuerte límite semiclásico de Hartree y Hartree-Fock a la ecuación de Vlasov-Poisson, arXiv:2003.02926 [math-ph].
- ^ V. Bosboom, M. Schlottbom, FL Schwenninger, Sobre la solubilidad única de las ecuaciones de transferencia radiativa con polarización, en Journal of Differential Equations, (2024).
- ^ Effros, EG (21 de enero de 2009). "Un enfoque de convexidad matricial para algunas desigualdades cuánticas célebres". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE. UU . 106 (4). Actas de la Academia Nacional de Ciencias: 1006–1008. arXiv : 0802.1234 . Código Bib : 2009PNAS..106.1006E. doi : 10.1073/pnas.0807965106 . ISSN 0027-8424. PMC 2633548 . PMID 19164582.
- ^ Ebadiano, A.; Nikoufar, I.; Eshaghi Gordji, M. (18 de abril de 2011). "Perspectivas de las funciones matriciales convexas". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 108 (18). Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE. UU.: 7313–7314. Código Bib : 2011PNAS..108.7313E. doi : 10.1073/pnas.1102518108 . ISSN 0027-8424. PMC 3088602 .
- ^ Mirsky, L. (diciembre de 1975). "Un rastro de desigualdad de John von Neumann". Monatshefte für Mathematik . 79 (4): 303–306. doi :10.1007/BF01647331. S2CID 122252038.
- ^ Carlsson, Marcus (2021). "La traza de desigualdad de von Neumann para los operadores de Hilbert-Schmidt". Exposiciones Mathematicae . 39 (1): 149-157. doi : 10.1016/j.exmath.2020.05.001.
- ^ Marshall, Albert W.; Olkin, Ingram; Arnold, Barry (2011). Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 340-341. ISBN 978-0-387-68276-1.
- Fuente primaria de Scholarpedia.